График функции y = cos(pi/x)

Вы ввели

          /pi\
f(x) = cos|--|
          \x /

$$f{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в cos(pi/x).
$$\cos{\left(\frac{\pi}{0} \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \text{NaN}$$
- решений у ур-ния нет

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$\frac{\pi \sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 1$$
Зн. экстремумы в точках:

(1, -1)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 1$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[1, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, 1\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$- \frac{\pi \left(2 \sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)} + \frac{\pi \cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x}\right)}{x^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -2603.51168596997$$
$$x_{2} = 6996.45020000492$$
$$x_{3} = -6526.63544462699$$
$$x_{4} = 3508.64084297269$$
$$x_{5} = 10703.1873490195$$
$$x_{6} = 9830.9828908882$$
$$x_{7} = 6778.42241419512$$
$$x_{8} = 4380.39633644888$$
$$x_{9} = 5470.32688127597$$
$$x_{10} = -5872.5823597212$$
$$x_{11} = 2419.48327847189$$
$$x_{12} = 4162.43674859374$$
$$x_{13} = 5034.3327511695$$
$$x_{14} = -3474.89721302176$$
$$x_{15} = -5654.57278235293$$
$$x_{16} = 6124.35721793024$$
$$x_{17} = 4816.34564707535$$
$$x_{18} = -6744.65994267352$$
$$x_{19} = 9176.839092469$$
$$x_{20} = 9394.8859895067$$
$$x_{21} = 7214.48055455131$$
$$x_{22} = 10049.0327602721$$
$$x_{23} = -7398.74962920908$$
$$x_{24} = 8522.70557092197$$
$$x_{25} = 8958.79333213496$$
$$x_{26} = -7616.78414851866$$
$$x_{27} = -6308.61411253876$$
$$x_{28} = -3692.80999602316$$
$$x_{29} = -9579.16804001135$$
$$x_{30} = -8488.9405883437$$
$$x_{31} = 3290.74569867703$$
$$x_{32} = -4128.68563587176$$
$$x_{33} = 3726.55656556972$$
$$x_{34} = -4782.5899063193$$
$$x_{35} = -10887.4737039524$$
$$x_{36} = -5436.56807965388$$
$$x_{37} = 8304.66376767566$$
$$x_{38} = 5688.33237619656$$
$$x_{39} = -10451.3685950099$$
$$x_{40} = 9612.9339458279$$
$$x_{41} = 4598.36644728847$$
$$x_{42} = 2855.0361522398$$
$$x_{43} = -3257.0056190349$$
$$x_{44} = -8052.85899460141$$
$$x_{45} = 7432.51325143022$$
$$x_{46} = -6090.5962870989$$
$$x_{47} = 8740.74879365927$$
$$x_{48} = -10669.4207880326$$
$$x_{49} = -2385.7685054801$$
$$x_{50} = -5218.56886424101$$
$$x_{51} = 7650.54809009149$$
$$x_{52} = 7868.58489225002$$
$$x_{53} = 3072.8755443295$$
$$x_{54} = 5906.34265924616$$
$$x_{55} = -6962.68730875067$$
$$x_{56} = 2637.23522503622$$
$$x_{57} = -3910.74040550788$$
$$x_{58} = -8706.98359840237$$
$$x_{59} = 6342.37561040122$$
$$x_{60} = -8270.89901480149$$
$$x_{61} = -2821.3058066811$$
$$x_{62} = -10015.2665666667$$
$$x_{63} = -8925.02793958268$$
$$x_{64} = -9797.2168363785$$
$$x_{65} = -9361.12024288468$$
$$x_{66} = 8086.62349887863$$
$$x_{67} = 10485.1350411652$$
$$x_{68} = -10233.3171711293$$
$$x_{69} = -9143.07351655573$$
$$x_{70} = -7180.71728118609$$
$$x_{71} = -4346.64344739395$$
$$x_{72} = -4564.61203031467$$
$$x_{73} = -7834.8206575933$$
$$x_{74} = 3944.48943650256$$
$$x_{75} = 5252.32677234155$$
$$x_{76} = -3039.13980770151$$
$$x_{77} = -5000.57585593862$$
$$x_{78} = 2201.79505915415$$
$$x_{79} = 10267.0834950414$$
$$x_{80} = 6560.39745368646$$
$$x_{81} = 10921.2403729465$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$

$$\lim_{x \to 0^-}\left(- \frac{\pi \left(2 \sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)} + \frac{\pi \cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x}\right)}{x^{3}}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\pi \left(2 \sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)} + \frac{\pi \cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x}\right)}{x^{3}}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Не имеет изгибов на всей числовой оси

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 0$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)} = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty} \cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)} = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(pi/x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)} = \cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)}$$
- Да
$$\cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)} = - \cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной

График