График функции y = cos(10*x)

Вы ввели

f(x) = cos(10*x)

$$f{\left (x \right )} = \cos{\left (10 x \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\cos{\left (10 x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi}{20}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{20}$$
Численное решение
$$x_{1} = -95.9756555672$$
$$x_{2} = -77.7544181763$$
$$x_{3} = -45.081854579$$
$$x_{4} = -35.9712358836$$
$$x_{5} = -5.81194640914$$
$$x_{6} = 60.1614993162$$
$$x_{7} = -68.0154809502$$
$$x_{8} = -31.8871654339$$
$$x_{9} = -13.9800873085$$
$$x_{10} = 70.2145958077$$
$$x_{11} = 44.1393767829$$
$$x_{12} = -47.9092879672$$
$$x_{13} = -97.8606111593$$
$$x_{14} = 82.1526478914$$
$$x_{15} = -41.9402619254$$
$$x_{16} = -73.984506992$$
$$x_{17} = 8.01106126665$$
$$x_{18} = -22.7765467385$$
$$x_{19} = -25.9181393921$$
$$x_{20} = 100.059726017$$
$$x_{21} = 42.2544211908$$
$$x_{22} = 90.0066295253$$
$$x_{23} = -9.89601685881$$
$$x_{24} = 84.0376034835$$
$$x_{25} = 54.1924732744$$
$$x_{26} = 48.2234472326$$
$$x_{27} = -43.8252175176$$
$$x_{28} = 38.1703507411$$
$$x_{29} = -33.7721210261$$
$$x_{30} = -30.0022098418$$
$$x_{31} = 10.2101761242$$
$$x_{32} = -17.7499984928$$
$$x_{33} = 62.0464549084$$
$$x_{34} = -19.9491133503$$
$$x_{35} = -15.8650429006$$
$$x_{36} = -65.8163660927$$
$$x_{37} = 76.1836218496$$
$$x_{38} = -21.8340689424$$
$$x_{39} = 37.227872945$$
$$x_{40} = 2.04203522483$$
$$x_{41} = -55.7632696012$$
$$x_{42} = 62.6747734391$$
$$x_{43} = 4.24115008235$$
$$x_{44} = 51.9933584169$$
$$x_{45} = 80.2676922992$$
$$x_{46} = 40.0553063333$$
$$x_{47} = 73.984506992$$
$$x_{48} = -87.8075146678$$
$$x_{49} = 92.2057443829$$
$$x_{50} = 30.0022098418$$
$$x_{51} = -39.7411470679$$
$$x_{52} = -71.7853921345$$
$$x_{53} = -91.8915851175$$
$$x_{54} = 88.1216739332$$
$$x_{55} = -51.9933584169$$
$$x_{56} = -75.8694625842$$
$$x_{57} = 16.179202166$$
$$x_{58} = -11.780972451$$
$$x_{59} = -27.8030949843$$
$$x_{60} = 6.1261056745$$
$$x_{61} = 32.2013246993$$
$$x_{62} = -61.732295643$$
$$x_{63} = 18.0641577581$$
$$x_{64} = 86.236718341$$
$$x_{65} = -99.7455667515$$
$$x_{66} = -69.9004365424$$
$$x_{67} = 28.1172542496$$
$$x_{68} = 20.2632726157$$
$$x_{69} = 78.0685774417$$
$$x_{70} = -63.9314105006$$
$$x_{71} = 72.0995513999$$
$$x_{72} = 98.1747704247$$
$$x_{73} = -59.8473400509$$
$$x_{74} = 12.0951317163$$
$$x_{75} = -53.8783140091$$
$$x_{76} = 0.157079632679$$
$$x_{77} = 68.0154809502$$
$$x_{78} = -79.9535330339$$
$$x_{79} = -49.7942435594$$
$$x_{80} = 46.0243323751$$
$$x_{81} = -57.9623844587$$
$$x_{82} = 22.1482282078$$
$$x_{83} = -81.838488626$$
$$x_{84} = -90.0066295253$$
$$x_{85} = -1.09955742876$$
$$x_{86} = -93.7765407097$$
$$x_{87} = 56.0774288666$$
$$x_{88} = 66.1305253581$$
$$x_{89} = 24.0331838$$
$$x_{90} = 64.2455697659$$
$$x_{91} = -3.92699081699$$
$$x_{92} = -85.9225590757$$
$$x_{93} = -8.01106126665$$
$$x_{94} = -89.69247026$$
$$x_{95} = 13.9800873085$$
$$x_{96} = 34.0862802914$$
$$x_{97} = -37.8561914758$$
$$x_{98} = 26.2322986575$$
$$x_{99} = 94.090699975$$
$$x_{100} = 50.1084028248$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в cos(10*x).
$$\cos{\left (0 \cdot 10 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- 10 \sin{\left (10 x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{10}$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 1)

 pi     
(--, -1)
 10     

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{\pi}{10}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Убывает на промежутках

(-oo, 0] U [pi/10, oo)

Возрастает на промежутках

[0, pi/10]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- 100 \cos{\left (10 x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{20}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{20}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[pi/20, 3*pi/20]

Выпуклая на промежутках

(-oo, pi/20] U [3*pi/20, oo)

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \cos{\left (10 x \right )} = \langle -1, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -1, 1\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \cos{\left (10 x \right )} = \langle -1, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -1, 1\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(10*x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \cos{\left (10 x \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \cos{\left (10 x \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\cos{\left (10 x \right )} = \cos{\left (10 x \right )}$$
- Да
$$\cos{\left (10 x \right )} = - \cos{\left (10 x \right )}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной