График функции y = cos(2*asin(x))

Вы ввели

f(x) = cos(2*asin(x))

$$f{\left(x \right)} = \cos{\left(2 \operatorname{asin}{\left(x \right)} \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\cos{\left(2 \operatorname{asin}{\left(x \right)} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -0.707106781186548$$
$$x_{2} = 0.707106781186548$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в cos(2*asin(x)).
$$\cos{\left(2 \operatorname{asin}{\left(0 \right)} \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$- \frac{2 \sin{\left(2 \operatorname{asin}{\left(x \right)} \right)}}{\sqrt{1 - x^{2}}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 1)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[0, \infty\right)$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$2 \left(- \frac{x \sin{\left(2 \operatorname{asin}{\left(x \right)} \right)}}{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{2 \cos{\left(2 \operatorname{asin}{\left(x \right)} \right)}}{x^{2} - 1}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \cos{\left(2 \operatorname{asin}{\left(x \right)} \right)} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty} \cos{\left(2 \operatorname{asin}{\left(x \right)} \right)} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(2*asin(x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(2 \operatorname{asin}{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(2 \operatorname{asin}{\left(x \right)} \right)}}{x}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(2 \operatorname{asin}{\left(x \right)} \right)}}{x}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(2 \operatorname{asin}{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(2 \operatorname{asin}{\left(x \right)} \right)}}{x}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(2 \operatorname{asin}{\left(x \right)} \right)}}{x}\right)$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\cos{\left(2 \operatorname{asin}{\left(x \right)} \right)} = \cos{\left(2 \operatorname{asin}{\left(x \right)} \right)}$$
- Да
$$\cos{\left(2 \operatorname{asin}{\left(x \right)} \right)} = - \cos{\left(2 \operatorname{asin}{\left(x \right)} \right)}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной

График