График функции y = cos(2*x+10)

Вы ввели

f(x) = cos(2*x + 10)

$$f{\left (x \right )} = \cos{\left (2 x + 10 \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\cos{\left (2 x + 10 \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -5 + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = -5 + \frac{3 \pi}{4}$$
Численное решение
$$x_{1} = 9.92256510455$$
$$x_{2} = 90.0331777711$$
$$x_{3} = 39.7676953137$$
$$x_{4} = 91.6039740979$$
$$x_{5} = 94.7455667515$$
$$x_{6} = 82.1791961371$$
$$x_{7} = -21.4933614313$$
$$x_{8} = -29.3473430653$$
$$x_{9} = -34.0597320457$$
$$x_{10} = -40.3429173529$$
$$x_{11} = 53.9048622548$$
$$x_{12} = 83.7499924639$$
$$x_{13} = 14.6349540849$$
$$x_{14} = -51.3384916404$$
$$x_{15} = -79.6128255228$$
$$x_{16} = 8.35176877776$$
$$x_{17} = 72.7544181763$$
$$x_{18} = -5.7853981634$$
$$x_{19} = -57.6216769476$$
$$x_{20} = 80.6083998103$$
$$x_{21} = 46.0508806208$$
$$x_{22} = -13.6393797974$$
$$x_{23} = 97.8871594051$$
$$x_{24} = -92.1791961371$$
$$x_{25} = 50.7632696012$$
$$x_{26} = -27.7765467385$$
$$x_{27} = -95.3207887907$$
$$x_{28} = -98.4623814443$$
$$x_{29} = 60.188047562$$
$$x_{30} = -63.9048622548$$
$$x_{31} = 22.4889357189$$
$$x_{32} = 3.63937979737$$
$$x_{33} = 17.7765467385$$
$$x_{34} = -71.7588438888$$
$$x_{35} = -26.2057504117$$
$$x_{36} = 25.6305283725$$
$$x_{37} = 58.6172512352$$
$$x_{38} = -35.6305283725$$
$$x_{39} = 2.06858347058$$
$$x_{40} = 30.3429173529$$
$$x_{41} = 31.9137136797$$
$$x_{42} = 68.042029196$$
$$x_{43} = 16.2057504117$$
$$x_{44} = 52.334065928$$
$$x_{45} = -62.334065928$$
$$x_{46} = 38.1968989869$$
$$x_{47} = 24.0597320457$$
$$x_{48} = 74.3252145031$$
$$x_{49} = -52.9092879672$$
$$x_{50} = -41.9137136797$$
$$x_{51} = -4.2146018366$$
$$x_{52} = -48.1968989869$$
$$x_{53} = -85.8960108299$$
$$x_{54} = 108.882733693$$
$$x_{55} = -56.0508806208$$
$$x_{56} = -49.7676953137$$
$$x_{57} = -93.7499924639$$
$$x_{58} = -76.4712328692$$
$$x_{59} = -78.042029196$$
$$x_{60} = -7.35619449019$$
$$x_{61} = 33.4845100065$$
$$x_{62} = -12.0685834706$$
$$x_{63} = -70.188047562$$
$$x_{64} = -18.3517687778$$
$$x_{65} = -65.4756585816$$
$$x_{66} = 44.480084294$$
$$x_{67} = -84.3252145031$$
$$x_{68} = 96.3163630783$$
$$x_{69} = 11.4933614313$$
$$x_{70} = 47.6216769476$$
$$x_{71} = 61.7588438888$$
$$x_{72} = -43.4845100065$$
$$x_{73} = -73.3296402156$$
$$x_{74} = -100.033177771$$
$$x_{75} = -10.4977871438$$
$$x_{76} = 0.497787143782$$
$$x_{77} = 126.161493287$$
$$x_{78} = -87.4668071567$$
$$x_{79} = 75.8960108299$$
$$x_{80} = -54.480084294$$
$$x_{81} = -74.9004365424$$
$$x_{82} = 66.4712328692$$
$$x_{83} = -19.9225651046$$
$$x_{84} = 36.6261026601$$
$$x_{85} = -32.4889357189$$
$$x_{86} = 69.6128255228$$
$$x_{87} = 88.4623814443$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в cos(2*x + 10).
$$\cos{\left (0 \cdot 2 + 10 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \cos{\left (10 \right )}$$
Точка:

(0, cos(10))

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- 2 \sin{\left (2 x + 10 \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -5$$
$$x_{2} = -5 + \frac{\pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

(-5, 1)

      pi     
(-5 + --, -1)
      2      

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = -5 + \frac{\pi}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = -5$$
Убывает на промежутках

(-oo, -5] U [-5 + pi/2, oo)

Возрастает на промежутках

[-5, -5 + pi/2]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- 4 \cos{\left (2 \left(x + 5\right) \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -5 + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = -5 + \frac{3 \pi}{4}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[-5 + pi/4, -5 + 3*pi/4]

Выпуклая на промежутках

(-oo, -5 + pi/4] U [-5 + 3*pi/4, oo)

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \cos{\left (2 x + 10 \right )} = \langle -1, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -1, 1\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \cos{\left (2 x + 10 \right )} = \langle -1, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -1, 1\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(2*x + 10), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \cos{\left (2 x + 10 \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \cos{\left (2 x + 10 \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\cos{\left (2 x + 10 \right )} = \cos{\left (2 x - 10 \right )}$$
- Нет
$$\cos{\left (2 x + 10 \right )} = - \cos{\left (2 x - 10 \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной