График функции y = cos(2*x)+sin(x)

Вы ввели

f(x) = cos(2*x) + sin(x)

$$f{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (2 x \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (2 x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = - i \log{\left (- \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2} \right )}$$
$$x_{3} = - i \log{\left (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2} \right )}$$
Численное решение
$$x_{1} = -10.995574825$$
$$x_{2} = 64.4026493092$$
$$x_{3} = -67.5442421665$$
$$x_{4} = -73.8274272801$$
$$x_{5} = 41.3643032723$$
$$x_{6} = -69.6386371546$$
$$x_{7} = -21.4675497995$$
$$x_{8} = -2.61799387799$$
$$x_{9} = -71.733032257$$
$$x_{10} = 47.6474885794$$
$$x_{11} = -44.5058959259$$
$$x_{12} = 1.57079653523$$
$$x_{13} = 76.9690198128$$
$$x_{14} = 51.8362788989$$
$$x_{15} = -0.523598775598$$
$$x_{16} = 18.3259571459$$
$$x_{17} = -13.08996939$$
$$x_{18} = -36.1283154199$$
$$x_{19} = 26.7035373553$$
$$x_{20} = -59.1666616426$$
$$x_{21} = -31.9395253115$$
$$x_{22} = -25.6563400043$$
$$x_{23} = -75.9218224618$$
$$x_{24} = 95.8185760577$$
$$x_{25} = 7.85398173973$$
$$x_{26} = 70.6858345098$$
$$x_{27} = 5.75958653158$$
$$x_{28} = -27.7507351067$$
$$x_{29} = -4.71238877564$$
$$x_{30} = 72.7802298082$$
$$x_{31} = -40.3171057211$$
$$x_{32} = 62.3082542962$$
$$x_{33} = 22.5147473507$$
$$x_{34} = 49.7418836818$$
$$x_{35} = 58.119464472$$
$$x_{36} = -23.5619450082$$
$$x_{37} = 45.5530936891$$
$$x_{38} = -38.2227106187$$
$$x_{39} = -80.11061258$$
$$x_{40} = 32.98672267$$
$$x_{41} = 66.497044501$$
$$x_{42} = 97.9129710369$$
$$x_{43} = -61.2610569526$$
$$x_{44} = 14.1371671029$$
$$x_{45} = 12.0427718388$$
$$x_{46} = -48.6946859199$$
$$x_{47} = -42.411500619$$
$$x_{48} = -34.0339204139$$
$$x_{49} = 89.5353908427$$
$$x_{50} = -105.243352994$$
$$x_{51} = -92.6769830654$$
$$x_{52} = 16.2315620435$$
$$x_{53} = 83.2522055084$$
$$x_{54} = 100.007366139$$
$$x_{55} = -17.2787597988$$
$$x_{56} = -29.8451300967$$
$$x_{57} = 9.94837673637$$
$$x_{58} = -90.5825881785$$
$$x_{59} = -46.6002910282$$
$$x_{60} = -63.3554518474$$
$$x_{61} = -78.0162175641$$
$$x_{62} = 68.5914396034$$
$$x_{63} = -54.9778716097$$
$$x_{64} = -65.4498469498$$
$$x_{65} = 56.025068989$$
$$x_{66} = -82.2050077689$$
$$x_{67} = -57.0722665402$$
$$x_{68} = 85.3466004225$$
$$x_{69} = 30.8923277603$$
$$x_{70} = -10.9955744709$$
$$x_{71} = -54.9778719401$$
$$x_{72} = 24.6091424531$$
$$x_{73} = -98.96016896$$
$$x_{74} = 91.6297857297$$
$$x_{75} = 74.8746249106$$
$$x_{76} = -88.4881930761$$
$$x_{77} = -98.9601687457$$
$$x_{78} = -84.2994028713$$
$$x_{79} = 39.2699083672$$
$$x_{80} = 93.7241808321$$
$$x_{81} = 20.4203521504$$
$$x_{82} = 629.88932728$$
$$x_{83} = 83.2522056281$$
$$x_{84} = 53.9306738866$$
$$x_{85} = -142.942465507$$
$$x_{86} = 3.66519142919$$
$$x_{87} = -86.3937977737$$
$$x_{88} = 60.2138591938$$
$$x_{89} = -19.3731546971$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в cos(2*x) + sin(x).
$$\sin{\left (0 \right )} + \cos{\left (0 \cdot 2 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (2 x \right )}\right) = \langle -2, 2\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -2, 2\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (2 x \right )}\right) = \langle -2, 2\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -2, 2\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(2*x) + sin(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (2 x \right )}\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (2 x \right )}\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (2 x \right )} = - \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (2 x \right )}$$
- Нет
$$\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (2 x \right )} = - -1 \sin{\left (x \right )} - \cos{\left (2 x \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной