График функции y = cos(2*x+45)

Вы ввели

f(x) = cos(2*x + 45)

$$f{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x + 45 \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\cos{\left(2 x + 45 \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{45}{2} + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = - \frac{45}{2} + \frac{3 \pi}{4}$$
Численное решение
$$x_{1} = -51.5597320457056$$
$$x_{2} = 6.55973204570559$$
$$x_{3} = 66.2499924639117$$
$$x_{4} = -45.276546738526$$
$$x_{5} = 36.4048622548086$$
$$x_{6} = 75.674770424681$$
$$x_{7} = -4.43584224185869$$
$$x_{8} = -35.8517687777566$$
$$x_{9} = 80.3871594050657$$
$$x_{10} = 37.9756585816035$$
$$x_{11} = -78.2632696012188$$
$$x_{12} = 58.3960108299372$$
$$x_{13} = 1.8473430653209$$
$$x_{14} = 61.537603483527$$
$$x_{15} = -81.4048622548086$$
$$x_{16} = -70.4092879672444$$
$$x_{17} = 39.5464549083984$$
$$x_{18} = -12.2898238758332$$
$$x_{19} = -20.1438055098077$$
$$x_{20} = 15.984510006475$$
$$x_{21} = 86.6703447122453$$
$$x_{22} = -57.8429173528852$$
$$x_{23} = -31.1393797973719$$
$$x_{24} = -7.57743489544848$$
$$x_{25} = 81.9579557318606$$
$$x_{26} = -23.2853981633974$$
$$x_{27} = 8.13052837250048$$
$$x_{28} = 52.1128255227576$$
$$x_{29} = 23.8384916404495$$
$$x_{30} = -87.6880475619882$$
$$x_{31} = -89.2588438887831$$
$$x_{32} = 72.5331777710912$$
$$x_{33} = 17.5553063332699$$
$$x_{34} = -42.1349540849362$$
$$x_{35} = -59.4137136796801$$
$$x_{36} = 64.6791961371168$$
$$x_{37} = -27.9977871437821$$
$$x_{38} = 67.8207887907066$$
$$x_{39} = -13.8606202026281$$
$$x_{40} = 20.6968989868597$$
$$x_{41} = 30.121676947629$$
$$x_{42} = 96.0951226730147$$
$$x_{43} = -73.5508806208341$$
$$x_{44} = -86.1172512351933$$
$$x_{45} = -71.9800842940392$$
$$x_{46} = 89.8119373658351$$
$$x_{47} = 94.5243263462198$$
$$x_{48} = 74.1039740978861$$
$$x_{49} = -15.431416529423$$
$$x_{50} = 45.829640215578$$
$$x_{51} = -65.6968989868597$$
$$x_{52} = -37.4225651045515$$
$$x_{53} = -43.7057504117311$$
$$x_{54} = -26.4269908169872$$
$$x_{55} = 28.5508806208341$$
$$x_{56} = -67.2676953136546$$
$$x_{57} = 44.2588438887831$$
$$x_{58} = -92.4004365423729$$
$$x_{59} = 83.5287520586555$$
$$x_{60} = 31.6924732744239$$
$$x_{61} = 50.5420291959627$$
$$x_{62} = -34.2809724509617$$
$$x_{63} = 59.9668071567321$$
$$x_{64} = 14.4137136796801$$
$$x_{65} = -6.00663856865359$$
$$x_{66} = -56.2721210260903$$
$$x_{67} = -29.568583470577$$
$$x_{68} = -21.7146018366026$$
$$x_{69} = -1.2942495882689$$
$$x_{70} = 53.6836218495525$$
$$x_{71} = -49.9889357189107$$
$$x_{72} = -48.4181393921158$$
$$x_{73} = 0.276546738526001$$
$$x_{74} = 22.2676953136546$$
$$x_{75} = -100.254418176347$$
$$x_{76} = 42.6880475619882$$
$$x_{77} = 9.70132469929538$$
$$x_{78} = 88.2411410390402$$
$$x_{79} = 102.378307980194$$
$$x_{80} = 85.0995483854504$$
$$x_{81} = 97.6659189998096$$
$$x_{82} = -79.8340659280137$$
$$x_{83} = -93.9712328691678$$
$$x_{84} = -95.5420291959627$$
$$x_{85} = -64.1261026600648$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в cos(2*x + 45).
$$\cos{\left(2 \cdot 0 + 45 \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \cos{\left(45 \right)}$$
Точка:

(0, cos(45))

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- 2 \sin{\left(2 x + 45 \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{45}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{45}{2} + \frac{\pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

(-45/2, 1)

   45   pi     
(- -- + --, -1)
   2    2      

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{45}{2} + \frac{\pi}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{45}{2}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{45}{2}\right] \cup \left[- \frac{45}{2} + \frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[- \frac{45}{2}, - \frac{45}{2} + \frac{\pi}{2}\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- 4 \cos{\left(2 x + 45 \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{45}{2} + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = - \frac{45}{2} + \frac{3 \pi}{4}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- \frac{45}{2} + \frac{\pi}{4}, - \frac{45}{2} + \frac{3 \pi}{4}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{45}{2} + \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[- \frac{45}{2} + \frac{3 \pi}{4}, \infty\right)$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \cos{\left(2 x + 45 \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \cos{\left(2 x + 45 \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(2*x + 45), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(2 x + 45 \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(2 x + 45 \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\cos{\left(2 x + 45 \right)} = \cos{\left(2 x - 45 \right)}$$
- Нет
$$\cos{\left(2 x + 45 \right)} = - \cos{\left(2 x - 45 \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График