График функции y = cos(sqrt(x))

Вы ввели

          /  ___\
f(x) = cos\\/ x /

$$f{\left (x \right )} = \cos{\left (\sqrt{x} \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\cos{\left (\sqrt{x} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi^{2}}{4}$$
$$x_{2} = \frac{9 \pi^{2}}{4}$$
Численное решение
$$x_{1} = 120.902653913$$
$$x_{2} = 2.46740110027$$
$$x_{3} = 199.859489122$$
$$x_{4} = 61.6850275068$$
$$x_{5} = 22.2066099025$$
$$x_{6} = 298.555533133$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в cos(sqrt(x)).
$$\cos{\left (\sqrt{0} \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =$$
Первая производная
$$- \frac{\sin{\left (\sqrt{x} \right )}}{2 \sqrt{x}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \pi^{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

   2     
(pi, -1)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \pi^{2}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках

[pi**2, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, pi**2]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \cos{\left (\sqrt{x} \right )} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty} \cos{\left (\sqrt{x} \right )} = \langle -1, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -1, 1\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(sqrt(x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \cos{\left (\sqrt{x} \right )}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \cos{\left (\sqrt{x} \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\cos{\left (\sqrt{x} \right )} = \cos{\left (\sqrt{- x} \right )}$$
- Нет
$$\cos{\left (\sqrt{x} \right )} = - \cos{\left (\sqrt{- x} \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной