График функции y = cos(log(x^2))

Вы ввели

          /   / 2\\
f(x) = cos\log\x //

$$f{\left (x \right )} = \cos{\left (\log{\left (x^{2} \right )} \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\cos{\left (\log{\left (x^{2} \right )} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - e^{\frac{\pi}{4}}$$
$$x_{2} = e^{\frac{\pi}{4}}$$
$$x_{3} = - e^{\frac{3 \pi}{4}}$$
$$x_{4} = e^{\frac{3 \pi}{4}}$$
Численное решение
$$x_{1} = 5649.82470148$$
$$x_{2} = 244.151062854$$
$$x_{3} = 2.19328005074$$
$$x_{4} = -2.19328005074$$
$$x_{5} = -27178.3539329$$
$$x_{6} = 50.7540195117$$
$$x_{7} = -5649.82470148$$
$$x_{8} = 27178.3539329$$
$$x_{9} = -244.151062854$$
$$x_{10} = 10.5507240742$$
$$x_{11} = 1174.4831654$$
$$x_{12} = -10.5507240742$$
$$x_{13} = -50.7540195117$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в cos(log(x^2)).
$$\cos{\left (\log{\left (0^{2} \right )} \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \cos{\left (\tilde{\infty} \right )}$$
Точка:

(0, cos(±oo))

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \frac{2}{x} \sin{\left (\log{\left (x^{2} \right )} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = - e^{\frac{\pi}{2}}$$
$$x_{4} = e^{\frac{\pi}{2}}$$
Зн. экстремумы в точках:

(-1, 1)

(1, 1)

   pi     
   --     
   2      
(-e , -1)

  pi     
  --     
  2      
(e , -1)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{4} = - e^{\frac{\pi}{2}}$$
$$x_{4} = e^{\frac{\pi}{2}}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{4} = -1$$
$$x_{4} = 1$$
Убывает на промежутках

[-exp(pi/2), -1] U [exp(pi/2), oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, -exp(pi/2)] U [1, exp(pi/2)]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{x^{2}} \left(2 \sin{\left (\log{\left (x^{2} \right )} \right )} - 4 \cos{\left (\log{\left (x^{2} \right )} \right )}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{1}{e^{\operatorname{atan}{\left (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right )}}}$$
$$x_{2} = e^{- \operatorname{atan}{\left (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right )}}$$
$$x_{3} = - e^{- \operatorname{atan}{\left (- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2} \right )}}$$
$$x_{4} = e^{- \operatorname{atan}{\left (- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2} \right )}}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[exp(-atan(-sqrt(5)/2 + 1/2)), oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -exp(-atan(1/2 + sqrt(5)/2))] U [exp(-atan(1/2 + sqrt(5)/2)), exp(-atan(-sqrt(5)/2 + 1/2))]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \cos{\left (\log{\left (x^{2} \right )} \right )} = \langle -1, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -1, 1\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \cos{\left (\log{\left (x^{2} \right )} \right )} = \langle -1, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -1, 1\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(log(x^2)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \cos{\left (\log{\left (x^{2} \right )} \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \cos{\left (\log{\left (x^{2} \right )} \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\cos{\left (\log{\left (x^{2} \right )} \right )} = \cos{\left (\log{\left (x^{2} \right )} \right )}$$
- Да
$$\cos{\left (\log{\left (x^{2} \right )} \right )} = - \cos{\left (\log{\left (x^{2} \right )} \right )}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной