График функции y = cos(|x|)

Вы ввели

f(x) = cos(|x|)

$$f{\left(x \right)} = \cos{\left(\left|{x}\right| \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\cos{\left(\left|{x}\right| \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 83.2522053201295$$
$$x_{2} = -45.553093477052$$
$$x_{3} = -80.1106126665397$$
$$x_{4} = -86.3937979737193$$
$$x_{5} = 10.9955742875643$$
$$x_{6} = -32.9867228626928$$
$$x_{7} = 86.3937979737193$$
$$x_{8} = 48.6946861306418$$
$$x_{9} = -1.5707963267949$$
$$x_{10} = 73.8274273593601$$
$$x_{11} = 54.9778714378214$$
$$x_{12} = 23.5619449019235$$
$$x_{13} = 7.85398163397448$$
$$x_{14} = 61.261056745001$$
$$x_{15} = -14.1371669411541$$
$$x_{16} = -95.8185759344887$$
$$x_{17} = -17.2787595947439$$
$$x_{18} = 17.2787595947439$$
$$x_{19} = 80.1106126665397$$
$$x_{20} = -387.986692718339$$
$$x_{21} = 64.4026493985908$$
$$x_{22} = -61.261056745001$$
$$x_{23} = -54.9778714378214$$
$$x_{24} = -89.5353906273091$$
$$x_{25} = 20.4203522483337$$
$$x_{26} = 89.5353906273091$$
$$x_{27} = -10.9955742875643$$
$$x_{28} = 26.7035375555132$$
$$x_{29} = 1.5707963267949$$
$$x_{30} = 29.845130209103$$
$$x_{31} = 45.553093477052$$
$$x_{32} = 36.1283155162826$$
$$x_{33} = -51.8362787842316$$
$$x_{34} = -4.71238898038469$$
$$x_{35} = 4.71238898038469$$
$$x_{36} = -7.85398163397448$$
$$x_{37} = 95.8185759344887$$
$$x_{38} = -73.8274273593601$$
$$x_{39} = -23.5619449019235$$
$$x_{40} = 32.9867228626928$$
$$x_{41} = 51.8362787842316$$
$$x_{42} = -48.6946861306418$$
$$x_{43} = -2266.65909956504$$
$$x_{44} = 58.1194640914112$$
$$x_{45} = -70.6858347057703$$
$$x_{46} = -26.7035375555132$$
$$x_{47} = -76.9690200129499$$
$$x_{48} = 39.2699081698724$$
$$x_{49} = -92.6769832808989$$
$$x_{50} = 14.1371669411541$$
$$x_{51} = -64.4026493985908$$
$$x_{52} = -42.4115008234622$$
$$x_{53} = -98.9601685880785$$
$$x_{54} = 76.9690200129499$$
$$x_{55} = 42.4115008234622$$
$$x_{56} = -29.845130209103$$
$$x_{57} = -39.2699081698724$$
$$x_{58} = 98.9601685880785$$
$$x_{59} = -20.4203522483337$$
$$x_{60} = -168.075206967054$$
$$x_{61} = 70.6858347057703$$
$$x_{62} = -36.1283155162826$$
$$x_{63} = 67.5442420521806$$
$$x_{64} = 92.6769832808989$$
$$x_{65} = -58.1194640914112$$
$$x_{66} = -83.2522053201295$$
$$x_{67} = -67.5442420521806$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в cos(|x|).
$$\cos{\left(\left|{0}\right| \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$- \sin{\left(\left|{x}\right| \right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 34.5575191894877$$
$$x_{2} = 72.2566310325652$$
$$x_{3} = -6.28318530717959$$
$$x_{4} = 47.1238898038469$$
$$x_{5} = -47.1238898038469$$
$$x_{6} = -97.3893722612836$$
$$x_{7} = -25.1327412287183$$
$$x_{8} = -72.2566310325652$$
$$x_{9} = 31.4159265358979$$
$$x_{10} = -9.42477796076938$$
$$x_{11} = -267.035375555132$$
$$x_{12} = 0$$
$$x_{13} = 81.6814089933346$$
$$x_{14} = 28.2743338823081$$
$$x_{15} = 43.9822971502571$$
$$x_{16} = -34.5575191894877$$
$$x_{17} = 6.28318530717959$$
$$x_{18} = -75.398223686155$$
$$x_{19} = 53.4070751110265$$
$$x_{20} = 50.2654824574367$$
$$x_{21} = 21.9911485751286$$
$$x_{22} = 56.5486677646163$$
$$x_{23} = -62.8318530717959$$
$$x_{24} = -15.707963267949$$
$$x_{25} = 62.8318530717959$$
$$x_{26} = -69.1150383789755$$
$$x_{27} = -59.6902604182061$$
$$x_{28} = 9.42477796076938$$
$$x_{29} = 37.6991118430775$$
$$x_{30} = 78.5398163397448$$
$$x_{31} = -43.9822971502571$$
$$x_{32} = -113.097335529233$$
$$x_{33} = -28.2743338823081$$
$$x_{34} = -53.4070751110265$$
$$x_{35} = 65.9734457253857$$
$$x_{36} = -50.2654824574367$$
$$x_{37} = -65.9734457253857$$
$$x_{38} = -100.530964914873$$
$$x_{39} = -94.2477796076938$$
$$x_{40} = 87.9645943005142$$
$$x_{41} = -2642.07942166902$$
$$x_{42} = 91.106186954104$$
$$x_{43} = -91.106186954104$$
$$x_{44} = -12.5663706143592$$
$$x_{45} = -56.5486677646163$$
$$x_{46} = -18.8495559215388$$
$$x_{47} = 40.8407044966673$$
$$x_{48} = -37.6991118430775$$
$$x_{49} = -40.8407044966673$$
$$x_{50} = 12.5663706143592$$
$$x_{51} = -232.477856365645$$
$$x_{52} = -87.9645943005142$$
$$x_{53} = 97.3893722612836$$
$$x_{54} = -21.9911485751286$$
$$x_{55} = 15.707963267949$$
$$x_{56} = 100.530964914873$$
$$x_{57} = -31.4159265358979$$
$$x_{58} = -3.14159265358979$$
$$x_{59} = 3.14159265358979$$
$$x_{60} = 75.398223686155$$
$$x_{61} = 84.8230016469244$$
$$x_{62} = 18.8495559215388$$
$$x_{63} = 59.6902604182061$$
$$x_{64} = -84.8230016469244$$
$$x_{65} = -78.5398163397448$$
$$x_{66} = 69.1150383789755$$
$$x_{67} = 94.2477796076938$$
$$x_{68} = -81.6814089933346$$
$$x_{69} = 25.1327412287183$$
Зн. экстремумы в точках:

(34.5575191894877, -1)

(72.2566310325652, -1)

(-6.28318530717959, 1)

(47.1238898038469, -1)

(-47.1238898038469, -1)

(-97.3893722612836, -1)

(-25.1327412287183, 1)

(-72.2566310325652, -1)

(31.4159265358979, 1)

(-9.42477796076938, -1)

(-267.035375555132, -1)

(0, 1)

(81.6814089933346, 1)

(28.2743338823081, -1)

(43.9822971502571, 1)

(-34.5575191894877, -1)

(6.28318530717959, 1)

(-75.398223686155, 1)

(53.4070751110265, -1)

(50.2654824574367, 1)

(21.9911485751286, -1)

(56.5486677646163, 1)

(-62.8318530717959, 1)

(-15.707963267949, -1)

(62.8318530717959, 1)

(-69.1150383789755, 1)

(-59.6902604182061, -1)

(9.42477796076938, -1)

(37.6991118430775, 1)

(78.5398163397448, -1)

(-43.9822971502571, 1)

(-113.097335529233, 1)

(-28.2743338823081, -1)

(-53.4070751110265, -1)

(65.9734457253857, -1)

(-50.2654824574367, 1)

(-65.9734457253857, -1)

(-100.530964914873, 1)

(-94.2477796076938, 1)

(87.9645943005142, 1)

(-2642.07942166902, -1)

(91.106186954104, -1)

(-91.106186954104, -1)

(-12.5663706143592, 1)

(-56.5486677646163, 1)

(-18.8495559215388, 1)

(40.8407044966673, -1)

(-37.6991118430775, 1)

(-40.8407044966673, -1)

(12.5663706143592, 1)

(-232.477856365645, 1)

(-87.9645943005142, 1)

(97.3893722612836, -1)

(-21.9911485751286, -1)

(15.707963267949, -1)

(100.530964914873, 1)

(-31.4159265358979, 1)

(-3.14159265358979, -1)

(3.14159265358979, -1)

(75.398223686155, 1)

(84.8230016469244, -1)

(18.8495559215388, 1)

(59.6902604182061, -1)

(-84.8230016469244, -1)

(-78.5398163397448, -1)

(69.1150383789755, 1)

(94.2477796076938, 1)

(-81.6814089933346, 1)

(25.1327412287183, 1)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 34.5575191894877$$
$$x_{2} = 72.2566310325652$$
$$x_{3} = 47.1238898038469$$
$$x_{4} = -47.1238898038469$$
$$x_{5} = -97.3893722612836$$
$$x_{6} = -72.2566310325652$$
$$x_{7} = -9.42477796076938$$
$$x_{8} = -267.035375555132$$
$$x_{9} = 28.2743338823081$$
$$x_{10} = -34.5575191894877$$
$$x_{11} = 53.4070751110265$$
$$x_{12} = 21.9911485751286$$
$$x_{13} = -15.707963267949$$
$$x_{14} = -59.6902604182061$$
$$x_{15} = 9.42477796076938$$
$$x_{16} = 78.5398163397448$$
$$x_{17} = -28.2743338823081$$
$$x_{18} = -53.4070751110265$$
$$x_{19} = 65.9734457253857$$
$$x_{20} = -65.9734457253857$$
$$x_{21} = -2642.07942166902$$
$$x_{22} = 91.106186954104$$
$$x_{23} = -91.106186954104$$
$$x_{24} = 40.8407044966673$$
$$x_{25} = -40.8407044966673$$
$$x_{26} = 97.3893722612836$$
$$x_{27} = -21.9911485751286$$
$$x_{28} = 15.707963267949$$
$$x_{29} = -3.14159265358979$$
$$x_{30} = 3.14159265358979$$
$$x_{31} = 84.8230016469244$$
$$x_{32} = 59.6902604182061$$
$$x_{33} = -84.8230016469244$$
$$x_{34} = -78.5398163397448$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{34} = -6.28318530717959$$
$$x_{34} = -25.1327412287183$$
$$x_{34} = 31.4159265358979$$
$$x_{34} = 0$$
$$x_{34} = 81.6814089933346$$
$$x_{34} = 43.9822971502571$$
$$x_{34} = 6.28318530717959$$
$$x_{34} = -75.398223686155$$
$$x_{34} = 50.2654824574367$$
$$x_{34} = 56.5486677646163$$
$$x_{34} = -62.8318530717959$$
$$x_{34} = 62.8318530717959$$
$$x_{34} = -69.1150383789755$$
$$x_{34} = 37.6991118430775$$
$$x_{34} = -43.9822971502571$$
$$x_{34} = -113.097335529233$$
$$x_{34} = -50.2654824574367$$
$$x_{34} = -100.530964914873$$
$$x_{34} = -94.2477796076938$$
$$x_{34} = 87.9645943005142$$
$$x_{34} = -12.5663706143592$$
$$x_{34} = -56.5486677646163$$
$$x_{34} = -18.8495559215388$$
$$x_{34} = -37.6991118430775$$
$$x_{34} = 12.5663706143592$$
$$x_{34} = -232.477856365645$$
$$x_{34} = -87.9645943005142$$
$$x_{34} = 100.530964914873$$
$$x_{34} = -31.4159265358979$$
$$x_{34} = 75.398223686155$$
$$x_{34} = 18.8495559215388$$
$$x_{34} = 69.1150383789755$$
$$x_{34} = 94.2477796076938$$
$$x_{34} = -81.6814089933346$$
$$x_{34} = 25.1327412287183$$
Убывает на промежутках
$$\left[97.3893722612836, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -2642.07942166902\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$- (2 \sin{\left(\left|{x}\right| \right)} \delta\left(x\right) + \cos{\left(\left|{x}\right| \right)} \operatorname{sign}^{2}{\left(x \right)}) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \cos{\left(\left|{x}\right| \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \cos{\left(\left|{x}\right| \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(|x|), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(\left|{x}\right| \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(\left|{x}\right| \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\cos{\left(\left|{x}\right| \right)} = \cos{\left(\left|{x}\right| \right)}$$
- Да
$$\cos{\left(\left|{x}\right| \right)} = - \cos{\left(\left|{x}\right| \right)}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной

График