Графики функций/ Построение в 2D/ y = cos((|x|))

График функции y = cos((|x|))

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Примеры
v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Виды выражений

уравнение cos((|x|)) = 0
неявная функция cos((|x|))
производная неявной cos((|x|))
канонический вид cos((|x|))
система уравнений cos((|x|))
интеграл cos((|x|))
предел cos((|x|))
производная cos((|x|))
упростить cos((|x|))

Решение

Вы ввели [src]
f(x) = cos(|x|)
f(x)=cos⁡(∣x∣)f{\left(x \right)} = \cos{\left(\left|{x}\right| \right)}
График функции
0-60-50-40-30-20-101020302-2
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
cos⁡(∣x∣)=0\cos{\left(\left|{x}\right| \right)} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}
Численное решение
x1=32.9867228626928x_{1} = 32.9867228626928
x2=−54.9778714378214x_{2} = -54.9778714378214
x3=−20.4203522483337x_{3} = -20.4203522483337
x4=−23.5619449019235x_{4} = -23.5619449019235
x5=−14.1371669411541x_{5} = -14.1371669411541
x6=92.6769832808989x_{6} = 92.6769832808989
x7=10.9955742875643x_{7} = 10.9955742875643
x8=83.2522053201295x_{8} = 83.2522053201295
x9=54.9778714378214x_{9} = 54.9778714378214
x10=−76.9690200129499x_{10} = -76.9690200129499
x11=26.7035375555132x_{11} = 26.7035375555132
x12=51.8362787842316x_{12} = 51.8362787842316
x13=−89.5353906273091x_{13} = -89.5353906273091
x14=−7.85398163397448x_{14} = -7.85398163397448
x15=−70.6858347057703x_{15} = -70.6858347057703
x16=−45.553093477052x_{16} = -45.553093477052
x17=23.5619449019235x_{17} = 23.5619449019235
x18=39.2699081698724x_{18} = 39.2699081698724
x19=29.845130209103x_{19} = 29.845130209103
x20=73.8274273593601x_{20} = 73.8274273593601
x21=86.3937979737193x_{21} = 86.3937979737193
x22=−26.7035375555132x_{22} = -26.7035375555132
x23=20.4203522483337x_{23} = 20.4203522483337
x24=−387.986692718339x_{24} = -387.986692718339
x25=−51.8362787842316x_{25} = -51.8362787842316
x26=−29.845130209103x_{26} = -29.845130209103
x27=−32.9867228626928x_{27} = -32.9867228626928
x28=−67.5442420521806x_{28} = -67.5442420521806
x29=61.261056745001x_{29} = 61.261056745001
x30=67.5442420521806x_{30} = 67.5442420521806
x31=76.9690200129499x_{31} = 76.9690200129499
x32=7.85398163397448x_{32} = 7.85398163397448
x33=64.4026493985908x_{33} = 64.4026493985908
x34=−36.1283155162826x_{34} = -36.1283155162826
x35=89.5353906273091x_{35} = 89.5353906273091
x36=−10.9955742875643x_{36} = -10.9955742875643
x37=−95.8185759344887x_{37} = -95.8185759344887
x38=−48.6946861306418x_{38} = -48.6946861306418
x39=45.553093477052x_{39} = 45.553093477052
x40=80.1106126665397x_{40} = 80.1106126665397
x41=−42.4115008234622x_{41} = -42.4115008234622
x42=−80.1106126665397x_{42} = -80.1106126665397
x43=−61.261056745001x_{43} = -61.261056745001
x44=−2266.65909956504x_{44} = -2266.65909956504
x45=−17.2787595947439x_{45} = -17.2787595947439
x46=48.6946861306418x_{46} = 48.6946861306418
x47=−4.71238898038469x_{47} = -4.71238898038469
x48=−39.2699081698724x_{48} = -39.2699081698724
x49=−64.4026493985908x_{49} = -64.4026493985908
x50=−86.3937979737193x_{50} = -86.3937979737193
x51=4.71238898038469x_{51} = 4.71238898038469
x52=−73.8274273593601x_{52} = -73.8274273593601
x53=−83.2522053201295x_{53} = -83.2522053201295
x54=42.4115008234622x_{54} = 42.4115008234622
x55=58.1194640914112x_{55} = 58.1194640914112
x56=−92.6769832808989x_{56} = -92.6769832808989
x57=14.1371669411541x_{57} = 14.1371669411541
x58=95.8185759344887x_{58} = 95.8185759344887
x59=70.6858347057703x_{59} = 70.6858347057703
x60=1.5707963267949x_{60} = 1.5707963267949
x61=36.1283155162826x_{61} = 36.1283155162826
x62=−1.5707963267949x_{62} = -1.5707963267949
x63=−168.075206967054x_{63} = -168.075206967054
x64=98.9601685880785x_{64} = 98.9601685880785
x65=17.2787595947439x_{65} = 17.2787595947439
x66=−58.1194640914112x_{66} = -58.1194640914112
x67=−98.9601685880785x_{67} = -98.9601685880785
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в cos(|x|).
cos⁡(∣0∣)\cos{\left(\left|{0}\right| \right)}
Результат:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Точка:
(0, 1)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
первая производная
−sin⁡(∣x∣)sign⁡(x)=0- \sin{\left(\left|{x}\right| \right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=−84.8230016469244x_{1} = -84.8230016469244
x2=−12.5663706143592x_{2} = -12.5663706143592
x3=75.398223686155x_{3} = 75.398223686155
x4=−50.2654824574367x_{4} = -50.2654824574367
x5=−97.3893722612836x_{5} = -97.3893722612836
x6=3.14159265358979x_{6} = 3.14159265358979
x7=15.707963267949x_{7} = 15.707963267949
x8=59.6902604182061x_{8} = 59.6902604182061
x9=40.8407044966673x_{9} = 40.8407044966673
x10=−62.8318530717959x_{10} = -62.8318530717959
x11=21.9911485751286x_{11} = 21.9911485751286
x12=−53.4070751110265x_{12} = -53.4070751110265
x13=−72.2566310325652x_{13} = -72.2566310325652
x14=9.42477796076938x_{14} = 9.42477796076938
x15=87.9645943005142x_{15} = 87.9645943005142
x16=−91.106186954104x_{16} = -91.106186954104
x17=−100.530964914873x_{17} = -100.530964914873
x18=−34.5575191894877x_{18} = -34.5575191894877
x19=−47.1238898038469x_{19} = -47.1238898038469
x20=−87.9645943005142x_{20} = -87.9645943005142
x21=0x_{21} = 0
x22=−21.9911485751286x_{22} = -21.9911485751286
x23=37.6991118430775x_{23} = 37.6991118430775
x24=−28.2743338823081x_{24} = -28.2743338823081
x25=−232.477856365645x_{25} = -232.477856365645
x26=−6.28318530717959x_{26} = -6.28318530717959
x27=43.9822971502571x_{27} = 43.9822971502571
x28=91.106186954104x_{28} = 91.106186954104
x29=−2642.07942166902x_{29} = -2642.07942166902
x30=−40.8407044966673x_{30} = -40.8407044966673
x31=94.2477796076938x_{31} = 94.2477796076938
x32=−31.4159265358979x_{32} = -31.4159265358979
x33=−69.1150383789755x_{33} = -69.1150383789755
x34=47.1238898038469x_{34} = 47.1238898038469
x35=62.8318530717959x_{35} = 62.8318530717959
x36=−56.5486677646163x_{36} = -56.5486677646163
x37=18.8495559215388x_{37} = 18.8495559215388
x38=−37.6991118430775x_{38} = -37.6991118430775
x39=56.5486677646163x_{39} = 56.5486677646163
x40=65.9734457253857x_{40} = 65.9734457253857
x41=−59.6902604182061x_{41} = -59.6902604182061
x42=−75.398223686155x_{42} = -75.398223686155
x43=−3.14159265358979x_{43} = -3.14159265358979
x44=81.6814089933346x_{44} = 81.6814089933346
x45=−18.8495559215388x_{45} = -18.8495559215388
x46=31.4159265358979x_{46} = 31.4159265358979
x47=−267.035375555132x_{47} = -267.035375555132
x48=−9.42477796076938x_{48} = -9.42477796076938
x49=−15.707963267949x_{49} = -15.707963267949
x50=−43.9822971502571x_{50} = -43.9822971502571
x51=−113.097335529233x_{51} = -113.097335529233
x52=78.5398163397448x_{52} = 78.5398163397448
x53=−78.5398163397448x_{53} = -78.5398163397448
x54=−81.6814089933346x_{54} = -81.6814089933346
x55=84.8230016469244x_{55} = 84.8230016469244
x56=28.2743338823081x_{56} = 28.2743338823081
x57=−25.1327412287183x_{57} = -25.1327412287183
x58=−65.9734457253857x_{58} = -65.9734457253857
x59=97.3893722612836x_{59} = 97.3893722612836
x60=69.1150383789755x_{60} = 69.1150383789755
x61=50.2654824574367x_{61} = 50.2654824574367
x62=100.530964914873x_{62} = 100.530964914873
x63=34.5575191894877x_{63} = 34.5575191894877
x64=6.28318530717959x_{64} = 6.28318530717959
x65=25.1327412287183x_{65} = 25.1327412287183
x66=53.4070751110265x_{66} = 53.4070751110265
x67=−94.2477796076938x_{67} = -94.2477796076938
x68=12.5663706143592x_{68} = 12.5663706143592
x69=72.2566310325652x_{69} = 72.2566310325652
Зн. экстремумы в точках:
(-84.8230016469244, -1)

(-12.5663706143592, 1)

(75.398223686155, 1)

(-50.2654824574367, 1)

(-97.3893722612836, -1)

(3.14159265358979, -1)

(15.707963267949, -1)

(59.6902604182061, -1)

(40.8407044966673, -1)

(-62.8318530717959, 1)

(21.9911485751286, -1)

(-53.4070751110265, -1)

(-72.2566310325652, -1)

(9.42477796076938, -1)

(87.9645943005142, 1)

(-91.106186954104, -1)

(-100.530964914873, 1)

(-34.5575191894877, -1)

(-47.1238898038469, -1)

(-87.9645943005142, 1)

(0, 1)

(-21.9911485751286, -1)

(37.6991118430775, 1)

(-28.2743338823081, -1)

(-232.477856365645, 1)

(-6.28318530717959, 1)

(43.9822971502571, 1)

(91.106186954104, -1)

(-2642.07942166902, -1)

(-40.8407044966673, -1)

(94.2477796076938, 1)

(-31.4159265358979, 1)

(-69.1150383789755, 1)

(47.1238898038469, -1)

(62.8318530717959, 1)

(-56.5486677646163, 1)

(18.8495559215388, 1)

(-37.6991118430775, 1)

(56.5486677646163, 1)

(65.9734457253857, -1)

(-59.6902604182061, -1)

(-75.398223686155, 1)

(-3.14159265358979, -1)

(81.6814089933346, 1)

(-18.8495559215388, 1)

(31.4159265358979, 1)

(-267.035375555132, -1)

(-9.42477796076938, -1)

(-15.707963267949, -1)

(-43.9822971502571, 1)

(-113.097335529233, 1)

(78.5398163397448, -1)

(-78.5398163397448, -1)

(-81.6814089933346, 1)

(84.8230016469244, -1)

(28.2743338823081, -1)

(-25.1327412287183, 1)

(-65.9734457253857, -1)

(97.3893722612836, -1)

(69.1150383789755, 1)

(50.2654824574367, 1)

(100.530964914873, 1)

(34.5575191894877, -1)

(6.28318530717959, 1)

(25.1327412287183, 1)

(53.4070751110265, -1)

(-94.2477796076938, 1)

(12.5663706143592, 1)

(72.2566310325652, -1)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x1=−84.8230016469244x_{1} = -84.8230016469244
x2=−97.3893722612836x_{2} = -97.3893722612836
x3=3.14159265358979x_{3} = 3.14159265358979
x4=15.707963267949x_{4} = 15.707963267949
x5=59.6902604182061x_{5} = 59.6902604182061
x6=40.8407044966673x_{6} = 40.8407044966673
x7=21.9911485751286x_{7} = 21.9911485751286
x8=−53.4070751110265x_{8} = -53.4070751110265
x9=−72.2566310325652x_{9} = -72.2566310325652
x10=9.42477796076938x_{10} = 9.42477796076938
x11=−91.106186954104x_{11} = -91.106186954104
x12=−34.5575191894877x_{12} = -34.5575191894877
x13=−47.1238898038469x_{13} = -47.1238898038469
x14=−21.9911485751286x_{14} = -21.9911485751286
x15=−28.2743338823081x_{15} = -28.2743338823081
x16=91.106186954104x_{16} = 91.106186954104
x17=−2642.07942166902x_{17} = -2642.07942166902
x18=−40.8407044966673x_{18} = -40.8407044966673
x19=47.1238898038469x_{19} = 47.1238898038469
x20=65.9734457253857x_{20} = 65.9734457253857
x21=−59.6902604182061x_{21} = -59.6902604182061
x22=−3.14159265358979x_{22} = -3.14159265358979
x23=−267.035375555132x_{23} = -267.035375555132
x24=−9.42477796076938x_{24} = -9.42477796076938
x25=−15.707963267949x_{25} = -15.707963267949
x26=78.5398163397448x_{26} = 78.5398163397448
x27=−78.5398163397448x_{27} = -78.5398163397448
x28=84.8230016469244x_{28} = 84.8230016469244
x29=28.2743338823081x_{29} = 28.2743338823081
x30=−65.9734457253857x_{30} = -65.9734457253857
x31=97.3893722612836x_{31} = 97.3893722612836
x32=34.5575191894877x_{32} = 34.5575191894877
x33=53.4070751110265x_{33} = 53.4070751110265
x34=72.2566310325652x_{34} = 72.2566310325652
Максимумы функции в точках:
x34=−12.5663706143592x_{34} = -12.5663706143592
x34=75.398223686155x_{34} = 75.398223686155
x34=−50.2654824574367x_{34} = -50.2654824574367
x34=−62.8318530717959x_{34} = -62.8318530717959
x34=87.9645943005142x_{34} = 87.9645943005142
x34=−100.530964914873x_{34} = -100.530964914873
x34=−87.9645943005142x_{34} = -87.9645943005142
x34=0x_{34} = 0
x34=37.6991118430775x_{34} = 37.6991118430775
x34=−232.477856365645x_{34} = -232.477856365645
x34=−6.28318530717959x_{34} = -6.28318530717959
x34=43.9822971502571x_{34} = 43.9822971502571
x34=94.2477796076938x_{34} = 94.2477796076938
x34=−31.4159265358979x_{34} = -31.4159265358979
x34=−69.1150383789755x_{34} = -69.1150383789755
x34=62.8318530717959x_{34} = 62.8318530717959
x34=−56.5486677646163x_{34} = -56.5486677646163
x34=18.8495559215388x_{34} = 18.8495559215388
x34=−37.6991118430775x_{34} = -37.6991118430775
x34=56.5486677646163x_{34} = 56.5486677646163
x34=−75.398223686155x_{34} = -75.398223686155
x34=81.6814089933346x_{34} = 81.6814089933346
x34=−18.8495559215388x_{34} = -18.8495559215388
x34=31.4159265358979x_{34} = 31.4159265358979
x34=−43.9822971502571x_{34} = -43.9822971502571
x34=−113.097335529233x_{34} = -113.097335529233
x34=−81.6814089933346x_{34} = -81.6814089933346
x34=−25.1327412287183x_{34} = -25.1327412287183
x34=69.1150383789755x_{34} = 69.1150383789755
x34=50.2654824574367x_{34} = 50.2654824574367
x34=100.530964914873x_{34} = 100.530964914873
x34=6.28318530717959x_{34} = 6.28318530717959
x34=25.1327412287183x_{34} = 25.1327412287183
x34=−94.2477796076938x_{34} = -94.2477796076938
x34=12.5663706143592x_{34} = 12.5663706143592
Убывает на промежутках
[97.3893722612836,∞)\left[97.3893722612836, \infty\right)
Возрастает на промежутках
(−∞,−2642.07942166902]\left(-\infty, -2642.07942166902\right]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
вторая производная
−(2sin⁡(∣x∣)δ(x)+cos⁡(∣x∣)sign⁡2(x))=0- (2 \sin{\left(\left|{x}\right| \right)} \delta\left(x\right) + \cos{\left(\left|{x}\right| \right)} \operatorname{sign}^{2}{\left(x \right)}) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(−∞,−π2]∪[π2,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Выпуклая на промежутках
[−π2,π2]\left[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
lim⁡x→−∞cos⁡(∣x∣)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to -\infty} \cos{\left(\left|{x}\right| \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
lim⁡x→∞cos⁡(∣x∣)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to \infty} \cos{\left(\left|{x}\right| \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(|x|), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(∣x∣)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(\left|{x}\right| \right)}}{x}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
lim⁡x→∞(cos⁡(∣x∣)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(\left|{x}\right| \right)}}{x}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
cos⁡(∣x∣)=cos⁡(∣x∣)\cos{\left(\left|{x}\right| \right)} = \cos{\left(\left|{x}\right| \right)}
- Да
cos⁡(∣x∣)=−cos⁡(∣x∣)\cos{\left(\left|{x}\right| \right)} = - \cos{\left(\left|{x}\right| \right)}
- Нет
значит, функция
является
чётной
График
График функции y = cos((|x|)) /media/krcore-image-pods/hash/xy/8/27/315c6bebf14eb0065a2d729a83ff1.png