График функции y = cos(|x+2|)

Вы ввели

f(x) = cos(|x + 2|)

$$f{\left(x \right)} = \cos{\left(\left|{x + 2}\right| \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\cos{\left(\left|{x + 2}\right| \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -2 + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = -2 + \frac{3 \pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 100.101761241668$$
$$x_{2} = -12.9955742875643$$
$$x_{3} = -66.4026493985908$$
$$x_{4} = -63.261056745001$$
$$x_{5} = -389.986692718339$$
$$x_{6} = 52.9778714378214$$
$$x_{7} = -50.6946861306418$$
$$x_{8} = -91.5353906273091$$
$$x_{9} = -38.1283155162826$$
$$x_{10} = -60.1194640914112$$
$$x_{11} = -100.960168588078$$
$$x_{12} = 68.6858347057703$$
$$x_{13} = 78.1106126665397$$
$$x_{14} = -16.1371669411541$$
$$x_{15} = -19.2787595947439$$
$$x_{16} = -9.85398163397448$$
$$x_{17} = 30.9867228626928$$
$$x_{18} = -53.8362787842316$$
$$x_{19} = -22.4203522483337$$
$$x_{20} = 96.9601685880785$$
$$x_{21} = -170.075206967054$$
$$x_{22} = 49.8362787842316$$
$$x_{23} = -97.8185759344887$$
$$x_{24} = 71.8274273593601$$
$$x_{25} = -72.6858347057703$$
$$x_{26} = -85.2522053201295$$
$$x_{27} = -78.9690200129499$$
$$x_{28} = 37.2699081698724$$
$$x_{29} = -28.7035375555132$$
$$x_{30} = -88.3937979737193$$
$$x_{31} = 81.2522053201295$$
$$x_{32} = 18.4203522483337$$
$$x_{33} = 21.5619449019235$$
$$x_{34} = 27.845130209103$$
$$x_{35} = -6.71238898038469$$
$$x_{36} = -31.845130209103$$
$$x_{37} = -34.9867228626928$$
$$x_{38} = 90.6769832808989$$
$$x_{39} = 40.4115008234622$$
$$x_{40} = -3.5707963267949$$
$$x_{41} = -47.553093477052$$
$$x_{42} = -56.9778714378214$$
$$x_{43} = -44.4115008234622$$
$$x_{44} = 2.71238898038469$$
$$x_{45} = 65.5442420521806$$
$$x_{46} = 12.1371669411541$$
$$x_{47} = 84.3937979737193$$
$$x_{48} = 15.2787595947439$$
$$x_{49} = 59.261056745001$$
$$x_{50} = -41.2699081698724$$
$$x_{51} = 8.99557428756428$$
$$x_{52} = 74.9690200129499$$
$$x_{53} = 46.6946861306418$$
$$x_{54} = 43.553093477052$$
$$x_{55} = -94.6769832808989$$
$$x_{56} = 24.7035375555132$$
$$x_{57} = -69.5442420521806$$
$$x_{58} = 5.85398163397448$$
$$x_{59} = 62.4026493985908$$
$$x_{60} = 87.5353906273091$$
$$x_{61} = -25.5619449019235$$
$$x_{62} = 56.1194640914112$$
$$x_{63} = 34.1283155162826$$
$$x_{64} = -75.8274273593601$$
$$x_{65} = -82.1106126665397$$
$$x_{66} = 93.8185759344887$$
$$x_{67} = -2268.65909956504$$
$$x_{68} = -0.429203673205103$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в cos(|x + 2|).
$$\cos{\left(\left|{0 + 2}\right| \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \cos{\left(2 \right)}$$
Точка:

(0, cos(2))

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$- \sin{\left(\left|{x + 2}\right| \right)} \operatorname{sign}{\left(x + 2 \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -64.8318530717959$$
$$x_{2} = 32.5575191894877$$
$$x_{3} = 63.9734457253857$$
$$x_{4} = 60.8318530717959$$
$$x_{5} = -5.14159265358979$$
$$x_{6} = -8.28318530717959$$
$$x_{7} = -30.2743338823081$$
$$x_{8} = 151.9380400259$$
$$x_{9} = -61.6902604182061$$
$$x_{10} = -17.707963267949$$
$$x_{11} = -42.8407044966673$$
$$x_{12} = 70.2566310325652$$
$$x_{13} = -86.8230016469244$$
$$x_{14} = 13.707963267949$$
$$x_{15} = -45.9822971502571$$
$$x_{16} = 4.28318530717959$$
$$x_{17} = 76.5398163397448$$
$$x_{18} = -99.3893722612836$$
$$x_{19} = -55.4070751110265$$
$$x_{20} = -96.2477796076938$$
$$x_{21} = -27.1327412287183$$
$$x_{22} = 98.5309649148734$$
$$x_{23} = -14.5663706143592$$
$$x_{24} = -67.9734457253857$$
$$x_{25} = 92.2477796076938$$
$$x_{26} = 23.1327412287183$$
$$x_{27} = -93.106186954104$$
$$x_{28} = 10.5663706143592$$
$$x_{29} = 1.14159265358979$$
$$x_{30} = 89.106186954104$$
$$x_{31} = 26.2743338823081$$
$$x_{32} = 82.8230016469244$$
$$x_{33} = 48.2654824574367$$
$$x_{34} = 95.3893722612836$$
$$x_{35} = 57.6902604182061$$
$$x_{36} = -2$$
$$x_{37} = 35.6991118430775$$
$$x_{38} = -77.398223686155$$
$$x_{39} = -115.097335529233$$
$$x_{40} = 38.8407044966673$$
$$x_{41} = 29.4159265358979$$
$$x_{42} = -39.6991118430775$$
$$x_{43} = 67.1150383789755$$
$$x_{44} = 7861.40641193525$$
$$x_{45} = -234.477856365645$$
$$x_{46} = 79.6814089933346$$
$$x_{47} = 19.9911485751286$$
$$x_{48} = -11.4247779607694$$
$$x_{49} = 45.1238898038469$$
$$x_{50} = -74.2566310325652$$
$$x_{51} = 85.9645943005142$$
$$x_{52} = -269.035375555132$$
$$x_{53} = 73.398223686155$$
$$x_{54} = -71.1150383789755$$
$$x_{55} = -83.6814089933346$$
$$x_{56} = -52.2654824574367$$
$$x_{57} = 54.5486677646163$$
$$x_{58} = 16.8495559215388$$
$$x_{59} = -23.9911485751286$$
$$x_{60} = 41.9822971502571$$
$$x_{61} = 51.4070751110265$$
$$x_{62} = -80.5398163397448$$
$$x_{63} = -20.8495559215388$$
$$x_{64} = -89.9645943005142$$
$$x_{65} = -33.4159265358979$$
$$x_{66} = 7.42477796076938$$
$$x_{67} = -49.1238898038469$$
$$x_{68} = -58.5486677646163$$
$$x_{69} = -36.5575191894877$$
Зн. экстремумы в точках:

(-64.8318530717959, 1)

(32.5575191894877, -1)

(63.9734457253857, -1)

(60.8318530717959, 1)

(-5.14159265358979, -1)

(-8.28318530717959, 1)

(-30.2743338823081, -1)

(151.9380400259, -1)

(-61.6902604182061, -1)

(-17.707963267949, -1)

(-42.8407044966673, -1)

(70.2566310325652, -1)

(-86.8230016469244, -1)

(13.707963267949, -1)

(-45.9822971502571, 1)

(4.28318530717959, 1)

(76.5398163397448, -1)

(-99.3893722612836, -1)

(-55.4070751110265, -1)

(-96.2477796076938, 1)

(-27.1327412287183, 1)

(98.5309649148734, 1)

(-14.5663706143592, 1)

(-67.9734457253857, -1)

(92.2477796076938, 1)

(23.1327412287183, 1)

(-93.106186954104, -1)

(10.5663706143592, 1)

(1.14159265358979, -1)

(89.106186954104, -1)

(26.2743338823081, -1)

(82.8230016469244, -1)

(48.2654824574367, 1)

(95.3893722612836, -1)

(57.6902604182061, -1)

(-2, 1)

(35.6991118430775, 1)

(-77.398223686155, 1)

(-115.097335529233, 1)

(38.8407044966673, -1)

(29.4159265358979, 1)

(-39.6991118430775, 1)

(67.1150383789755, 1)

(7861.40641193525, -1)

(-234.477856365645, 1)

(79.6814089933346, 1)

(19.9911485751286, -1)

(-11.4247779607694, -1)

(45.1238898038469, -1)

(-74.2566310325652, -1)

(85.9645943005142, 1)

(-269.035375555132, -1)

(73.398223686155, 1)

(-71.1150383789755, 1)

(-83.6814089933346, 1)

(-52.2654824574367, 1)

(54.5486677646163, 1)

(16.8495559215388, 1)

(-23.9911485751286, -1)

(41.9822971502571, 1)

(51.4070751110265, -1)

(-80.5398163397448, -1)

(-20.8495559215388, 1)

(-89.9645943005142, 1)

(-33.4159265358979, 1)

(7.42477796076938, -1)

(-49.1238898038469, -1)

(-58.5486677646163, 1)

(-36.5575191894877, -1)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 32.5575191894877$$
$$x_{2} = 63.9734457253857$$
$$x_{3} = -5.14159265358979$$
$$x_{4} = -30.2743338823081$$
$$x_{5} = 151.9380400259$$
$$x_{6} = -61.6902604182061$$
$$x_{7} = -17.707963267949$$
$$x_{8} = -42.8407044966673$$
$$x_{9} = 70.2566310325652$$
$$x_{10} = -86.8230016469244$$
$$x_{11} = 13.707963267949$$
$$x_{12} = 76.5398163397448$$
$$x_{13} = -99.3893722612836$$
$$x_{14} = -55.4070751110265$$
$$x_{15} = -67.9734457253857$$
$$x_{16} = -93.106186954104$$
$$x_{17} = 1.14159265358979$$
$$x_{18} = 89.106186954104$$
$$x_{19} = 26.2743338823081$$
$$x_{20} = 82.8230016469244$$
$$x_{21} = 95.3893722612836$$
$$x_{22} = 57.6902604182061$$
$$x_{23} = 38.8407044966673$$
$$x_{24} = 7861.40641193525$$
$$x_{25} = 19.9911485751286$$
$$x_{26} = -11.4247779607694$$
$$x_{27} = 45.1238898038469$$
$$x_{28} = -74.2566310325652$$
$$x_{29} = -269.035375555132$$
$$x_{30} = -23.9911485751286$$
$$x_{31} = 51.4070751110265$$
$$x_{32} = -80.5398163397448$$
$$x_{33} = 7.42477796076938$$
$$x_{34} = -49.1238898038469$$
$$x_{35} = -36.5575191894877$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{35} = -64.8318530717959$$
$$x_{35} = 60.8318530717959$$
$$x_{35} = -8.28318530717959$$
$$x_{35} = -45.9822971502571$$
$$x_{35} = 4.28318530717959$$
$$x_{35} = -96.2477796076938$$
$$x_{35} = -27.1327412287183$$
$$x_{35} = 98.5309649148734$$
$$x_{35} = -14.5663706143592$$
$$x_{35} = 92.2477796076938$$
$$x_{35} = 23.1327412287183$$
$$x_{35} = 10.5663706143592$$
$$x_{35} = 48.2654824574367$$
$$x_{35} = -2$$
$$x_{35} = 35.6991118430775$$
$$x_{35} = -77.398223686155$$
$$x_{35} = -115.097335529233$$
$$x_{35} = 29.4159265358979$$
$$x_{35} = -39.6991118430775$$
$$x_{35} = 67.1150383789755$$
$$x_{35} = -234.477856365645$$
$$x_{35} = 79.6814089933346$$
$$x_{35} = 85.9645943005142$$
$$x_{35} = 73.398223686155$$
$$x_{35} = -71.1150383789755$$
$$x_{35} = -83.6814089933346$$
$$x_{35} = -52.2654824574367$$
$$x_{35} = 54.5486677646163$$
$$x_{35} = 16.8495559215388$$
$$x_{35} = 41.9822971502571$$
$$x_{35} = -20.8495559215388$$
$$x_{35} = -89.9645943005142$$
$$x_{35} = -33.4159265358979$$
$$x_{35} = -58.5486677646163$$
Убывает на промежутках
$$\left[7861.40641193525, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -269.035375555132\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$- (2 \sin{\left(\left|{x + 2}\right| \right)} \delta\left(x + 2\right) + \cos{\left(\left|{x + 2}\right| \right)} \operatorname{sign}^{2}{\left(x + 2 \right)}) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \cos{\left(\left|{x + 2}\right| \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \cos{\left(\left|{x + 2}\right| \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(|x + 2|), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(\left|{x + 2}\right| \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(\left|{x + 2}\right| \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\cos{\left(\left|{x + 2}\right| \right)} = \cos{\left(\left|{x - 2}\right| \right)}$$
- Нет
$$\cos{\left(\left|{x + 2}\right| \right)} = - \cos{\left(\left|{x - 2}\right| \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График