График функции y = cos(1/2*x)

Вы ввели

          /x\
f(x) = cos|-|
          \2/

$$f{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \pi$$
$$x_{2} = 3 \pi$$
Численное решение
$$x_{1} = -84.8230016469244$$
$$x_{2} = -97.3893722612836$$
$$x_{3} = 3.14159265358979$$
$$x_{4} = 15.707963267949$$
$$x_{5} = 59.6902604182061$$
$$x_{6} = 40.8407044966673$$
$$x_{7} = 21.9911485751286$$
$$x_{8} = -53.4070751110265$$
$$x_{9} = -72.2566310325652$$
$$x_{10} = 9.42477796076938$$
$$x_{11} = -91.106186954104$$
$$x_{12} = -47.1238898038469$$
$$x_{13} = -34.5575191894877$$
$$x_{14} = -21.9911485751286$$
$$x_{15} = -28.2743338823081$$
$$x_{16} = 91.106186954104$$
$$x_{17} = -40.8407044966673$$
$$x_{18} = 47.1238898038469$$
$$x_{19} = -9591.28237140964$$
$$x_{20} = 65.9734457253857$$
$$x_{21} = -59.6902604182061$$
$$x_{22} = -3.14159265358979$$
$$x_{23} = -9.42477796076938$$
$$x_{24} = -15.707963267949$$
$$x_{25} = 78.5398163397448$$
$$x_{26} = -78.5398163397448$$
$$x_{27} = -160.221225333079$$
$$x_{28} = 84.8230016469244$$
$$x_{29} = 28.2743338823081$$
$$x_{30} = -65.9734457253857$$
$$x_{31} = 97.3893722612836$$
$$x_{32} = 34.5575191894877$$
$$x_{33} = 7517042.68028432$$
$$x_{34} = 53.4070751110265$$
$$x_{35} = 72.2566310325652$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в cos(x/2).
$$\cos{\left(\frac{1}{2} \cdot 0 \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$- \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2 \pi$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 1)

(2*pi, -1)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 2 \pi$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[2 \pi, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[0, 2 \pi\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$- \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{4} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \pi$$
$$x_{2} = 3 \pi$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\pi, 3 \pi\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, \pi\right] \cup \left[3 \pi, \infty\right)$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(x/2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} = \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$$
- Да
$$\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} = - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной

График