Графики функций/ Построение в 2D/ y = cos(1/x)

График функции y = cos(1/x)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Примеры
v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Виды выражений

уравнение cos(1/x) = 0
неявная функция cos(1/x)
производная неявной cos(1/x)
канонический вид cos(1/x)
система уравнений cos(1/x)
интеграл cos(1/x)
предел cos(1/x)
производная cos(1/x)
упростить cos(1/x)
обычный калькулятор cos(1/x)

Решение

Вы ввели [src]
          /  1\
f(x) = cos|1*-|
          \  x/
f(x)=cos⁡(1⋅1x)f{\left(x \right)} = \cos{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}
График функции
02468-8-6-4-2-10102-2
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
x1=0x_{1} = 0
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
cos⁡(1⋅1x)=0\cos{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)} = 0
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в cos(1/x).
cos⁡(1⋅10)\cos{\left(1 \cdot \frac{1}{0} \right)}
Результат:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- решений у ур-ния нет
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
первая производная
sin⁡(1⋅1x)x2=0\frac{\sin{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x^{2}} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=1πx_{1} = \frac{1}{\pi}
Зн. экстремумы в точках:
 1      
(--, -1)
 pi


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x1=1πx_{1} = \frac{1}{\pi}
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
[1π,∞)\left[\frac{1}{\pi}, \infty\right)
Возрастает на промежутках
(−∞,1π]\left(-\infty, \frac{1}{\pi}\right]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
вторая производная
−2sin⁡(1x)+cos⁡(1x)xx3=0- \frac{2 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} + \frac{\cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}}{x^{3}} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=−4344.77129946241x_{1} = -4344.77129946241
x2=−9578.31948091886x_{2} = -9578.31948091886
x3=−6307.32515246242x_{3} = -6307.32515246242
x4=8085.61819208994x_{4} = 8085.61819208994
x5=7867.55170454519x_{5} = 7867.55170454519
x6=−4998.94909118433x_{6} = -4998.94909118433
x7=5686.90261697445x_{7} = 5686.90261697445
x8=−2600.37816709516x_{8} = -2600.37816709516
x9=−4126.71435428679x_{9} = -4126.71435428679
x10=10920.4961326302x_{10} = 10920.4961326302
x11=6341.09349991192x_{11} = 6341.09349991192
x12=8303.68487622058x_{12} = 8303.68487622058
x13=−7397.65078485226x_{13} = -7397.65078485226
x14=−9796.38717349232x_{14} = -9796.38717349232
x15=−6961.51957250769x_{15} = -6961.51957250769
x16=−1292.38283163016x_{16} = -1292.38283163016
x17=−1946.30879913818x_{17} = -1946.30879913818
x18=−3690.60517565222x_{18} = -3690.60517565222
x19=7649.4854303998x_{19} = 7649.4854303998
x20=9394.02076648111x_{20} = 9394.02076648111
x21=2852.18048814786x_{21} = 2852.18048814786
x22=−7615.71678829324x_{22} = -7615.71678829324
x23=4378.53861045658x_{23} = 4378.53861045658
x24=−8269.91613624535x_{24} = -8269.91613624535
x25=6123.0294019367x_{25} = 6123.0294019367
x26=−6743.45441499989x_{26} = -6743.45441499989
x27=3070.22351896922x_{27} = 3070.22351896922
x28=−9360.25190659859x_{28} = -9360.25190659859
x29=−1510.33069137687x_{29} = -1510.33069137687
x30=−10668.6589812788x_{30} = -10668.6589812788
x31=5250.77810403946x_{31} = 5250.77810403946
x32=4814.65648065893x_{32} = 4814.65648065893
x33=8957.88596455289x_{33} = 8957.88596455289
x34=−5435.0720199532x_{34} = -5435.0720199532
x35=4596.59700962761x_{35} = 4596.59700962761
x36=−10232.5228831544x_{36} = -10232.5228831544
x37=9175.95329827666x_{37} = 9175.95329827666
x38=−8924.11714739678x_{38} = -8924.11714739678
x39=10484.3598310079x_{39} = 10484.3598310079
x40=5468.84004252579x_{40} = 5468.84004252579
x41=−4562.82951485885x_{41} = -4562.82951485885
x42=10266.2918127088x_{42} = 10266.2918127088
x43=−4780.88882660632x_{43} = -4780.88882660632
x44=3288.2701585224x_{44} = 3288.2701585224
x45=3942.42573932x_{45} = 3942.42573932
x46=5904.96575692001x_{46} = 5904.96575692001
x47=6777.22287982727x_{47} = 6777.22287982727
x48=5032.71688419619x_{48} = 5032.71688419619
x49=4160.48145172456x_{49} = 4160.48145172456
x50=1762.06641001527x_{50} = 1762.06641001527
x51=−10014.4549765932x_{51} = -10014.4549765932
x52=9830.15607053174x_{52} = 9830.15607053174
x53=−5871.19755389099x_{53} = -5871.19755389099
x54=−7179.58503821156x_{54} = -7179.58503821156
x55=−9142.18445899447x_{55} = -9142.18445899447
x56=3724.37172736816x_{56} = 3724.37172736816
x57=1980.06831995953x_{57} = 1980.06831995953
x58=1544.08382506109x_{58} = 1544.08382506109
x59=7431.41938844086x_{59} = 7431.41938844086
x60=−3036.45826575513x_{60} = -3036.45826575513
x61=8739.81877537654x_{61} = 8739.81877537654
x62=10702.4279394484x_{62} = 10702.4279394484
x63=−6525.38959659195x_{63} = -6525.38959659195
x64=2198.08379682573x_{64} = 2198.08379682573
x65=−5217.01018907647x_{65} = -5217.01018907647
x66=2634.14196282981x_{66} = 2634.14196282981
x67=−8051.84948210571x_{67} = -8051.84948210571
x68=8521.75174184478x_{68} = 8521.75174184478
x69=−3254.50438518975x_{69} = -3254.50438518975
x70=−1728.30948622997x_{70} = -1728.30948622997
x71=−3908.6588920217x_{71} = -3908.6588920217
x72=2416.10916381092x_{72} = 2416.10916381092
x73=10048.2238904202x_{73} = 10048.2238904202
x74=1326.13012084789x_{74} = 1326.13012084789
x75=−7833.78302708594x_{75} = -7833.78302708594
x76=−8706.04998202671x_{76} = -8706.04998202671
x77=3506.31973323777x_{77} = 3506.31973323777
x78=−2164.32241907986x_{78} = -2164.32241907986
x79=−10886.7271614234x_{79} = -10886.7271614234
x80=−8487.98297415597x_{80} = -8487.98297415597
x81=6559.15800566404x_{81} = 6559.15800566404
x82=−3472.55353426121x_{82} = -3472.55353426121
x83=7213.35359972748x_{83} = 7213.35359972748
x84=6995.28808794494x_{84} = 6995.28808794494
x85=−2818.4158797084x_{85} = -2818.4158797084
x86=−6089.26112283023x_{86} = -6089.26112283023
x87=9612.08836001311x_{87} = 9612.08836001311
x88=−2382.34641253713x_{88} = -2382.34641253713
x89=−10450.5908866988x_{89} = -10450.5908866988
x90=−5653.13449897004x_{90} = -5653.13449897004
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(−2sin⁡(1x)+cos⁡(1x)xx3)=∞sign⁡(⟨−1,1⟩)\lim_{x \to 0^-}\left(- \frac{2 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} + \frac{\cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}}{x^{3}}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
Возьмём предел
lim⁡x→0+(−2sin⁡(1x)+cos⁡(1x)xx3)=∞sign⁡(⟨−1,1⟩)\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{2 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} + \frac{\cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}}{x^{3}}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Не имеет изгибов на всей числовой оси
Вертикальные асимптоты
Есть:
x1=0x_{1} = 0
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
lim⁡x→−∞cos⁡(1⋅1x)=1\lim_{x \to -\infty} \cos{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)} = 1
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=1y = 1
lim⁡x→∞cos⁡(1⋅1x)=1\lim_{x \to \infty} \cos{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)} = 1
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=1y = 1
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(1/x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(1⋅1x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
lim⁡x→∞(cos⁡(1⋅1x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
cos⁡(1⋅1x)=cos⁡(1x)\cos{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)} = \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}
- Нет
cos⁡(1⋅1x)=−cos⁡(1x)\cos{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)} = - \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График
График функции y = cos(1/x) /media/krcore-image-pods/hash/xy/7/cf/d14724e0ae8af4ec19ea1ecfa6b89.png