График функции y = cos(1/x)

Вы ввели

          /  1\
f(x) = cos|1*-|
          \  x/

$$f{\left(x \right)} = \cos{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\cos{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в cos(1/x).
$$\cos{\left(1 \cdot \frac{1}{0} \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \text{NaN}$$
- решений у ур-ния нет

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{\sin{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{1}{\pi}$$
Зн. экстремумы в точках:

 1      
(--, -1)
 pi     

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{1}{\pi}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[\frac{1}{\pi}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{1}{\pi}\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- \frac{2 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} + \frac{\cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}}{x^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -4344.77129946241$$
$$x_{2} = -9578.31948091886$$
$$x_{3} = -6307.32515246242$$
$$x_{4} = 8085.61819208994$$
$$x_{5} = 7867.55170454519$$
$$x_{6} = -4998.94909118433$$
$$x_{7} = 5686.90261697445$$
$$x_{8} = -2600.37816709516$$
$$x_{9} = -4126.71435428679$$
$$x_{10} = 10920.4961326302$$
$$x_{11} = 6341.09349991192$$
$$x_{12} = 8303.68487622058$$
$$x_{13} = -7397.65078485226$$
$$x_{14} = -9796.38717349232$$
$$x_{15} = -6961.51957250769$$
$$x_{16} = -1292.38283163016$$
$$x_{17} = -1946.30879913818$$
$$x_{18} = -3690.60517565222$$
$$x_{19} = 7649.4854303998$$
$$x_{20} = 9394.02076648111$$
$$x_{21} = 2852.18048814786$$
$$x_{22} = -7615.71678829324$$
$$x_{23} = 4378.53861045658$$
$$x_{24} = -8269.91613624535$$
$$x_{25} = 6123.0294019367$$
$$x_{26} = -6743.45441499989$$
$$x_{27} = 3070.22351896922$$
$$x_{28} = -9360.25190659859$$
$$x_{29} = -1510.33069137687$$
$$x_{30} = -10668.6589812788$$
$$x_{31} = 5250.77810403946$$
$$x_{32} = 4814.65648065893$$
$$x_{33} = 8957.88596455289$$
$$x_{34} = -5435.0720199532$$
$$x_{35} = 4596.59700962761$$
$$x_{36} = -10232.5228831544$$
$$x_{37} = 9175.95329827666$$
$$x_{38} = -8924.11714739678$$
$$x_{39} = 10484.3598310079$$
$$x_{40} = 5468.84004252579$$
$$x_{41} = -4562.82951485885$$
$$x_{42} = 10266.2918127088$$
$$x_{43} = -4780.88882660632$$
$$x_{44} = 3288.2701585224$$
$$x_{45} = 3942.42573932$$
$$x_{46} = 5904.96575692001$$
$$x_{47} = 6777.22287982727$$
$$x_{48} = 5032.71688419619$$
$$x_{49} = 4160.48145172456$$
$$x_{50} = 1762.06641001527$$
$$x_{51} = -10014.4549765932$$
$$x_{52} = 9830.15607053174$$
$$x_{53} = -5871.19755389099$$
$$x_{54} = -7179.58503821156$$
$$x_{55} = -9142.18445899447$$
$$x_{56} = 3724.37172736816$$
$$x_{57} = 1980.06831995953$$
$$x_{58} = 1544.08382506109$$
$$x_{59} = 7431.41938844086$$
$$x_{60} = -3036.45826575513$$
$$x_{61} = 8739.81877537654$$
$$x_{62} = 10702.4279394484$$
$$x_{63} = -6525.38959659195$$
$$x_{64} = 2198.08379682573$$
$$x_{65} = -5217.01018907647$$
$$x_{66} = 2634.14196282981$$
$$x_{67} = -8051.84948210571$$
$$x_{68} = 8521.75174184478$$
$$x_{69} = -3254.50438518975$$
$$x_{70} = -1728.30948622997$$
$$x_{71} = -3908.6588920217$$
$$x_{72} = 2416.10916381092$$
$$x_{73} = 10048.2238904202$$
$$x_{74} = 1326.13012084789$$
$$x_{75} = -7833.78302708594$$
$$x_{76} = -8706.04998202671$$
$$x_{77} = 3506.31973323777$$
$$x_{78} = -2164.32241907986$$
$$x_{79} = -10886.7271614234$$
$$x_{80} = -8487.98297415597$$
$$x_{81} = 6559.15800566404$$
$$x_{82} = -3472.55353426121$$
$$x_{83} = 7213.35359972748$$
$$x_{84} = 6995.28808794494$$
$$x_{85} = -2818.4158797084$$
$$x_{86} = -6089.26112283023$$
$$x_{87} = 9612.08836001311$$
$$x_{88} = -2382.34641253713$$
$$x_{89} = -10450.5908866988$$
$$x_{90} = -5653.13449897004$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$

$$\lim_{x \to 0^-}\left(- \frac{2 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} + \frac{\cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}}{x^{3}}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{2 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} + \frac{\cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}}{x^{3}}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(\left\langle -1, 1\right\rangle \right)}$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соотв. точку

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Не имеет изгибов на всей числовой оси

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 0$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \cos{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)} = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty} \cos{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)} = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(1/x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\cos{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)} = \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}$$
- Нет
$$\cos{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)} = - \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График