График функции y = cos(1/x)^(2)

Вы ввели

          2/1\
f(x) = cos |-|
           \x/

$$f{\left (x \right )} = \cos^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\cos^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{2}{3 \pi}$$
$$x_{2} = \frac{2}{\pi}$$
Численное решение
$$x_{1} = 0.212206590789194$$
$$x_{2} = 0.636619772367581$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в cos(1/x)^2.
$$\cos^{2}{\left (\frac{1}{0} \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \cos^{2}{\left (\tilde{\infty} \right )}$$
Точка:

(0, cos(±oo)^2)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{2}{x^{2}} \sin{\left (\frac{1}{x} \right )} \cos{\left (\frac{1}{x} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{2}{3 \pi}$$
$$x_{2} = \frac{1}{\pi}$$
$$x_{3} = \frac{2}{\pi}$$
Зн. экстремумы в точках:

  2      
(----, 0)
 3*pi    

 1     
(--, 1)
 pi    

 2     
(--, 0)
 pi    

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{3} = \frac{2}{3 \pi}$$
$$x_{3} = \frac{2}{\pi}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{3} = \frac{1}{\pi}$$
Убывает на промежутках

[2/(3*pi), 1/pi] U [2/pi, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, 2/(3*pi)] U [1/pi, 2/pi]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{x^{3}} \left(- 4 \sin{\left (\frac{1}{x} \right )} \cos{\left (\frac{1}{x} \right )} + \frac{2}{x} \sin^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )} - \frac{2}{x} \cos^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -0.87377081762$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$

True

True

- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 0$$
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[-0.87377081762, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -0.87377081762]

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 0$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \cos^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )} = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty} \cos^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )} = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(1/x)^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \cos^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \cos^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\cos^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )} = \cos^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )}$$
- Да
$$\cos^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )} = - \cos^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной