График функции y = cos(5*x)

Вы ввели

f(x) = cos(5*x)

$$f{\left(x \right)} = \cos{\left(5 x \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\cos{\left(5 x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi}{10}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{10}$$
Численное решение
$$x_{1} = 17.9070781254618$$
$$x_{2} = 65.0309679293087$$
$$x_{3} = 36.1283155162826$$
$$x_{4} = -65.6592864600267$$
$$x_{5} = -76.9690200129499$$
$$x_{6} = 61.8893752757189$$
$$x_{7} = 48.0663675999238$$
$$x_{8} = -71.9424717672063$$
$$x_{9} = 46.18141200777$$
$$x_{10} = 98.3318500573605$$
$$x_{11} = 27.3318560862312$$
$$x_{12} = -14.1371669411541$$
$$x_{13} = -16.0221225333079$$
$$x_{14} = -53.0929158456675$$
$$x_{15} = 60.0044196835651$$
$$x_{16} = -9.73893722612836$$
$$x_{17} = 95.1902574037707$$
$$x_{18} = 56.2345084992573$$
$$x_{19} = -95.8185759344887$$
$$x_{20} = 32.3584043319749$$
$$x_{21} = 58.1194640914112$$
$$x_{22} = 10.3672557568463$$
$$x_{23} = 22.3053078404875$$
$$x_{24} = 14.1371669411541$$
$$x_{25} = -61.8893752757189$$
$$x_{26} = -58.1194640914112$$
$$x_{27} = -33.6150413934108$$
$$x_{28} = -39.8982267005904$$
$$x_{29} = -7.85398163397448$$
$$x_{30} = 66.2876049907446$$
$$x_{31} = 92.0486647501809$$
$$x_{32} = 71.9424717672063$$
$$x_{33} = 81.9955682586936$$
$$x_{34} = -53.7212343763855$$
$$x_{35} = -48.0663675999238$$
$$x_{36} = 90.1637091580271$$
$$x_{37} = -5.96902604182061$$
$$x_{38} = -63.7743308678728$$
$$x_{39} = -80.1106126665397$$
$$x_{40} = 88.2787535658732$$
$$x_{41} = 16.0221225333079$$
$$x_{42} = 4.08407044966673$$
$$x_{43} = -27.9601746169492$$
$$x_{44} = 49.9513231920777$$
$$x_{45} = -38.0132711084365$$
$$x_{46} = -75.712382951514$$
$$x_{47} = -11.6238928182822$$
$$x_{48} = -19.7920337176157$$
$$x_{49} = -69.4291976443344$$
$$x_{50} = -21.6769893097696$$
$$x_{51} = 12.2522113490002$$
$$x_{52} = 93.9336203423348$$
$$x_{53} = 2.19911485751286$$
$$x_{54} = 38.0132711084365$$
$$x_{55} = 76.340701482232$$
$$x_{56} = 70.0575161750524$$
$$x_{57} = -83.8805238508475$$
$$x_{58} = 68.1725605828985$$
$$x_{59} = -92.0486647501809$$
$$x_{60} = 7.22566310325652$$
$$x_{61} = -49.9513231920777$$
$$x_{62} = -17.9070781254618$$
$$x_{63} = -87.6504350351552$$
$$x_{64} = 44.2964564156161$$
$$x_{65} = -29.845130209103$$
$$x_{66} = 88.9070720965912$$
$$x_{67} = 5.96902604182061$$
$$x_{68} = -70.0575161750524$$
$$x_{69} = -31.7300858012569$$
$$x_{70} = 27.9601746169492$$
$$x_{71} = -81.9955682586936$$
$$x_{72} = 100.216805649514$$
$$x_{73} = -60.0044196835651$$
$$x_{74} = 72.5707902979242$$
$$x_{75} = 26.0752190247953$$
$$x_{76} = -85.7654794430014$$
$$x_{77} = -26.0752190247953$$
$$x_{78} = -41.7831822927443$$
$$x_{79} = -73.8274273593601$$
$$x_{80} = 0.314159265358979$$
$$x_{81} = -4.08407044966673$$
$$x_{82} = -102.730079772386$$
$$x_{83} = -51.8362787842316$$
$$x_{84} = 80.1106126665397$$
$$x_{85} = 21.0486707790516$$
$$x_{86} = -93.9336203423348$$
$$x_{87} = 39.8982267005904$$
$$x_{88} = 54.3495529071034$$
$$x_{89} = 78.2256570743859$$
$$x_{90} = -36.1283155162826$$
$$x_{91} = 83.8805238508475$$
$$x_{92} = -97.7035315266426$$
$$x_{93} = 34.2433599241287$$
$$x_{94} = -103.358398303104$$
$$x_{95} = 24.1902634326414$$
$$x_{96} = -43.6681378848981$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в cos(5*x).
$$\cos{\left(5 \cdot 0 \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- 5 \sin{\left(5 x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{5}$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 1)

 pi     
(--, -1)
 5      

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{\pi}{5}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{5}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[0, \frac{\pi}{5}\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- 25 \cos{\left(5 x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{10}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{10}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{10}, \frac{3 \pi}{10}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{10}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{10}, \infty\right)$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \cos{\left(5 x \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \cos{\left(5 x \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(5*x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(5 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(5 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\cos{\left(5 x \right)} = \cos{\left(5 x \right)}$$
- Да
$$\cos{\left(5 x \right)} = - \cos{\left(5 x \right)}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной

График