График функции y = cos(7*x)

Вы ввели

f(x) = cos(7*x)

$$f{\left (x \right )} = \cos{\left (7 x \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\cos{\left (7 x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi}{14}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{14}$$
Численное решение
$$x_{1} = -59.9146598935$$
$$x_{2} = 30.2939291596$$
$$x_{3} = -95.8185759345$$
$$x_{4} = 78.3154168645$$
$$x_{5} = 62.158654646$$
$$x_{6} = -11.8931721886$$
$$x_{7} = 96.267374885$$
$$x_{8} = 10.0979763865$$
$$x_{9} = -81.9058084686$$
$$x_{10} = -15.9323627432$$
$$x_{11} = -94.0233801324$$
$$x_{12} = 56.7730672399$$
$$x_{13} = -46.0018924276$$
$$x_{14} = 36.1283155163$$
$$x_{15} = -72.0322315573$$
$$x_{16} = 80.1106126665$$
$$x_{17} = -67.9930410027$$
$$x_{18} = -61.7098556955$$
$$x_{19} = 14.1371669412$$
$$x_{20} = 85.9449990232$$
$$x_{21} = 70.2370357553$$
$$x_{22} = -63.9538504481$$
$$x_{23} = -80.5594116171$$
$$x_{24} = -51.8362787842$$
$$x_{25} = 92.2281843304$$
$$x_{26} = -7.85398163397$$
$$x_{27} = -83.7010042706$$
$$x_{28} = 22.2155480504$$
$$x_{29} = 66.1978452006$$
$$x_{30} = 94.0233801324$$
$$x_{31} = 76.0714221119$$
$$x_{32} = -25.8059396545$$
$$x_{33} = -2.01959527731$$
$$x_{34} = 32.0891249617$$
$$x_{35} = 50.0410829822$$
$$x_{36} = 19.9715532978$$
$$x_{37} = -28.0499344071$$
$$x_{38} = -13.6883679906$$
$$x_{39} = 98.0625706871$$
$$x_{40} = -55.8754693388$$
$$x_{41} = 72.0322315573$$
$$x_{42} = -37.9235113183$$
$$x_{43} = -17.7275585453$$
$$x_{44} = -85.9449990232$$
$$x_{45} = 4.26359002987$$
$$x_{46} = -91.7793853799$$
$$x_{47} = -33.8843207637$$
$$x_{48} = 0.224399475256$$
$$x_{49} = 52.2850777347$$
$$x_{50} = -99.8577664891$$
$$x_{51} = -39.7187071204$$
$$x_{52} = -19.9715532978$$
$$x_{53} = 54.0802735368$$
$$x_{54} = 67.9930410027$$
$$x_{55} = 26.254738605$$
$$x_{56} = 37.4747123678$$
$$x_{57} = -47.7970882296$$
$$x_{58} = -32.5379239122$$
$$x_{59} = -87.7401948253$$
$$x_{60} = -35.6795165658$$
$$x_{61} = 40.1675060709$$
$$x_{62} = -3.81479107936$$
$$x_{63} = -77.866617914$$
$$x_{64} = 89.9841895778$$
$$x_{65} = 3.81479107936$$
$$x_{66} = -73.8274273594$$
$$x_{67} = -98.0625706871$$
$$x_{68} = -43.757897675$$
$$x_{69} = 41.9627018729$$
$$x_{70} = -76.0714221119$$
$$x_{71} = 84.1498032212$$
$$x_{72} = 24.0107438524$$
$$x_{73} = -29.8451302091$$
$$x_{74} = -24.0107438524$$
$$x_{75} = 2.01959527731$$
$$x_{76} = -65.7490462501$$
$$x_{77} = 74.2762263099$$
$$x_{78} = -69.7882368047$$
$$x_{79} = 48.2458871801$$
$$x_{80} = -89.9841895778$$
$$x_{81} = 58.1194640914$$
$$x_{82} = 15.9323627432$$
$$x_{83} = 100.30656544$$
$$x_{84} = 46.0018924276$$
$$x_{85} = 63.9538504481$$
$$x_{86} = 8.30278058449$$
$$x_{87} = 28.0499344071$$
$$x_{88} = -21.7667490999$$
$$x_{89} = -50.0410829822$$
$$x_{90} = -41.9627018729$$
$$x_{91} = 18.1763574958$$
$$x_{92} = 44.2066966255$$
$$x_{93} = 6.05878583192$$
$$x_{94} = -6.05878583192$$
$$x_{95} = 88.1889937758$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в cos(7*x).
$$\cos{\left (0 \cdot 7 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- 7 \sin{\left (7 x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{7}$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 1)

 pi     
(--, -1)
 7      

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{\pi}{7}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Убывает на промежутках

(-oo, 0] U [pi/7, oo)

Возрастает на промежутках

[0, pi/7]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- 49 \cos{\left (7 x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{14}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{14}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[pi/14, 3*pi/14]

Выпуклая на промежутках

(-oo, pi/14] U [3*pi/14, oo)

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \cos{\left (7 x \right )} = \langle -1, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -1, 1\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \cos{\left (7 x \right )} = \langle -1, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -1, 1\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(7*x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \cos{\left (7 x \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \cos{\left (7 x \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\cos{\left (7 x \right )} = \cos{\left (7 x \right )}$$
- Да
$$\cos{\left (7 x \right )} = - \cos{\left (7 x \right )}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной