График функции y = cos(sin(3*x))

Вы ввели

f(x) = cos(sin(3*x))

$$f{\left (x \right )} = \cos{\left (\sin{\left (3 x \right )} \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\cos{\left (\sin{\left (3 x \right )} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в cos(sin(3*x)).
$$\cos{\left (\sin{\left (0 \cdot 3 \right )} \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- 3 \sin{\left (\sin{\left (3 x \right )} \right )} \cos{\left (3 x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{3}$$
$$x_{4} = \frac{\pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 1)

 pi         
(--, cos(1))
 6          

 pi    
(--, 1)
 3     

 pi         
(--, cos(1))
 2          

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{4} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{4} = \frac{\pi}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{4} = 0$$
$$x_{4} = \frac{\pi}{3}$$
Убывает на промежутках

[pi/2, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, pi/6] U [pi/3, pi/2]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$9 \left(\sin{\left (3 x \right )} \sin{\left (\sin{\left (3 x \right )} \right )} - \cos^{2}{\left (3 x \right )} \cos{\left (\sin{\left (3 x \right )} \right )}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -96.0946198833$$
$$x_{2} = -21.7435937483$$
$$x_{3} = -50.0179276306$$
$$x_{4} = 25.9323839531$$
$$x_{5} = -74.1034713081$$
$$x_{6} = 66.2210005522$$
$$x_{7} = -77.7401736154$$
$$x_{8} = -43.7347423234$$
$$x_{9} = -1.84684027558$$
$$x_{10} = 86.1177540249$$
$$x_{11} = -23.8379888507$$
$$x_{12} = 30.1211741579$$
$$x_{13} = -65.7258908986$$
$$x_{14} = 44.2298519771$$
$$x_{15} = 47.9235325282$$
$$x_{16} = -84.0233589225$$
$$x_{17} = -91.9058296785$$
$$x_{18} = -41.0882593235$$
$$x_{19} = -35.8522715675$$
$$x_{20} = 40.0410617723$$
$$x_{21} = -79.8345687178$$
$$x_{22} = 64.1266054498$$
$$x_{23} = -11.76672789$$
$$x_{24} = -81.9289638201$$
$$x_{25} = 54.2067178354$$
$$x_{26} = 62.0322103474$$
$$x_{27} = -53.6546299378$$
$$x_{28} = 69.9146811034$$
$$x_{29} = -25.9323839531$$
$$x_{30} = -69.9146811034$$
$$x_{31} = -47.9235325282$$
$$x_{32} = 96.0946198833$$
$$x_{33} = -52.6074323866$$
$$x_{34} = 22.2387034019$$
$$x_{35} = 18.0499131972$$
$$x_{36} = 94.0002247809$$
$$x_{37} = -99.7313221905$$
$$x_{38} = -3.94123537797$$
$$x_{39} = -97.1418174345$$
$$x_{40} = -72.0090762058$$
$$x_{41} = 32.2155692603$$
$$x_{42} = -9.67233278758$$
$$x_{43} = -31.6634813627$$
$$x_{44} = -37.9466666699$$
$$x_{45} = 12.3188157875$$
$$x_{46} = -74.5985809618$$
$$x_{47} = -22.7907912995$$
$$x_{48} = 72.0090762058$$
$$x_{49} = 50.0179276306$$
$$x_{50} = -158.374385058$$
$$x_{51} = -8.62513523639$$
$$x_{52} = 68.3153956546$$
$$x_{53} = 11.2716182363$$
$$x_{54} = 37.9466666699$$
$$x_{55} = -28.0267790555$$
$$x_{56} = 0.247554826815$$
$$x_{57} = -6.03563048036$$
$$x_{58} = 74.1034713081$$
$$x_{59} = -40.0410617723$$
$$x_{60} = 78.2922615129$$
$$x_{61} = 6.03563048036$$
$$x_{62} = 81.9289638201$$
$$x_{63} = 98.1890149857$$
$$x_{64} = -62.0322103474$$
$$x_{65} = 88.2121491273$$
$$x_{66} = 52.112322733$$
$$x_{67} = -1291.99422335$$
$$x_{68} = 20.1443082996$$
$$x_{69} = 56.3011129378$$
$$x_{70} = 2.34194992921$$
$$x_{71} = -45.8291374258$$
$$x_{72} = 42.1354568747$$
$$x_{73} = 8.13002558276$$
$$x_{74} = -13.8611229924$$
$$x_{75} = -18.0499131972$$
$$x_{76} = 91.3537417809$$
$$x_{77} = 34.3099643627$$
$$x_{78} = 3.94123537797$$
$$x_{79} = 100.283410088$$
$$x_{80} = -59.937815245$$
$$x_{81} = -57.8434201426$$
$$x_{82} = 76.1978664105$$
$$x_{83} = -94.0002247809$$
$$x_{84} = 46.3242470795$$
$$x_{85} = 84.0233589225$$
$$x_{86} = -55.7490250402$$
$$x_{87} = 15.9555180948$$
$$x_{88} = -89.8114345761$$
$$x_{89} = -33.7578764651$$
$$x_{90} = -67.820286001$$
$$x_{91} = 8.62513523639$$
$$x_{92} = -793.52818898$$
$$x_{93} = -18.6020010947$$
$$x_{94} = 90.3065442297$$
$$x_{95} = 24.3330985043$$
$$x_{96} = -15.9555180948$$
$$x_{97} = -87.7170394737$$
$$x_{98} = 59.937815245$$
$$x_{99} = 28.0267790555$$
$$x_{100} = 10.2244206852$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[91.3537417809, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -1291.99422335]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \cos{\left (\sin{\left (3 x \right )} \right )} = \cos{\left (\sin{\left (\tilde{\infty} \right )} \right )}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \cos{\left (\sin{\left (\tilde{\infty} \right )} \right )}$$
$$\lim_{x \to \infty} \cos{\left (\sin{\left (3 x \right )} \right )} = \cos{\left (\sin{\left (\tilde{\infty} \right )} \right )}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \cos{\left (\sin{\left (\tilde{\infty} \right )} \right )}$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(sin(3*x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \cos{\left (\sin{\left (3 x \right )} \right )}\right) = \tilde{\infty} \sin{\left (\sin{\left (\tilde{\infty} \right )} \right )} \cos{\left (\tilde{\infty} \right )}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = \tilde{\infty} x \sin{\left (\sin{\left (\tilde{\infty} \right )} \right )} \cos{\left (\tilde{\infty} \right )}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \cos{\left (\sin{\left (3 x \right )} \right )}\right) = \tilde{\infty} \sin{\left (\sin{\left (\tilde{\infty} \right )} \right )} \cos{\left (\tilde{\infty} \right )}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = \tilde{\infty} x \sin{\left (\sin{\left (\tilde{\infty} \right )} \right )} \cos{\left (\tilde{\infty} \right )}$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\cos{\left (\sin{\left (3 x \right )} \right )} = \cos{\left (\sin{\left (3 x \right )} \right )}$$
- Да
$$\cos{\left (\sin{\left (3 x \right )} \right )} = - \cos{\left (\sin{\left (3 x \right )} \right )}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной