График функции y = cos(sin(x))

Вы ввели

f(x) = cos(sin(x))

$$f{\left (x \right )} = \cos{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\cos{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в cos(sin(x)).
$$\cos{\left (\sin{\left (0 \right )} \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \sin{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} \cos{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \pi$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 1)

 pi         
(--, cos(1))
 2          

(pi, 1)

 3*pi         
(----, cos(1))
  2           

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{4} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{4} = 0$$
$$x_{4} = \pi$$
Убывает на промежутках

[3*pi/2, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, pi/2] U [pi, 3*pi/2]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\sin{\left (x \right )} \sin{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} - \cos^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -16.4506277484$$
$$x_{2} = 62.0891885914$$
$$x_{3} = 11.8237061339$$
$$x_{4} = -24.3900767483$$
$$x_{5} = -21.2484840947$$
$$x_{6} = 74.6555592057$$
$$x_{7} = 2.39892817314$$
$$x_{8} = -13.3090350948$$
$$x_{9} = 93.5051151272$$
$$x_{10} = 32.1585910163$$
$$x_{11} = -41.5833689771$$
$$x_{12} = 82.4240734738$$
$$x_{13} = -57.2913322451$$
$$x_{14} = -18.1068914411$$
$$x_{15} = 19.592220402$$
$$x_{16} = -19.592220402$$
$$x_{17} = -5.54052082673$$
$$x_{18} = 49.522817977$$
$$x_{19} = -35.3001836699$$
$$x_{20} = 3.88425713404$$
$$x_{21} = 85.5656661274$$
$$x_{22} = -55.8060032842$$
$$x_{23} = -91.8488514345$$
$$x_{24} = -68.3723738985$$
$$x_{25} = 27.5316694019$$
$$x_{26} = 0.742664480446$$
$$x_{27} = -33.814854709$$
$$x_{28} = 8.68211348032$$
$$x_{29} = -60.4329248987$$
$$x_{30} = 47.8665542843$$
$$x_{31} = 46.3812253234$$
$$x_{32} = 99.7883004344$$
$$x_{33} = 55.8060032842$$
$$x_{34} = -11.8237061339$$
$$x_{35} = -77.7971518593$$
$$x_{36} = 68.3723738985$$
$$x_{37} = -2.39892817314$$
$$x_{38} = 25.8754057092$$
$$x_{39} = 98.1320367417$$
$$x_{40} = -3.88425713404$$
$$x_{41} = -46.3812253234$$
$$x_{42} = -90.3635224737$$
$$x_{43} = -82.4240734738$$
$$x_{44} = 5.54052082673$$
$$x_{45} = -98.1320367417$$
$$x_{46} = -54.1497395915$$
$$x_{47} = 69.8577028594$$
$$x_{48} = 54.1497395915$$
$$x_{49} = -47.8665542843$$
$$x_{50} = 30.6732620555$$
$$x_{51} = -76.1408881666$$
$$x_{52} = 90.3635224737$$
$$x_{53} = -138.972741238$$
$$x_{54} = -99.7883004344$$
$$x_{55} = 91.8488514345$$
$$x_{56} = 41.5833689771$$
$$x_{57} = 22.7338130556$$
$$x_{58} = 38.4417763235$$
$$x_{59} = 24.3900767483$$
$$x_{60} = -10.1674424412$$
$$x_{61} = -25.8754057092$$
$$x_{62} = 10.1674424412$$
$$x_{63} = 52.6644106306$$
$$x_{64} = -79.2824808202$$
$$x_{65} = -69.8577028594$$
$$x_{66} = -71.5139665521$$
$$x_{67} = 33.814854709$$
$$x_{68} = -49.522817977$$
$$x_{69} = 226.937335539$$
$$x_{70} = -84.0803371665$$
$$x_{71} = -62.0891885914$$
$$x_{72} = 88.707258781$$
$$x_{73} = 18.1068914411$$
$$x_{74} = -27.5316694019$$
$$x_{75} = 40.0980400162$$
$$x_{76} = -85.5656661274$$
$$x_{77} = -63.5745175522$$
$$x_{78} = -38.4417763235$$
$$x_{79} = 16.4506277484$$
$$x_{80} = -93.5051151272$$
$$x_{81} = 76.1408881666$$
$$x_{82} = 63.5745175522$$
$$x_{83} = 96.6467077808$$
$$x_{84} = 44.7249616307$$
$$x_{85} = -32.1585910163$$
$$x_{86} = -40.0980400162$$
$$x_{87} = 60.4329248987$$
$$x_{88} = 77.7971518593$$
$$x_{89} = 66.7161102058$$
$$x_{90} = 84.0803371665$$
$$x_{91} = 71.5139665521$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[226.937335539, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -99.7883004344]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \cos{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} = \cos{\left (\sin{\left (\tilde{\infty} \right )} \right )}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \cos{\left (\sin{\left (\tilde{\infty} \right )} \right )}$$
$$\lim_{x \to \infty} \cos{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} = \cos{\left (\sin{\left (\tilde{\infty} \right )} \right )}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \cos{\left (\sin{\left (\tilde{\infty} \right )} \right )}$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(sin(x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \cos{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}\right) = \tilde{\infty} \sin{\left (\sin{\left (\tilde{\infty} \right )} \right )} \cos{\left (\tilde{\infty} \right )}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = \tilde{\infty} x \sin{\left (\sin{\left (\tilde{\infty} \right )} \right )} \cos{\left (\tilde{\infty} \right )}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \cos{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}\right) = \tilde{\infty} \sin{\left (\sin{\left (\tilde{\infty} \right )} \right )} \cos{\left (\tilde{\infty} \right )}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = \tilde{\infty} x \sin{\left (\sin{\left (\tilde{\infty} \right )} \right )} \cos{\left (\tilde{\infty} \right )}$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\cos{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} = \cos{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}$$
- Да
$$\cos{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} = - \cos{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной