График функции y = cos(t)^(2)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
          2   
f(t) = cos (t)
f(t)=cos2(t)f{\left(t \right)} = \cos^{2}{\left(t \right)}
График функции
0-80-70-60-50-40-30-20-101002
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось T при f = 0
значит надо решить уравнение:
cos2(t)=0\cos^{2}{\left(t \right)} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью T:

Аналитическое решение
t1=π2t_{1} = \frac{\pi}{2}
t2=3π2t_{2} = \frac{3 \pi}{2}
Численное решение
t1=80.1106125795659t_{1} = -80.1106125795659
t2=61.2610562242523t_{2} = -61.2610562242523
t3=76.9690198771149t_{3} = -76.9690198771149
t4=17.2787595624179t_{4} = 17.2787595624179
t5=23.5619449395428t_{5} = 23.5619449395428
t6=26.7035373461441t_{6} = 26.7035373461441
t7=10.9955740392793t_{7} = 10.9955740392793
t8=20.4203521497111t_{8} = 20.4203521497111
t9=61.2610569641117t_{9} = -61.2610569641117
t10=80.1106131434937t_{10} = 80.1106131434937
t11=73.8274274795554t_{11} = 73.8274274795554
t12=64.4026491876462t_{12} = -64.4026491876462
t13=48.6946860920117t_{13} = -48.6946860920117
t14=70.6858345016621t_{14} = 70.6858345016621
t15=89.5353907467661t_{15} = -89.5353907467661
t16=42.4115007291722t_{16} = 42.4115007291722
t17=1.57079642969308t_{17} = -1.57079642969308
t18=4.71238872430683t_{18} = -4.71238872430683
t19=4.71238876848081t_{19} = 4.71238876848081
t20=39.2699083866483t_{20} = -39.2699083866483
t21=58.1194639993376t_{21} = -58.1194639993376
t22=95.8185760590309t_{22} = 95.8185760590309
t23=48.6946859238715t_{23} = 48.6946859238715
t24=20.4203520321877t_{24} = -20.4203520321877
t25=67.5442421675773t_{25} = -67.5442421675773
t26=45.5530935883361t_{26} = -45.5530935883361
t27=76.9690197631883t_{27} = 76.9690197631883
t28=83.2522055730903t_{28} = 83.2522055730903
t29=98.960168684456t_{29} = -98.960168684456
t30=92.6769830239371t_{30} = -92.6769830239371
t31=98.9601683381274t_{31} = 98.9601683381274
t32=36.1283156002139t_{32} = 36.1283156002139
t33=17.2787598502655t_{33} = 17.2787598502655
t34=26.7035372990183t_{34} = -26.7035372990183
t35=7.85398174058521t_{35} = 7.85398174058521
t36=54.9778711883962t_{36} = 54.9778711883962
t37=54.9778713137198t_{37} = -54.9778713137198
t38=10.9955741902138t_{38} = -10.9955741902138
t39=29.8451300963672t_{39} = -29.8451300963672
t40=98.9601684414698t_{40} = -98.9601684414698
t41=58.1194644379895t_{41} = 58.1194644379895
t42=70.685834448838t_{42} = -70.685834448838
t43=98.96016883042t_{43} = -98.96016883042
t44=89.5353908552844t_{44} = 89.5353908552844
t45=86.393797888273t_{45} = 86.393797888273
t46=86.393797765473t_{46} = -86.393797765473
t47=51.8362788999928t_{47} = 51.8362788999928
t48=1.5707965454425t_{48} = 1.5707965454425
t49=67.5442422779275t_{49} = 67.5442422779275
t50=23.5619450090417t_{50} = -23.5619450090417
t51=76.9690207492347t_{51} = 76.9690207492347
t52=39.2699081179815t_{52} = 39.2699081179815
t53=80.1106126771746t_{53} = 80.1106126771746
t54=32.9867227513827t_{54} = -32.9867227513827
t55=76.9690202568697t_{55} = -76.9690202568697
t56=70.6858346386357t_{56} = -70.6858346386357
t57=17.2787598091171t_{57} = -17.2787598091171
t58=92.6769830795146t_{58} = 92.6769830795146
t59=26.7035375427973t_{59} = -26.7035375427973
t60=4.7123889912442t_{60} = -4.7123889912442
t61=7.85398149857354t_{61} = -7.85398149857354
t62=14.1371668392726t_{62} = -14.1371668392726
t63=29.845130320338t_{63} = 29.845130320338
t64=73.8274272800405t_{64} = -73.8274272800405
t65=61.2610566752601t_{65} = 61.2610566752601
t66=92.6769831823972t_{66} = -92.6769831823972
t67=10.9955743696636t_{67} = 10.9955743696636
t68=48.6946858738636t_{68} = -48.6946858738636
t69=83.2522052340866t_{69} = 83.2522052340866
t70=39.2699081528781t_{70} = -39.2699081528781
t71=64.4026493086922t_{71} = 64.4026493086922
t72=45.553093700501t_{72} = 45.553093700501
t73=83.2522055415057t_{73} = -83.2522055415057
t74=42.4115006098842t_{74} = -42.4115006098842
t75=95.8185758681287t_{75} = -95.8185758681287
t76=14.1371671048484t_{76} = 14.1371671048484
t77=61.2610569989704t_{77} = 61.2610569989704
t78=32.9867226137576t_{78} = 32.9867226137576
t79=541.924732890135t_{79} = 541.924732890135
t80=98.9601685932308t_{80} = 98.9601685932308
t81=39.2699084246933t_{81} = 39.2699084246933
t82=17.2787590276524t_{82} = -17.2787590276524
t83=23.5619451230057t_{83} = 23.5619451230057
t84=32.986722928111t_{84} = 32.986722928111
t85=54.9778714849733t_{85} = 54.9778714849733
t86=36.1283154192437t_{86} = -36.1283154192437
t87=32.9867231091652t_{87} = -32.9867231091652
t88=10.9955745350309t_{88} = -10.9955745350309
t89=76.9690200400775t_{89} = 76.9690200400775
t90=51.8362786897497t_{90} = -51.8362786897497
t91=54.9778716831146t_{91} = -54.9778716831146
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда t равняется 0:
подставляем t = 0 в cos(t)^2.
cos2(0)\cos^{2}{\left(0 \right)}
Результат:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Точка:
(0, 1)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddtf(t)=0\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddtf(t)=\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} =
первая производная
2sin(t)cos(t)=0- 2 \sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
t1=0t_{1} = 0
t2=π2t_{2} = \frac{\pi}{2}
t3=πt_{3} = \pi
t4=3π2t_{4} = \frac{3 \pi}{2}
Зн. экстремумы в точках:
(0, 1)

 pi    
(--, 0)
 2     

(pi, 1)

 3*pi    
(----, 0)
  2      


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
t1=π2t_{1} = \frac{\pi}{2}
t2=3π2t_{2} = \frac{3 \pi}{2}
Максимумы функции в точках:
t2=0t_{2} = 0
t2=πt_{2} = \pi
Убывает на промежутках
[3π2,)\left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)
Возрастает на промежутках
(,π2][π,3π2]\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\pi, \frac{3 \pi}{2}\right]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dt2f(t)=0\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dt2f(t)=\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} =
вторая производная
2(sin2(t)cos2(t))=02 \left(\sin^{2}{\left(t \right)} - \cos^{2}{\left(t \right)}\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
t1=π4t_{1} = - \frac{\pi}{4}
t2=π4t_{2} = \frac{\pi}{4}

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(,π4][π4,)\left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)
Выпуклая на промежутках
[π4,π4]\left[- \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при t->+oo и t->-oo
limtcos2(t)=0,1\lim_{t \to -\infty} \cos^{2}{\left(t \right)} = \left\langle 0, 1\right\rangle
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=0,1y = \left\langle 0, 1\right\rangle
limtcos2(t)=0,1\lim_{t \to \infty} \cos^{2}{\left(t \right)} = \left\langle 0, 1\right\rangle
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=0,1y = \left\langle 0, 1\right\rangle
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(t)^2, делённой на t при t->+oo и t ->-oo
limt(cos2(t)t)=0\lim_{t \to -\infty}\left(\frac{\cos^{2}{\left(t \right)}}{t}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
limt(cos2(t)t)=0\lim_{t \to \infty}\left(\frac{\cos^{2}{\left(t \right)}}{t}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-t) и f = -f(-t).
Итак, проверяем:
cos2(t)=cos2(t)\cos^{2}{\left(t \right)} = \cos^{2}{\left(t \right)}
- Да
cos2(t)=cos2(t)\cos^{2}{\left(t \right)} = - \cos^{2}{\left(t \right)}
- Нет
значит, функция
является
чётной
График
График функции y = cos(t)^(2) /media/krcore-image-pods/hash/xy/c/14/1f7cdae3721014fa62e1e7aa20ca6.png