График функции
0 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 10 0 2
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось T при f = 0 значит надо решить уравнение:cos 2 ( t ) = 0 \cos^{2}{\left(t \right)} = 0 cos 2 ( t ) = 0 Решаем это уравнение Точки пересечения с осью T:Аналитическое решение t 1 = π 2 t_{1} = \frac{\pi}{2} t 1 = 2 π t 2 = 3 π 2 t_{2} = \frac{3 \pi}{2} t 2 = 2 3 π Численное решение t 1 = − 80.1106125795659 t_{1} = -80.1106125795659 t 1 = − 80.1106125795659 t 2 = − 61.2610562242523 t_{2} = -61.2610562242523 t 2 = − 61.2610562242523 t 3 = − 76.9690198771149 t_{3} = -76.9690198771149 t 3 = − 76.9690198771149 t 4 = 17.2787595624179 t_{4} = 17.2787595624179 t 4 = 17.2787595624179 t 5 = 23.5619449395428 t_{5} = 23.5619449395428 t 5 = 23.5619449395428 t 6 = 26.7035373461441 t_{6} = 26.7035373461441 t 6 = 26.7035373461441 t 7 = 10.9955740392793 t_{7} = 10.9955740392793 t 7 = 10.9955740392793 t 8 = 20.4203521497111 t_{8} = 20.4203521497111 t 8 = 20.4203521497111 t 9 = − 61.2610569641117 t_{9} = -61.2610569641117 t 9 = − 61.2610569641117 t 10 = 80.1106131434937 t_{10} = 80.1106131434937 t 10 = 80.1106131434937 t 11 = 73.8274274795554 t_{11} = 73.8274274795554 t 11 = 73.8274274795554 t 12 = − 64.4026491876462 t_{12} = -64.4026491876462 t 12 = − 64.4026491876462 t 13 = − 48.6946860920117 t_{13} = -48.6946860920117 t 13 = − 48.6946860920117 t 14 = 70.6858345016621 t_{14} = 70.6858345016621 t 14 = 70.6858345016621 t 15 = − 89.5353907467661 t_{15} = -89.5353907467661 t 15 = − 89.5353907467661 t 16 = 42.4115007291722 t_{16} = 42.4115007291722 t 16 = 42.4115007291722 t 17 = − 1.57079642969308 t_{17} = -1.57079642969308 t 17 = − 1.57079642969308 t 18 = − 4.71238872430683 t_{18} = -4.71238872430683 t 18 = − 4.71238872430683 t 19 = 4.71238876848081 t_{19} = 4.71238876848081 t 19 = 4.71238876848081 t 20 = − 39.2699083866483 t_{20} = -39.2699083866483 t 20 = − 39.2699083866483 t 21 = − 58.1194639993376 t_{21} = -58.1194639993376 t 21 = − 58.1194639993376 t 22 = 95.8185760590309 t_{22} = 95.8185760590309 t 22 = 95.8185760590309 t 23 = 48.6946859238715 t_{23} = 48.6946859238715 t 23 = 48.6946859238715 t 24 = − 20.4203520321877 t_{24} = -20.4203520321877 t 24 = − 20.4203520321877 t 25 = − 67.5442421675773 t_{25} = -67.5442421675773 t 25 = − 67.5442421675773 t 26 = − 45.5530935883361 t_{26} = -45.5530935883361 t 26 = − 45.5530935883361 t 27 = 76.9690197631883 t_{27} = 76.9690197631883 t 27 = 76.9690197631883 t 28 = 83.2522055730903 t_{28} = 83.2522055730903 t 28 = 83.2522055730903 t 29 = − 98.960168684456 t_{29} = -98.960168684456 t 29 = − 98.960168684456 t 30 = − 92.6769830239371 t_{30} = -92.6769830239371 t 30 = − 92.6769830239371 t 31 = 98.9601683381274 t_{31} = 98.9601683381274 t 31 = 98.9601683381274 t 32 = 36.1283156002139 t_{32} = 36.1283156002139 t 32 = 36.1283156002139 t 33 = 17.2787598502655 t_{33} = 17.2787598502655 t 33 = 17.2787598502655 t 34 = − 26.7035372990183 t_{34} = -26.7035372990183 t 34 = − 26.7035372990183 t 35 = 7.85398174058521 t_{35} = 7.85398174058521 t 35 = 7.85398174058521 t 36 = 54.9778711883962 t_{36} = 54.9778711883962 t 36 = 54.9778711883962 t 37 = − 54.9778713137198 t_{37} = -54.9778713137198 t 37 = − 54.9778713137198 t 38 = − 10.9955741902138 t_{38} = -10.9955741902138 t 38 = − 10.9955741902138 t 39 = − 29.8451300963672 t_{39} = -29.8451300963672 t 39 = − 29.8451300963672 t 40 = − 98.9601684414698 t_{40} = -98.9601684414698 t 40 = − 98.9601684414698 t 41 = 58.1194644379895 t_{41} = 58.1194644379895 t 41 = 58.1194644379895 t 42 = − 70.685834448838 t_{42} = -70.685834448838 t 42 = − 70.685834448838 t 43 = − 98.96016883042 t_{43} = -98.96016883042 t 43 = − 98.96016883042 t 44 = 89.5353908552844 t_{44} = 89.5353908552844 t 44 = 89.5353908552844 t 45 = 86.393797888273 t_{45} = 86.393797888273 t 45 = 86.393797888273 t 46 = − 86.393797765473 t_{46} = -86.393797765473 t 46 = − 86.393797765473 t 47 = 51.8362788999928 t_{47} = 51.8362788999928 t 47 = 51.8362788999928 t 48 = 1.5707965454425 t_{48} = 1.5707965454425 t 48 = 1.5707965454425 t 49 = 67.5442422779275 t_{49} = 67.5442422779275 t 49 = 67.5442422779275 t 50 = − 23.5619450090417 t_{50} = -23.5619450090417 t 50 = − 23.5619450090417 t 51 = 76.9690207492347 t_{51} = 76.9690207492347 t 51 = 76.9690207492347 t 52 = 39.2699081179815 t_{52} = 39.2699081179815 t 52 = 39.2699081179815 t 53 = 80.1106126771746 t_{53} = 80.1106126771746 t 53 = 80.1106126771746 t 54 = − 32.9867227513827 t_{54} = -32.9867227513827 t 54 = − 32.9867227513827 t 55 = − 76.9690202568697 t_{55} = -76.9690202568697 t 55 = − 76.9690202568697 t 56 = − 70.6858346386357 t_{56} = -70.6858346386357 t 56 = − 70.6858346386357 t 57 = − 17.2787598091171 t_{57} = -17.2787598091171 t 57 = − 17.2787598091171 t 58 = 92.6769830795146 t_{58} = 92.6769830795146 t 58 = 92.6769830795146 t 59 = − 26.7035375427973 t_{59} = -26.7035375427973 t 59 = − 26.7035375427973 t 60 = − 4.7123889912442 t_{60} = -4.7123889912442 t 60 = − 4.7123889912442 t 61 = − 7.85398149857354 t_{61} = -7.85398149857354 t 61 = − 7.85398149857354 t 62 = − 14.1371668392726 t_{62} = -14.1371668392726 t 62 = − 14.1371668392726 t 63 = 29.845130320338 t_{63} = 29.845130320338 t 63 = 29.845130320338 t 64 = − 73.8274272800405 t_{64} = -73.8274272800405 t 64 = − 73.8274272800405 t 65 = 61.2610566752601 t_{65} = 61.2610566752601 t 65 = 61.2610566752601 t 66 = − 92.6769831823972 t_{66} = -92.6769831823972 t 66 = − 92.6769831823972 t 67 = 10.9955743696636 t_{67} = 10.9955743696636 t 67 = 10.9955743696636 t 68 = − 48.6946858738636 t_{68} = -48.6946858738636 t 68 = − 48.6946858738636 t 69 = 83.2522052340866 t_{69} = 83.2522052340866 t 69 = 83.2522052340866 t 70 = − 39.2699081528781 t_{70} = -39.2699081528781 t 70 = − 39.2699081528781 t 71 = 64.4026493086922 t_{71} = 64.4026493086922 t 71 = 64.4026493086922 t 72 = 45.553093700501 t_{72} = 45.553093700501 t 72 = 45.553093700501 t 73 = − 83.2522055415057 t_{73} = -83.2522055415057 t 73 = − 83.2522055415057 t 74 = − 42.4115006098842 t_{74} = -42.4115006098842 t 74 = − 42.4115006098842 t 75 = − 95.8185758681287 t_{75} = -95.8185758681287 t 75 = − 95.8185758681287 t 76 = 14.1371671048484 t_{76} = 14.1371671048484 t 76 = 14.1371671048484 t 77 = 61.2610569989704 t_{77} = 61.2610569989704 t 77 = 61.2610569989704 t 78 = 32.9867226137576 t_{78} = 32.9867226137576 t 78 = 32.9867226137576 t 79 = 541.924732890135 t_{79} = 541.924732890135 t 79 = 541.924732890135 t 80 = 98.9601685932308 t_{80} = 98.9601685932308 t 80 = 98.9601685932308 t 81 = 39.2699084246933 t_{81} = 39.2699084246933 t 81 = 39.2699084246933 t 82 = − 17.2787590276524 t_{82} = -17.2787590276524 t 82 = − 17.2787590276524 t 83 = 23.5619451230057 t_{83} = 23.5619451230057 t 83 = 23.5619451230057 t 84 = 32.986722928111 t_{84} = 32.986722928111 t 84 = 32.986722928111 t 85 = 54.9778714849733 t_{85} = 54.9778714849733 t 85 = 54.9778714849733 t 86 = − 36.1283154192437 t_{86} = -36.1283154192437 t 86 = − 36.1283154192437 t 87 = − 32.9867231091652 t_{87} = -32.9867231091652 t 87 = − 32.9867231091652 t 88 = − 10.9955745350309 t_{88} = -10.9955745350309 t 88 = − 10.9955745350309 t 89 = 76.9690200400775 t_{89} = 76.9690200400775 t 89 = 76.9690200400775 t 90 = − 51.8362786897497 t_{90} = -51.8362786897497 t 90 = − 51.8362786897497 t 91 = − 54.9778716831146 t_{91} = -54.9778716831146 t 91 = − 54.9778716831146
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда t равняется 0: подставляем t = 0 в cos(t)^2.cos 2 ( 0 ) \cos^{2}{\left(0 \right)} cos 2 ( 0 ) Результат:f ( 0 ) = 1 f{\left(0 \right)} = 1 f ( 0 ) = 1 Точка:(0, 1)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнениеd d t f ( t ) = 0 \frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = 0 d t d f ( t ) = 0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:d d t f ( t ) = \frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = d t d f ( t ) = первая производная − 2 sin ( t ) cos ( t ) = 0 - 2 \sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)} = 0 − 2 sin ( t ) cos ( t ) = 0 Решаем это уравнение Корни этого ур-нияt 1 = 0 t_{1} = 0 t 1 = 0 t 2 = π 2 t_{2} = \frac{\pi}{2} t 2 = 2 π t 3 = π t_{3} = \pi t 3 = π t 4 = 3 π 2 t_{4} = \frac{3 \pi}{2} t 4 = 2 3 π Зн. экстремумы в точках:(0, 1) pi
(--, 0)
2 (pi, 1) 3*pi
(----, 0)
2 Интервалы возрастания и убывания функции: Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума: Минимумы функции в точках:t 1 = π 2 t_{1} = \frac{\pi}{2} t 1 = 2 π t 2 = 3 π 2 t_{2} = \frac{3 \pi}{2} t 2 = 2 3 π Максимумы функции в точках:t 2 = 0 t_{2} = 0 t 2 = 0 t 2 = π t_{2} = \pi t 2 = π Убывает на промежутках[ 3 π 2 , ∞ ) \left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right) [ 2 3 π , ∞ ) Возрастает на промежутках( − ∞ , π 2 ] ∪ [ π , 3 π 2 ] \left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\pi, \frac{3 \pi}{2}\right] ( − ∞ , 2 π ] ∪ [ π , 2 3 π ]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнениеd 2 d t 2 f ( t ) = 0 \frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = 0 d t 2 d 2 f ( t ) = 0 (вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: d 2 d t 2 f ( t ) = \frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = d t 2 d 2 f ( t ) = вторая производная 2 ( sin 2 ( t ) − cos 2 ( t ) ) = 0 2 \left(\sin^{2}{\left(t \right)} - \cos^{2}{\left(t \right)}\right) = 0 2 ( sin 2 ( t ) − cos 2 ( t ) ) = 0 Решаем это уравнение Корни этого ур-нияt 1 = − π 4 t_{1} = - \frac{\pi}{4} t 1 = − 4 π t 2 = π 4 t_{2} = \frac{\pi}{4} t 2 = 4 π Интервалы выпуклости и вогнутости: Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов: Вогнутая на промежутках( − ∞ , − π 4 ] ∪ [ π 4 , ∞ ) \left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{\pi}{4}, \infty\right) ( − ∞ , − 4 π ] ∪ [ 4 π , ∞ ) Выпуклая на промежутках[ − π 4 , π 4 ] \left[- \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right] [ − 4 π , 4 π ]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при t->+oo и t->-oolim t → − ∞ cos 2 ( t ) = ⟨ 0 , 1 ⟩ \lim_{t \to -\infty} \cos^{2}{\left(t \right)} = \left\langle 0, 1\right\rangle t → − ∞ lim cos 2 ( t ) = ⟨ 0 , 1 ⟩ Возьмём предел значит, уравнение горизонтальной асимптоты слева:y = ⟨ 0 , 1 ⟩ y = \left\langle 0, 1\right\rangle y = ⟨ 0 , 1 ⟩ lim t → ∞ cos 2 ( t ) = ⟨ 0 , 1 ⟩ \lim_{t \to \infty} \cos^{2}{\left(t \right)} = \left\langle 0, 1\right\rangle t → ∞ lim cos 2 ( t ) = ⟨ 0 , 1 ⟩ Возьмём предел значит, уравнение горизонтальной асимптоты справа:y = ⟨ 0 , 1 ⟩ y = \left\langle 0, 1\right\rangle y = ⟨ 0 , 1 ⟩
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(t)^2, делённой на t при t->+oo и t ->-oolim t → − ∞ ( cos 2 ( t ) t ) = 0 \lim_{t \to -\infty}\left(\frac{\cos^{2}{\left(t \right)}}{t}\right) = 0 t → − ∞ lim ( t cos 2 ( t ) ) = 0 Возьмём предел значит, наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справаlim t → ∞ ( cos 2 ( t ) t ) = 0 \lim_{t \to \infty}\left(\frac{\cos^{2}{\left(t \right)}}{t}\right) = 0 t → ∞ lim ( t cos 2 ( t ) ) = 0 Возьмём предел значит, наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-t) и f = -f(-t). Итак, проверяем:cos 2 ( t ) = cos 2 ( t ) \cos^{2}{\left(t \right)} = \cos^{2}{\left(t \right)} cos 2 ( t ) = cos 2 ( t ) - Даcos 2 ( t ) = − cos 2 ( t ) \cos^{2}{\left(t \right)} = - \cos^{2}{\left(t \right)} cos 2 ( t ) = − cos 2 ( t ) - Нет значит, функция является чётной