График функции y = cos(t)^(2)

Вы ввели

          2   
f(t) = cos (t)

$$f{\left(t \right)} = \cos^{2}{\left(t \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось T при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\cos^{2}{\left(t \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью T:

Аналитическое решение
$$t_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$t_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Численное решение
$$t_{1} = -80.1106125795659$$
$$t_{2} = -61.2610562242523$$
$$t_{3} = -76.9690198771149$$
$$t_{4} = 17.2787595624179$$
$$t_{5} = 23.5619449395428$$
$$t_{6} = 26.7035373461441$$
$$t_{7} = 10.9955740392793$$
$$t_{8} = 20.4203521497111$$
$$t_{9} = -61.2610569641117$$
$$t_{10} = 80.1106131434937$$
$$t_{11} = 73.8274274795554$$
$$t_{12} = -64.4026491876462$$
$$t_{13} = -48.6946860920117$$
$$t_{14} = 70.6858345016621$$
$$t_{15} = -89.5353907467661$$
$$t_{16} = 42.4115007291722$$
$$t_{17} = -1.57079642969308$$
$$t_{18} = -4.71238872430683$$
$$t_{19} = 4.71238876848081$$
$$t_{20} = -39.2699083866483$$
$$t_{21} = -58.1194639993376$$
$$t_{22} = 95.8185760590309$$
$$t_{23} = 48.6946859238715$$
$$t_{24} = -20.4203520321877$$
$$t_{25} = -67.5442421675773$$
$$t_{26} = -45.5530935883361$$
$$t_{27} = 76.9690197631883$$
$$t_{28} = 83.2522055730903$$
$$t_{29} = -98.960168684456$$
$$t_{30} = -92.6769830239371$$
$$t_{31} = 98.9601683381274$$
$$t_{32} = 36.1283156002139$$
$$t_{33} = 17.2787598502655$$
$$t_{34} = -26.7035372990183$$
$$t_{35} = 7.85398174058521$$
$$t_{36} = 54.9778711883962$$
$$t_{37} = -54.9778713137198$$
$$t_{38} = -10.9955741902138$$
$$t_{39} = -29.8451300963672$$
$$t_{40} = -98.9601684414698$$
$$t_{41} = 58.1194644379895$$
$$t_{42} = -70.685834448838$$
$$t_{43} = -98.96016883042$$
$$t_{44} = 89.5353908552844$$
$$t_{45} = 86.393797888273$$
$$t_{46} = -86.393797765473$$
$$t_{47} = 51.8362788999928$$
$$t_{48} = 1.5707965454425$$
$$t_{49} = 67.5442422779275$$
$$t_{50} = -23.5619450090417$$
$$t_{51} = 76.9690207492347$$
$$t_{52} = 39.2699081179815$$
$$t_{53} = 80.1106126771746$$
$$t_{54} = -32.9867227513827$$
$$t_{55} = -76.9690202568697$$
$$t_{56} = -70.6858346386357$$
$$t_{57} = -17.2787598091171$$
$$t_{58} = 92.6769830795146$$
$$t_{59} = -26.7035375427973$$
$$t_{60} = -4.7123889912442$$
$$t_{61} = -7.85398149857354$$
$$t_{62} = -14.1371668392726$$
$$t_{63} = 29.845130320338$$
$$t_{64} = -73.8274272800405$$
$$t_{65} = 61.2610566752601$$
$$t_{66} = -92.6769831823972$$
$$t_{67} = 10.9955743696636$$
$$t_{68} = -48.6946858738636$$
$$t_{69} = 83.2522052340866$$
$$t_{70} = -39.2699081528781$$
$$t_{71} = 64.4026493086922$$
$$t_{72} = 45.553093700501$$
$$t_{73} = -83.2522055415057$$
$$t_{74} = -42.4115006098842$$
$$t_{75} = -95.8185758681287$$
$$t_{76} = 14.1371671048484$$
$$t_{77} = 61.2610569989704$$
$$t_{78} = 32.9867226137576$$
$$t_{79} = 541.924732890135$$
$$t_{80} = 98.9601685932308$$
$$t_{81} = 39.2699084246933$$
$$t_{82} = -17.2787590276524$$
$$t_{83} = 23.5619451230057$$
$$t_{84} = 32.986722928111$$
$$t_{85} = 54.9778714849733$$
$$t_{86} = -36.1283154192437$$
$$t_{87} = -32.9867231091652$$
$$t_{88} = -10.9955745350309$$
$$t_{89} = 76.9690200400775$$
$$t_{90} = -51.8362786897497$$
$$t_{91} = -54.9778716831146$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда t равняется 0:
подставляем t = 0 в cos(t)^2.
$$\cos^{2}{\left(0 \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} =$$
первая производная
$$- 2 \sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$t_{1} = 0$$
$$t_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$t_{3} = \pi$$
$$t_{4} = \frac{3 \pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 1)

 pi    
(--, 0)
 2     

(pi, 1)

 3*pi    
(----, 0)
  2      

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$t_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$t_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$t_{2} = 0$$
$$t_{2} = \pi$$
Убывает на промежутках
$$\left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\pi, \frac{3 \pi}{2}\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} =$$
вторая производная
$$2 \left(\sin^{2}{\left(t \right)} - \cos^{2}{\left(t \right)}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$t_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$t_{2} = \frac{\pi}{4}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при t->+oo и t->-oo
$$\lim_{t \to -\infty} \cos^{2}{\left(t \right)} = \left\langle 0, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle 0, 1\right\rangle$$
$$\lim_{t \to \infty} \cos^{2}{\left(t \right)} = \left\langle 0, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle 0, 1\right\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(t)^2, делённой на t при t->+oo и t ->-oo
$$\lim_{t \to -\infty}\left(\frac{\cos^{2}{\left(t \right)}}{t}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{t \to \infty}\left(\frac{\cos^{2}{\left(t \right)}}{t}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-t) и f = -f(-t).
Итак, проверяем:
$$\cos^{2}{\left(t \right)} = \cos^{2}{\left(t \right)}$$
- Да
$$\cos^{2}{\left(t \right)} = - \cos^{2}{\left(t \right)}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной

График