График функции
0 -2000 -1500 -1000 -500 500 1000 1500 2000 2 -2
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0cos ( 3 π x ) = 0 \cos{\left (3 \pi x \right )} = 0 cos ( 3 π x ) = 0 Решаем это уравнение Аналитическое решение x 1 = 1 6 x_{1} = \frac{1}{6} x 1 = 6 1 x 2 = 1 2 x_{2} = \frac{1}{2} x 2 = 2 1 Численное решение x 1 = 90.1666666667 x_{1} = 90.1666666667 x 1 = 90.1666666667 x 2 = − 51.8333333333 x_{2} = -51.8333333333 x 2 = − 51.8333333333 x 3 = 54.1666666667 x_{3} = 54.1666666667 x 3 = 54.1666666667 x 4 = − 7.83333333333 x_{4} = -7.83333333333 x 4 = − 7.83333333333 x 5 = − 21.8333333333 x_{5} = -21.8333333333 x 5 = − 21.8333333333 x 6 = 10.1666666667 x_{6} = 10.1666666667 x 6 = 10.1666666667 x 7 = 40.1666666667 x_{7} = 40.1666666667 x 7 = 40.1666666667 x 8 = − 95.8333333333 x_{8} = -95.8333333333 x 8 = − 95.8333333333 x 9 = 26.1666666667 x_{9} = 26.1666666667 x 9 = 26.1666666667 x 10 = 58.1666666667 x_{10} = 58.1666666667 x 10 = 58.1666666667 x 11 = 60.1666666667 x_{11} = 60.1666666667 x 11 = 60.1666666667 x 12 = 100.166666667 x_{12} = 100.166666667 x 12 = 100.166666667 x 13 = − 27.8333333333 x_{13} = -27.8333333333 x 13 = − 27.8333333333 x 14 = − 91.8333333333 x_{14} = -91.8333333333 x 14 = − 91.8333333333 x 15 = − 73.8333333333 x_{15} = -73.8333333333 x 15 = − 73.8333333333 x 16 = − 65.8333333333 x_{16} = -65.8333333333 x 16 = − 65.8333333333 x 17 = − 97.8333333333 x_{17} = -97.8333333333 x 17 = − 97.8333333333 x 18 = 88.1666666667 x_{18} = 88.1666666667 x 18 = 88.1666666667 x 19 = − 71.8333333333 x_{19} = -71.8333333333 x 19 = − 71.8333333333 x 20 = − 85.8333333333 x_{20} = -85.8333333333 x 20 = − 85.8333333333 x 21 = − 25.8333333333 x_{21} = -25.8333333333 x 21 = − 25.8333333333 x 22 = − 1.83333333333 x_{22} = -1.83333333333 x 22 = − 1.83333333333 x 23 = 78.1666666667 x_{23} = 78.1666666667 x 23 = 78.1666666667 x 24 = 92.1666666667 x_{24} = 92.1666666667 x 24 = 92.1666666667 x 25 = − 13.8333333333 x_{25} = -13.8333333333 x 25 = − 13.8333333333 x 26 = 4.16666666667 x_{26} = 4.16666666667 x 26 = 4.16666666667 x 27 = − 77.8333333333 x_{27} = -77.8333333333 x 27 = − 77.8333333333 x 28 = 32.1666666667 x_{28} = 32.1666666667 x 28 = 32.1666666667 x 29 = 96.1666666667 x_{29} = 96.1666666667 x 29 = 96.1666666667 x 30 = − 47.8333333333 x_{30} = -47.8333333333 x 30 = − 47.8333333333 x 31 = − 67.8333333333 x_{31} = -67.8333333333 x 31 = − 67.8333333333 x 32 = − 79.8333333333 x_{32} = -79.8333333333 x 32 = − 79.8333333333 x 33 = 64.1666666667 x_{33} = 64.1666666667 x 33 = 64.1666666667 x 34 = 74.1666666667 x_{34} = 74.1666666667 x 34 = 74.1666666667 x 35 = − 35.8333333333 x_{35} = -35.8333333333 x 35 = − 35.8333333333 x 36 = 62.1666666667 x_{36} = 62.1666666667 x 36 = 62.1666666667 x 37 = − 41.8333333333 x_{37} = -41.8333333333 x 37 = − 41.8333333333 x 38 = − 23.8333333333 x_{38} = -23.8333333333 x 38 = − 23.8333333333 x 39 = − 61.8333333333 x_{39} = -61.8333333333 x 39 = − 61.8333333333 x 40 = − 99.8333333333 x_{40} = -99.8333333333 x 40 = − 99.8333333333 x 41 = 42.1666666667 x_{41} = 42.1666666667 x 41 = 42.1666666667 x 42 = 20.1666666667 x_{42} = 20.1666666667 x 42 = 20.1666666667 x 43 = 56.1666666667 x_{43} = 56.1666666667 x 43 = 56.1666666667 x 44 = − 11.8333333333 x_{44} = -11.8333333333 x 44 = − 11.8333333333 x 45 = 8.16666666667 x_{45} = 8.16666666667 x 45 = 8.16666666667 x 46 = 86.1666666667 x_{46} = 86.1666666667 x 46 = 86.1666666667 x 47 = − 43.8333333333 x_{47} = -43.8333333333 x 47 = − 43.8333333333 x 48 = − 81.8333333333 x_{48} = -81.8333333333 x 48 = − 81.8333333333 x 49 = 52.1666666667 x_{49} = 52.1666666667 x 49 = 52.1666666667 x 50 = 94.1666666667 x_{50} = 94.1666666667 x 50 = 94.1666666667 x 51 = 80.1666666667 x_{51} = 80.1666666667 x 51 = 80.1666666667 x 52 = 22.1666666667 x_{52} = 22.1666666667 x 52 = 22.1666666667 x 53 = − 19.8333333333 x_{53} = -19.8333333333 x 53 = − 19.8333333333 x 54 = − 89.8333333333 x_{54} = -89.8333333333 x 54 = − 89.8333333333 x 55 = − 53.8333333333 x_{55} = -53.8333333333 x 55 = − 53.8333333333 x 56 = 12.1666666667 x_{56} = 12.1666666667 x 56 = 12.1666666667 x 57 = − 93.8333333333 x_{57} = -93.8333333333 x 57 = − 93.8333333333 x 58 = 44.1666666667 x_{58} = 44.1666666667 x 58 = 44.1666666667 x 59 = 14.1666666667 x_{59} = 14.1666666667 x 59 = 14.1666666667 x 60 = − 59.8333333333 x_{60} = -59.8333333333 x 60 = − 59.8333333333 x 61 = 76.1666666667 x_{61} = 76.1666666667 x 61 = 76.1666666667 x 62 = − 17.8333333333 x_{62} = -17.8333333333 x 62 = − 17.8333333333 x 63 = 68.1666666667 x_{63} = 68.1666666667 x 63 = 68.1666666667 x 64 = 98.1666666667 x_{64} = 98.1666666667 x 64 = 98.1666666667 x 65 = 66.1666666667 x_{65} = 66.1666666667 x 65 = 66.1666666667 x 66 = 30.1666666667 x_{66} = 30.1666666667 x 66 = 30.1666666667 x 67 = 50.1666666667 x_{67} = 50.1666666667 x 67 = 50.1666666667 x 68 = − 69.8333333333 x_{68} = -69.8333333333 x 68 = − 69.8333333333 x 69 = 82.1666666667 x_{69} = 82.1666666667 x 69 = 82.1666666667 x 70 = 24.1666666667 x_{70} = 24.1666666667 x 70 = 24.1666666667 x 71 = 2.16666666667 x_{71} = 2.16666666667 x 71 = 2.16666666667 x 72 = − 45.8333333333 x_{72} = -45.8333333333 x 72 = − 45.8333333333 x 73 = 34.1666666667 x_{73} = 34.1666666667 x 73 = 34.1666666667 x 74 = 28.1666666667 x_{74} = 28.1666666667 x 74 = 28.1666666667 x 75 = − 49.8333333333 x_{75} = -49.8333333333 x 75 = − 49.8333333333 x 76 = 0.166666666667 x_{76} = 0.166666666667 x 76 = 0.166666666667 x 77 = − 37.8333333333 x_{77} = -37.8333333333 x 77 = − 37.8333333333 x 78 = 16.1666666667 x_{78} = 16.1666666667 x 78 = 16.1666666667 x 79 = − 75.8333333333 x_{79} = -75.8333333333 x 79 = − 75.8333333333 x 80 = − 15.8333333333 x_{80} = -15.8333333333 x 80 = − 15.8333333333 x 81 = − 31.8333333333 x_{81} = -31.8333333333 x 81 = − 31.8333333333 x 82 = − 39.8333333333 x_{82} = -39.8333333333 x 82 = − 39.8333333333 x 83 = 38.1666666667 x_{83} = 38.1666666667 x 83 = 38.1666666667 x 84 = 72.1666666667 x_{84} = 72.1666666667 x 84 = 72.1666666667 x 85 = − 33.8333333333 x_{85} = -33.8333333333 x 85 = − 33.8333333333 x 86 = 84.1666666667 x_{86} = 84.1666666667 x 86 = 84.1666666667 x 87 = 46.1666666667 x_{87} = 46.1666666667 x 87 = 46.1666666667 x 88 = − 83.8333333333 x_{88} = -83.8333333333 x 88 = − 83.8333333333 x 89 = − 55.8333333333 x_{89} = -55.8333333333 x 89 = − 55.8333333333 x 90 = 48.1666666667 x_{90} = 48.1666666667 x 90 = 48.1666666667 x 91 = − 29.8333333333 x_{91} = -29.8333333333 x 91 = − 29.8333333333 x 92 = 36.1666666667 x_{92} = 36.1666666667 x 92 = 36.1666666667 x 93 = − 87.8333333333 x_{93} = -87.8333333333 x 93 = − 87.8333333333 x 94 = − 5.83333333333 x_{94} = -5.83333333333 x 94 = − 5.83333333333 x 95 = − 57.8333333333 x_{95} = -57.8333333333 x 95 = − 57.8333333333 x 96 = 6.16666666667 x_{96} = 6.16666666667 x 96 = 6.16666666667 x 97 = 70.1666666667 x_{97} = 70.1666666667 x 97 = 70.1666666667 x 98 = − 63.8333333333 x_{98} = -63.8333333333 x 98 = − 63.8333333333 x 99 = − 9.83333333333 x_{99} = -9.83333333333 x 99 = − 9.83333333333 x 100 = − 3.83333333333 x_{100} = -3.83333333333 x 100 = − 3.83333333333 x 101 = 18.1666666667 x_{101} = 18.1666666667 x 101 = 18.1666666667
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:cos ( 0 ⋅ 3 π ) \cos{\left (0 \cdot 3 \pi \right )} cos ( 0 ⋅ 3 π ) f ( 0 ) = 1 f{\left (0 \right )} = 1 f ( 0 ) = 1 (0, 1)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнениеd d x f ( x ) = 0 \frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0 d x d f ( x ) = 0 d d x f ( x ) = \frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = d x d f ( x ) = Первая производная − 3 π sin ( 3 π x ) = 0 - 3 \pi \sin{\left (3 \pi x \right )} = 0 − 3 π sin ( 3 π x ) = 0 Решаем это уравнение x 1 = 0 x_{1} = 0 x 1 = 0 x 2 = 1 3 x_{2} = \frac{1}{3} x 2 = 3 1 (0, 1) (1/3, -1) Интервалы возрастания и убывания функции: x 2 = 1 3 x_{2} = \frac{1}{3} x 2 = 3 1 x 2 = 0 x_{2} = 0 x 2 = 0 (-oo, 0] U [1/3, oo) [0, 1/3]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнениеd 2 d x 2 f ( x ) = 0 \frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0 d x 2 d 2 f ( x ) = 0 d 2 d x 2 f ( x ) = \frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = d x 2 d 2 f ( x ) = Вторая производная − 9 π 2 cos ( 3 π x ) = 0 - 9 \pi^{2} \cos{\left (3 \pi x \right )} = 0 − 9 π 2 cos ( 3 π x ) = 0 Решаем это уравнение x 1 = 1 6 x_{1} = \frac{1}{6} x 1 = 6 1 x 2 = 1 2 x_{2} = \frac{1}{2} x 2 = 2 1 Интервалы выпуклости и вогнутости: [1/6, 1/2] (-oo, 1/6] U [1/2, oo)
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oolim x → − ∞ cos ( 3 π x ) = ⟨ − 1 , 1 ⟩ \lim_{x \to -\infty} \cos{\left (3 \pi x \right )} = \langle -1, 1\rangle x → − ∞ lim cos ( 3 π x ) = ⟨ − 1 , 1 ⟩ Возьмём предел y = ⟨ − 1 , 1 ⟩ y = \langle -1, 1\rangle y = ⟨ − 1 , 1 ⟩ lim x → ∞ cos ( 3 π x ) = ⟨ − 1 , 1 ⟩ \lim_{x \to \infty} \cos{\left (3 \pi x \right )} = \langle -1, 1\rangle x → ∞ lim cos ( 3 π x ) = ⟨ − 1 , 1 ⟩ Возьмём предел y = ⟨ − 1 , 1 ⟩ y = \langle -1, 1\rangle y = ⟨ − 1 , 1 ⟩
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos((3*pi)*x), делённой на x при x->+oo и x ->-oolim x → − ∞ ( 1 x cos ( 3 π x ) ) = 0 \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \cos{\left (3 \pi x \right )}\right) = 0 x → − ∞ lim ( x 1 cos ( 3 π x ) ) = 0 Возьмём предел lim x → ∞ ( 1 x cos ( 3 π x ) ) = 0 \lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \cos{\left (3 \pi x \right )}\right) = 0 x → ∞ lim ( x 1 cos ( 3 π x ) ) = 0 Возьмём предел
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).cos ( 3 π x ) = cos ( 3 π x ) \cos{\left (3 \pi x \right )} = \cos{\left (3 \pi x \right )} cos ( 3 π x ) = cos ( 3 π x ) cos ( 3 π x ) = − cos ( 3 π x ) \cos{\left (3 \pi x \right )} = - \cos{\left (3 \pi x \right )} cos ( 3 π x ) = − cos ( 3 π x ) 