График функции y = cos(3*pi*x)

Вы ввели

f(x) = cos(3*pi*x)

$$f{\left (x \right )} = \cos{\left (3 \pi x \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\cos{\left (3 \pi x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{1}{6}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 90.1666666667$$
$$x_{2} = -51.8333333333$$
$$x_{3} = 54.1666666667$$
$$x_{4} = -7.83333333333$$
$$x_{5} = -21.8333333333$$
$$x_{6} = 10.1666666667$$
$$x_{7} = 40.1666666667$$
$$x_{8} = -95.8333333333$$
$$x_{9} = 26.1666666667$$
$$x_{10} = 58.1666666667$$
$$x_{11} = 60.1666666667$$
$$x_{12} = 100.166666667$$
$$x_{13} = -27.8333333333$$
$$x_{14} = -91.8333333333$$
$$x_{15} = -73.8333333333$$
$$x_{16} = -65.8333333333$$
$$x_{17} = -97.8333333333$$
$$x_{18} = 88.1666666667$$
$$x_{19} = -71.8333333333$$
$$x_{20} = -85.8333333333$$
$$x_{21} = -25.8333333333$$
$$x_{22} = -1.83333333333$$
$$x_{23} = 78.1666666667$$
$$x_{24} = 92.1666666667$$
$$x_{25} = -13.8333333333$$
$$x_{26} = 4.16666666667$$
$$x_{27} = -77.8333333333$$
$$x_{28} = 32.1666666667$$
$$x_{29} = 96.1666666667$$
$$x_{30} = -47.8333333333$$
$$x_{31} = -67.8333333333$$
$$x_{32} = -79.8333333333$$
$$x_{33} = 64.1666666667$$
$$x_{34} = 74.1666666667$$
$$x_{35} = -35.8333333333$$
$$x_{36} = 62.1666666667$$
$$x_{37} = -41.8333333333$$
$$x_{38} = -23.8333333333$$
$$x_{39} = -61.8333333333$$
$$x_{40} = -99.8333333333$$
$$x_{41} = 42.1666666667$$
$$x_{42} = 20.1666666667$$
$$x_{43} = 56.1666666667$$
$$x_{44} = -11.8333333333$$
$$x_{45} = 8.16666666667$$
$$x_{46} = 86.1666666667$$
$$x_{47} = -43.8333333333$$
$$x_{48} = -81.8333333333$$
$$x_{49} = 52.1666666667$$
$$x_{50} = 94.1666666667$$
$$x_{51} = 80.1666666667$$
$$x_{52} = 22.1666666667$$
$$x_{53} = -19.8333333333$$
$$x_{54} = -89.8333333333$$
$$x_{55} = -53.8333333333$$
$$x_{56} = 12.1666666667$$
$$x_{57} = -93.8333333333$$
$$x_{58} = 44.1666666667$$
$$x_{59} = 14.1666666667$$
$$x_{60} = -59.8333333333$$
$$x_{61} = 76.1666666667$$
$$x_{62} = -17.8333333333$$
$$x_{63} = 68.1666666667$$
$$x_{64} = 98.1666666667$$
$$x_{65} = 66.1666666667$$
$$x_{66} = 30.1666666667$$
$$x_{67} = 50.1666666667$$
$$x_{68} = -69.8333333333$$
$$x_{69} = 82.1666666667$$
$$x_{70} = 24.1666666667$$
$$x_{71} = 2.16666666667$$
$$x_{72} = -45.8333333333$$
$$x_{73} = 34.1666666667$$
$$x_{74} = 28.1666666667$$
$$x_{75} = -49.8333333333$$
$$x_{76} = 0.166666666667$$
$$x_{77} = -37.8333333333$$
$$x_{78} = 16.1666666667$$
$$x_{79} = -75.8333333333$$
$$x_{80} = -15.8333333333$$
$$x_{81} = -31.8333333333$$
$$x_{82} = -39.8333333333$$
$$x_{83} = 38.1666666667$$
$$x_{84} = 72.1666666667$$
$$x_{85} = -33.8333333333$$
$$x_{86} = 84.1666666667$$
$$x_{87} = 46.1666666667$$
$$x_{88} = -83.8333333333$$
$$x_{89} = -55.8333333333$$
$$x_{90} = 48.1666666667$$
$$x_{91} = -29.8333333333$$
$$x_{92} = 36.1666666667$$
$$x_{93} = -87.8333333333$$
$$x_{94} = -5.83333333333$$
$$x_{95} = -57.8333333333$$
$$x_{96} = 6.16666666667$$
$$x_{97} = 70.1666666667$$
$$x_{98} = -63.8333333333$$
$$x_{99} = -9.83333333333$$
$$x_{100} = -3.83333333333$$
$$x_{101} = 18.1666666667$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в cos((3*pi)*x).
$$\cos{\left (0 \cdot 3 \pi \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- 3 \pi \sin{\left (3 \pi x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{1}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 1)

(1/3, -1)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{1}{3}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Убывает на промежутках

(-oo, 0] U [1/3, oo)

Возрастает на промежутках

[0, 1/3]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- 9 \pi^{2} \cos{\left (3 \pi x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{1}{6}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[1/6, 1/2]

Выпуклая на промежутках

(-oo, 1/6] U [1/2, oo)

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \cos{\left (3 \pi x \right )} = \langle -1, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -1, 1\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \cos{\left (3 \pi x \right )} = \langle -1, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -1, 1\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos((3*pi)*x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \cos{\left (3 \pi x \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \cos{\left (3 \pi x \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\cos{\left (3 \pi x \right )} = \cos{\left (3 \pi x \right )}$$
- Нет
$$\cos{\left (3 \pi x \right )} = - \cos{\left (3 \pi x \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной