График функции y = cos(3*x)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
f(x) = cos(3*x)
f(x)=cos(3x)f{\left(x \right)} = \cos{\left(3 x \right)}
График функции
0-40-30-20-1010203040506070802-2
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
cos(3x)=0\cos{\left(3 x \right)} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=π6x_{1} = \frac{\pi}{6}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
Численное решение
x1=45.553093477052x_{1} = -45.553093477052
x2=19.3731546971371x_{2} = -19.3731546971371
x3=86.3937979737193x_{3} = 86.3937979737193
x4=40.317105721069x_{4} = 40.317105721069
x5=5.75958653158129x_{5} = 5.75958653158129
x6=91.6297857297023x_{6} = 91.6297857297023
x7=15.1843644923507x_{7} = 15.1843644923507
x8=3.66519142918809x_{8} = -3.66519142918809
x9=1.5707963267949x_{9} = 1.5707963267949
x10=36.1283155162826x_{10} = 36.1283155162826
x11=4.71238898038469x_{11} = 4.71238898038469
x12=7.85398163397448x_{12} = -7.85398163397448
x13=22.5147473507269x_{13} = 22.5147473507269
x14=95.8185759344887x_{14} = 95.8185759344887
x15=88.4881930761125x_{15} = 88.4881930761125
x16=73.8274273593601x_{16} = -73.8274273593601
x17=23.5619449019235x_{17} = -23.5619449019235
x18=84.2994028713261x_{18} = 84.2994028713261
x19=93.7241808320955x_{19} = -93.7241808320955
x20=82.2050077689329x_{20} = 82.2050077689329
x21=0.523598775598299x_{21} = 0.523598775598299
x22=36.1283155162826x_{22} = -36.1283155162826
x23=58.1194640914112x_{23} = -58.1194640914112
x24=42.4115008234622x_{24} = 42.4115008234622
x25=53.9306738866248x_{25} = -53.9306738866248
x26=34.0339204138894x_{26} = -34.0339204138894
x27=7.85398163397448x_{27} = 7.85398163397448
x28=14.1371669411541x_{28} = -14.1371669411541
x29=61.261056745001x_{29} = -61.261056745001
x30=20.4203522483337x_{30} = 20.4203522483337
x31=12.0427718387609x_{31} = -12.0427718387609
x32=21.4675497995303x_{32} = -21.4675497995303
x33=26.7035375555132x_{33} = 26.7035375555132
x34=56.025068989018x_{34} = -56.025068989018
x35=27.7507351067098x_{35} = -27.7507351067098
x36=51.8362787842316x_{36} = -51.8362787842316
x37=31.9395253114962x_{37} = -31.9395253114962
x38=53.9306738866248x_{38} = 53.9306738866248
x39=62.3082542961976x_{39} = 62.3082542961976
x40=60.2138591938044x_{40} = -60.2138591938044
x41=18.3259571459405x_{41} = 18.3259571459405
x42=27.7507351067098x_{42} = 27.7507351067098
x43=14.1371669411541x_{43} = 14.1371669411541
x44=78.0162175641465x_{44} = -78.0162175641465
x45=16.2315620435473x_{45} = -16.2315620435473
x46=41.3643032722656x_{46} = 41.3643032722656
x47=98.9601685880785x_{47} = -98.9601685880785
x48=44.5058959258554x_{48} = 44.5058959258554
x49=43.4586983746588x_{49} = -43.4586983746588
x50=69.6386371545737x_{50} = -69.6386371545737
x51=67.5442420521806x_{51} = -67.5442420521806
x52=80.1106126665397x_{52} = -80.1106126665397
x53=34.0339204138894x_{53} = 34.0339204138894
x54=1.5707963267949x_{54} = -1.5707963267949
x55=71.733032256967x_{55} = -71.733032256967
x56=80.1106126665397x_{56} = 80.1106126665397
x57=78.0162175641465x_{57} = 78.0162175641465
x58=66.497044500984x_{58} = 66.497044500984
x59=64.4026493985908x_{59} = 64.4026493985908
x60=91.6297857297023x_{60} = -91.6297857297023
x61=25.6563400043166x_{61} = -25.6563400043166
x62=1676.03968069015x_{62} = 1676.03968069015
x63=58.1194640914112x_{63} = 58.1194640914112
x64=97.9129710368819x_{64} = -97.9129710368819
x65=82.2050077689329x_{65} = -82.2050077689329
x66=62.3082542961976x_{66} = -62.3082542961976
x67=65.4498469497874x_{67} = -65.4498469497874
x68=60.2138591938044x_{68} = 60.2138591938044
x69=49.7418836818384x_{69} = 49.7418836818384
x70=100.007366139275x_{70} = 100.007366139275
x71=47.6474885794452x_{71} = -47.6474885794452
x72=97.9129710368819x_{72} = 97.9129710368819
x73=5.75958653158129x_{73} = -5.75958653158129
x74=68.5914396033772x_{74} = 68.5914396033772
x75=56.025068989018x_{75} = 56.025068989018
x76=100.007366139275x_{76} = -100.007366139275
x77=73.8274273593601x_{77} = 73.8274273593601
x78=9.94837673636768x_{78} = 9.94837673636768
x79=95.8185759344887x_{79} = -95.8185759344887
x80=31.9395253114962x_{80} = 31.9395253114962
x81=75.9218224617533x_{81} = 75.9218224617533
x82=89.5353906273091x_{82} = -89.5353906273091
x83=71.733032256967x_{83} = 71.733032256967
x84=49.7418836818384x_{84} = -49.7418836818384
x85=12.0427718387609x_{85} = 12.0427718387609
x86=29.845130209103x_{86} = 29.845130209103
x87=38.2227106186758x_{87} = -38.2227106186758
x88=38.2227106186758x_{88} = 38.2227106186758
x89=87.4409955249159x_{89} = 87.4409955249159
x90=93.7241808320955x_{90} = 93.7241808320955
x91=75.9218224617533x_{91} = -75.9218224617533
x92=29.845130209103x_{92} = -29.845130209103
x93=84.2994028713261x_{93} = -84.2994028713261
x94=16.2315620435473x_{94} = 16.2315620435473
x95=9.94837673636768x_{95} = -9.94837673636768
x96=51.8362787842316x_{96} = 51.8362787842316
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в cos(3*x).
cos(30)\cos{\left(3 \cdot 0 \right)}
Результат:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Точка:
(0, 1)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
первая производная
3sin(3x)=0- 3 \sin{\left(3 x \right)} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=0x_{1} = 0
x2=π3x_{2} = \frac{\pi}{3}
Зн. экстремумы в точках:
(0, 1)

 pi     
(--, -1)
 3      


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x1=π3x_{1} = \frac{\pi}{3}
Максимумы функции в точках:
x1=0x_{1} = 0
Убывает на промежутках
(,0][π3,)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{3}, \infty\right)
Возрастает на промежутках
[0,π3]\left[0, \frac{\pi}{3}\right]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
вторая производная
9cos(3x)=0- 9 \cos{\left(3 x \right)} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=π6x_{1} = \frac{\pi}{6}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[π6,π2]\left[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right]
Выпуклая на промежутках
(,π6][π2,)\left(-\infty, \frac{\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limxcos(3x)=1,1\lim_{x \to -\infty} \cos{\left(3 x \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=1,1y = \left\langle -1, 1\right\rangle
limxcos(3x)=1,1\lim_{x \to \infty} \cos{\left(3 x \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=1,1y = \left\langle -1, 1\right\rangle
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(3*x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(cos(3x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(3 x \right)}}{x}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
limx(cos(3x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(3 x \right)}}{x}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
cos(3x)=cos(3x)\cos{\left(3 x \right)} = \cos{\left(3 x \right)}
- Да
cos(3x)=cos(3x)\cos{\left(3 x \right)} = - \cos{\left(3 x \right)}
- Нет
значит, функция
является
чётной
График
График функции y = cos(3*x) /media/krcore-image-pods/hash/xy/0/f2/f7ba207ba621260f7948a4d8728de.png