График функции y = cos(3*x/2)

Вы ввели

          /3*x\
f(x) = cos|---|
          \ 2 /

$$f{\left (x \right )} = \cos{\left (\frac{3 x}{2} \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\cos{\left (\frac{3 x}{2} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \pi$$
Численное решение
$$x_{1} = -36.6519142919$$
$$x_{2} = 84.8230016469$$
$$x_{3} = 97.3893722613$$
$$x_{4} = 78.5398163397$$
$$x_{5} = 42.9350995991$$
$$x_{6} = 7.33038285838$$
$$x_{7} = 9.42477796077$$
$$x_{8} = 63.879050623$$
$$x_{9} = 36.6519142919$$
$$x_{10} = 26.1799387799$$
$$x_{11} = 32.4631240871$$
$$x_{12} = 68.0678408278$$
$$x_{13} = 55.5014702134$$
$$x_{14} = 95.2949771589$$
$$x_{15} = -19.8967534727$$
$$x_{16} = -95.2949771589$$
$$x_{17} = -97.3893722613$$
$$x_{18} = -78.5398163397$$
$$x_{19} = 17.8023583703$$
$$x_{20} = -55.5014702134$$
$$x_{21} = 30.3687289847$$
$$x_{22} = -13.6135681656$$
$$x_{23} = -3.14159265359$$
$$x_{24} = 61.7846555206$$
$$x_{25} = -61.7846555206$$
$$x_{26} = 13.6135681656$$
$$x_{27} = -32.4631240871$$
$$x_{28} = 57.5958653158$$
$$x_{29} = 99.4837673637$$
$$x_{30} = -1.0471975512$$
$$x_{31} = 59.6902604182$$
$$x_{32} = -47.1238898038$$
$$x_{33} = 7180.63360856$$
$$x_{34} = -21.9911485751$$
$$x_{35} = -93.2005820565$$
$$x_{36} = 21.9911485751$$
$$x_{37} = 70.1622359302$$
$$x_{38} = 19.8967534727$$
$$x_{39} = 47.1238898038$$
$$x_{40} = -17.8023583703$$
$$x_{41} = -68.0678408278$$
$$x_{42} = 15.7079632679$$
$$x_{43} = -57.5958653158$$
$$x_{44} = -53.407075111$$
$$x_{45} = -63.879050623$$
$$x_{46} = -59.6902604182$$
$$x_{47} = 28.2743338823$$
$$x_{48} = 82.7286065445$$
$$x_{49} = -80.6342114421$$
$$x_{50} = -91.1061869541$$
$$x_{51} = 72.2566310326$$
$$x_{52} = -65.9734457254$$
$$x_{53} = -72.2566310326$$
$$x_{54} = -82.7286065445$$
$$x_{55} = -11.5191730632$$
$$x_{56} = 91.1061869541$$
$$x_{57} = -49.2182849062$$
$$x_{58} = 51.3126800086$$
$$x_{59} = -24.0855436775$$
$$x_{60} = -30.3687289847$$
$$x_{61} = -5.23598775598$$
$$x_{62} = -15.7079632679$$
$$x_{63} = -70.1622359302$$
$$x_{64} = 11.5191730632$$
$$x_{65} = 65.9734457254$$
$$x_{66} = 86.9173967493$$
$$x_{67} = 3.14159265359$$
$$x_{68} = 74.351026135$$
$$x_{69} = 40.8407044967$$
$$x_{70} = 38.7463093943$$
$$x_{71} = -51.3126800086$$
$$x_{72} = -34.5575191895$$
$$x_{73} = -76.4454212374$$
$$x_{74} = -9.42477796077$$
$$x_{75} = -45.0294947015$$
$$x_{76} = 76.4454212374$$
$$x_{77} = -99.4837673637$$
$$x_{78} = 122.52211349$$
$$x_{79} = -26.1799387799$$
$$x_{80} = 24.0855436775$$
$$x_{81} = 80.6342114421$$
$$x_{82} = 34.5575191895$$
$$x_{83} = -7.33038285838$$
$$x_{84} = -505.796417228$$
$$x_{85} = 53.407075111$$
$$x_{86} = -74.351026135$$
$$x_{87} = -28.2743338823$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в cos((3*x)/2).
$$\cos{\left (\frac{0}{2} 1 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \frac{3}{2} \sin{\left (\frac{3 x}{2} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{2 \pi}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 1)

 2*pi     
(----, -1)
  3       

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{2 \pi}{3}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Убывает на промежутках

(-oo, 0] U [2*pi/3, oo)

Возрастает на промежутках

[0, 2*pi/3]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- \frac{9}{4} \cos{\left (\frac{3 x}{2} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \pi$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[pi/3, pi]

Выпуклая на промежутках

(-oo, pi/3] U [pi, oo)

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \cos{\left (\frac{3 x}{2} \right )} = \langle -1, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -1, 1\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \cos{\left (\frac{3 x}{2} \right )} = \langle -1, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -1, 1\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos((3*x)/2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \cos{\left (\frac{3 x}{2} \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \cos{\left (\frac{3 x}{2} \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\cos{\left (\frac{3 x}{2} \right )} = \cos{\left (\frac{3 x}{2} \right )}$$
- Нет
$$\cos{\left (\frac{3 x}{2} \right )} = - \cos{\left (\frac{3 x}{2} \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной