График функции y = cos(y)

Вы ввели

f(y) = cos(y)

$$f{\left (y \right )} = \cos{\left (y \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось Y при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\cos{\left (y \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью Y:

Аналитическое решение
$$y_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$y_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Численное решение
$$y_{1} = -54.9778714378$$
$$y_{2} = 39.2699081699$$
$$y_{3} = 51.8362787842$$
$$y_{4} = 86.3937979737$$
$$y_{5} = -17.2787595947$$
$$y_{6} = 45.5530934771$$
$$y_{7} = 61.261056745$$
$$y_{8} = 67.5442420522$$
$$y_{9} = -70.6858347058$$
$$y_{10} = -89.5353906273$$
$$y_{11} = 92.6769832809$$
$$y_{12} = 76.9690200129$$
$$y_{13} = -32.9867228627$$
$$y_{14} = 17.2787595947$$
$$y_{15} = -48.6946861306$$
$$y_{16} = -80.1106126665$$
$$y_{17} = -42.4115008235$$
$$y_{18} = -58.1194640914$$
$$y_{19} = 1.57079632679$$
$$y_{20} = -95.8185759345$$
$$y_{21} = 95.8185759345$$
$$y_{22} = -36.1283155163$$
$$y_{23} = -64.4026493986$$
$$y_{24} = 36.1283155163$$
$$y_{25} = -61.261056745$$
$$y_{26} = -92.6769832809$$
$$y_{27} = 32.9867228627$$
$$y_{28} = -14.1371669412$$
$$y_{29} = 80.1106126665$$
$$y_{30} = 4.71238898038$$
$$y_{31} = 10.9955742876$$
$$y_{32} = 7.85398163397$$
$$y_{33} = 23.5619449019$$
$$y_{34} = -39.2699081699$$
$$y_{35} = 64.4026493986$$
$$y_{36} = -387.986692718$$
$$y_{37} = -73.8274273594$$
$$y_{38} = 20.4203522483$$
$$y_{39} = -26.7035375555$$
$$y_{40} = -83.2522053201$$
$$y_{41} = -98.9601685881$$
$$y_{42} = 48.6946861306$$
$$y_{43} = 14.1371669412$$
$$y_{44} = 98.9601685881$$
$$y_{45} = -45.5530934771$$
$$y_{46} = -51.8362787842$$
$$y_{47} = -67.5442420522$$
$$y_{48} = 54.9778714378$$
$$y_{49} = 26.7035375555$$
$$y_{50} = -86.3937979737$$
$$y_{51} = -20.4203522483$$
$$y_{52} = -168.075206967$$
$$y_{53} = -4.71238898038$$
$$y_{54} = -76.9690200129$$
$$y_{55} = 89.5353906273$$
$$y_{56} = -10.9955742876$$
$$y_{57} = -2266.65909957$$
$$y_{58} = -7.85398163397$$
$$y_{59} = -1.57079632679$$
$$y_{60} = -23.5619449019$$
$$y_{61} = 73.8274273594$$
$$y_{62} = 70.6858347058$$
$$y_{63} = 29.8451302091$$
$$y_{64} = 42.4115008235$$
$$y_{65} = 83.2522053201$$
$$y_{66} = 58.1194640914$$
$$y_{67} = -29.8451302091$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда y равняется 0:
подставляем y = 0 в cos(y).
$$\cos{\left (0 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d y} f{\left (y \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d y} f{\left (y \right )} = $$
Первая производная
$$- \sin{\left (y \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$y_{1} = 0$$
$$y_{2} = \pi$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 1)

(pi, -1)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$y_{2} = \pi$$
Максимумы функции в точках:
$$y_{2} = 0$$
Убывает на промежутках

(-oo, 0] U [pi, oo)

Возрастает на промежутках

[0, pi]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left (y \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left (y \right )} = $$
Вторая производная
$$- \cos{\left (y \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$y_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$y_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[pi/2, 3*pi/2]

Выпуклая на промежутках

(-oo, pi/2] U [3*pi/2, oo)

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при y->+oo и y->-oo
$$\lim_{y \to -\infty} \cos{\left (y \right )} = \langle -1, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -1, 1\rangle$$
$$\lim_{y \to \infty} \cos{\left (y \right )} = \langle -1, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -1, 1\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(y), делённой на y при y->+oo и y ->-oo
$$\lim_{y \to -\infty}\left(\frac{1}{y} \cos{\left (y \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{y \to \infty}\left(\frac{1}{y} \cos{\left (y \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-y) и f = -f(-y).
Итак, проверяем:
$$\cos{\left (y \right )} = \cos{\left (y \right )}$$
- Да
$$\cos{\left (y \right )} = - \cos{\left (y \right )}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной