График функции y = cos(y)+1

Вы ввели

f(y) = cos(y) + 1

$$f{\left (y \right )} = \cos{\left (y \right )} + 1$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось Y при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\cos{\left (y \right )} + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью Y:

Аналитическое решение
$$y_{1} = \pi$$
Численное решение
$$y_{1} = 91.1061873718$$
$$y_{2} = -53.4070745787$$
$$y_{3} = 84.8230021336$$
$$y_{4} = -97.3893716285$$
$$y_{5} = 72.2566306985$$
$$y_{6} = 59.6902599104$$
$$y_{7} = 47.1238894108$$
$$y_{8} = -21.9911485864$$
$$y_{9} = -34.5575196658$$
$$y_{10} = -72.2566308658$$
$$y_{11} = -59.6902599212$$
$$y_{12} = 84.8230013636$$
$$y_{13} = 34.5575190219$$
$$y_{14} = 15.7079629803$$
$$y_{15} = 65.9734452391$$
$$y_{16} = 59.6902606104$$
$$y_{17} = -34.5575188899$$
$$y_{18} = -47.1238893275$$
$$y_{19} = -97.3893717477$$
$$y_{20} = 72.2566315167$$
$$y_{21} = -78.5398160473$$
$$y_{22} = -59.6902606929$$
$$y_{23} = 15.707963957$$
$$y_{24} = -3.14159217368$$
$$y_{25} = -15.7079632966$$
$$y_{26} = -91.1061872655$$
$$y_{27} = -15.7079627748$$
$$y_{28} = -72.256631542$$
$$y_{29} = 53.4070766554$$
$$y_{30} = -47.1238901083$$
$$y_{31} = 34.5575197056$$
$$y_{32} = -65.973446197$$
$$y_{33} = -65.9734457649$$
$$y_{34} = 97.3893725817$$
$$y_{35} = 40.8407045793$$
$$y_{36} = 78.5398166181$$
$$y_{37} = -1127.83176319$$
$$y_{38} = 15.7079627594$$
$$y_{39} = -40.8407049009$$
$$y_{40} = -72.2566311847$$
$$y_{41} = 9.42477826738$$
$$y_{42} = 15.7079634518$$
$$y_{43} = 72.2566310277$$
$$y_{44} = -65.973444987$$
$$y_{45} = 65.9734460391$$
$$y_{46} = -9.42477752082$$
$$y_{47} = -28.2743343914$$
$$y_{48} = -21.9911490521$$
$$y_{49} = -91.1061864815$$
$$y_{50} = -84.8230012512$$
$$y_{51} = -9.42477813658$$
$$y_{52} = -59.6902604578$$
$$y_{53} = -84.8230020565$$
$$y_{54} = 97.3893717959$$
$$y_{55} = -28.274334099$$
$$y_{56} = -65.9734453607$$
$$y_{57} = -21.9911482261$$
$$y_{58} = -53.4070745964$$
$$y_{59} = 28.2743335664$$
$$y_{60} = -15.7079635641$$
$$y_{61} = 3.14159306054$$
$$y_{62} = -9.4247774453$$
$$y_{63} = 65.973445753$$
$$y_{64} = -78.5398168195$$
$$y_{65} = 21.9911489073$$
$$y_{66} = 91.1061865668$$
$$y_{67} = 3.1415922549$$
$$y_{68} = 78.5398152766$$
$$y_{69} = -28.2743337069$$
$$y_{70} = -3.14159295109$$
$$y_{71} = 78.5398161805$$
$$y_{72} = 40.84070498$$
$$y_{73} = 78.5398168562$$
$$y_{74} = 53.4070754246$$
$$y_{75} = 28.2743343712$$
$$y_{76} = -53.407075295$$
$$y_{77} = 40.8407042062$$
$$y_{78} = -40.8407040953$$
$$y_{79} = 34.5575195449$$
$$y_{80} = -97.3893724533$$
$$y_{81} = 78.539814975$$
$$y_{82} = 9.42477748794$$
$$y_{83} = 21.9911480932$$
$$y_{84} = 40.8407045849$$
$$y_{85} = 21.9911485852$$
$$y_{86} = 47.1238902162$$
$$y_{87} = -40.8407049291$$
$$y_{88} = 59.6902600527$$
$$y_{89} = 53.4070746419$$
$$y_{90} = 28.2743338652$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда y равняется 0:
подставляем y = 0 в cos(y) + 1.
$$\cos{\left (0 \right )} + 1$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 2$$
Точка:

(0, 2)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d y} f{\left (y \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d y} f{\left (y \right )} = $$
Первая производная
$$- \sin{\left (y \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$y_{1} = 0$$
$$y_{2} = \pi$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 2)

(pi, 0)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$y_{2} = \pi$$
Максимумы функции в точках:
$$y_{2} = 0$$
Убывает на промежутках

(-oo, 0] U [pi, oo)

Возрастает на промежутках

[0, pi]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left (y \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left (y \right )} = $$
Вторая производная
$$- \cos{\left (y \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$y_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$y_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[pi/2, 3*pi/2]

Выпуклая на промежутках

(-oo, pi/2] U [3*pi/2, oo)

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при y->+oo и y->-oo
$$\lim_{y \to -\infty}\left(\cos{\left (y \right )} + 1\right) = \langle 0, 2\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle 0, 2\rangle$$
$$\lim_{y \to \infty}\left(\cos{\left (y \right )} + 1\right) = \langle 0, 2\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle 0, 2\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(y) + 1, делённой на y при y->+oo и y ->-oo
$$\lim_{y \to -\infty}\left(\frac{1}{y} \left(\cos{\left (y \right )} + 1\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{y \to \infty}\left(\frac{1}{y} \left(\cos{\left (y \right )} + 1\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-y) и f = -f(-y).
Итак, проверяем:
$$\cos{\left (y \right )} + 1 = \cos{\left (y \right )} + 1$$
- Да
$$\cos{\left (y \right )} + 1 = - \cos{\left (y \right )} - 1$$
- Нет
значит, функция
является
чётной