График функции y = cos(x/2)+1

Вы ввели

          /x\    
f(x) = cos|-| + 1
          \2/    

$$f{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 2 \pi$$
Численное решение
$$x_{1} = 6.28318608026041$$
$$x_{2} = -69.1150405916551$$
$$x_{3} = 69.115037955532$$
$$x_{4} = -94.2477805989545$$
$$x_{5} = 94.2477805288104$$
$$x_{6} = -6.28318627375063$$
$$x_{7} = 81.6814079898679$$
$$x_{8} = 43.9822980146158$$
$$x_{9} = -81.68140804614$$
$$x_{10} = -18.8495543136467$$
$$x_{11} = 56.5486672894687$$
$$x_{12} = 94.2477803922665$$
$$x_{13} = 56.5486675992574$$
$$x_{14} = 6.28318454684724$$
$$x_{15} = -56.548667456373$$
$$x_{16} = 56.5486681672153$$
$$x_{17} = 31.4159255107699$$
$$x_{18} = 69.1150368714384$$
$$x_{19} = 18.8495549415754$$
$$x_{20} = 973.893720162307$$
$$x_{21} = -43.9822980632848$$
$$x_{22} = -56.5486683277755$$
$$x_{23} = 31.4159275256971$$
$$x_{24} = -6.28318512498487$$
$$x_{25} = -6.28318500560576$$
$$x_{26} = -31.4159258676764$$
$$x_{27} = 81.6814069775521$$
$$x_{28} = 18.8495569537229$$
$$x_{29} = 94.2477788210844$$
$$x_{30} = -56.5486677946696$$
$$x_{31} = -69.1150393645777$$
$$x_{32} = -31.4159267991785$$
$$x_{33} = -94.2477802857943$$
$$x_{34} = -43.9822979202134$$
$$x_{35} = -69.1150378269834$$
$$x_{36} = 6.28318624191326$$
$$x_{37} = -18.8495548993085$$
$$x_{38} = -81.6814098544517$$
$$x_{39} = 81.6814091930517$$
$$x_{40} = -81.6814097251289$$
$$x_{41} = 81.681409932803$$
$$x_{42} = 43.982297169474$$
$$x_{43} = -18.8495554800568$$
$$x_{44} = -6.28318630492991$$
$$x_{45} = -81.6814090382823$$
$$x_{46} = -69.115038701061$$
$$x_{47} = 94.2477796093523$$
$$x_{48} = 43.9822963919738$$
$$x_{49} = 81.6814094388795$$
$$x_{50} = -18.8495563601837$$
$$x_{51} = -6.28318480992034$$
$$x_{52} = -31.4159269573538$$
$$x_{53} = 69.1150397628024$$
$$x_{54} = 69.1150373651011$$
$$x_{55} = 43.9822979229286$$
$$x_{56} = -94.2477786842917$$
$$x_{57} = 94.2477787666659$$
$$x_{58} = 31.4159259869291$$
$$x_{59} = -69.115037346238$$
$$x_{60} = -31.4159267183799$$
$$x_{61} = 31.415926404003$$
$$x_{62} = 69.115038835587$$
$$x_{63} = -6.28318437561383$$
$$x_{64} = 56.548668769019$$
$$x_{65} = 56.5486684458067$$
$$x_{66} = 31.4159268602638$$
$$x_{67} = -56.5486667805662$$
$$x_{68} = -18.8495572113627$$
$$x_{69} = -31.4159274639505$$
$$x_{70} = 18.8495564877336$$
$$x_{71} = -18.8495569383691$$
$$x_{72} = -81.6814082319334$$
$$x_{73} = 81.6814083413212$$
$$x_{74} = -94.2477794433785$$
$$x_{75} = -43.9822963521153$$
$$x_{76} = 69.1150394039813$$
$$x_{77} = 18.8495554920234$$
$$x_{78} = 43.9822962232996$$
$$x_{79} = -420.973417050673$$
$$x_{80} = 6.28318445599649$$
$$x_{81} = 56.5486668446775$$
$$x_{82} = -43.9822971745293$$
$$x_{83} = -31.4159255258029$$
$$x_{84} = -69.1150380827831$$
$$x_{85} = 6.28318528419795$$
$$x_{86} = -43.982296295854$$
$$x_{87} = -56.5486687887842$$
$$x_{88} = -6.28318597231491$$
$$x_{89} = 18.8495561010751$$
$$x_{90} = 18.8495556154405$$
$$x_{91} = -94.2477790629797$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в cos(x/2) + 1.
$$\cos{\left(\frac{0}{2} \right)} + 1$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 2$$
Точка:

(0, 2)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2 \pi$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 2)

(2*pi, 0)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 2 \pi$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[2 \pi, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[0, 2 \pi\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{4} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \pi$$
$$x_{2} = 3 \pi$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\pi, 3 \pi\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, \pi\right] \cup \left[3 \pi, \infty\right)$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) = \left\langle 0, 2\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle 0, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) = \left\langle 0, 2\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle 0, 2\right\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(x/2) + 1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1 = \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1$$
- Нет
$$\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1 = - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График