График функции y = cos(x/2)+1

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
          /x\    
f(x) = cos|-| + 1
          \2/    
f(x)=cos(x2)+1f{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1
График функции
0-60-50-40-30-20-1010203040506004
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
cos(x2)+1=0\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1 = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=2πx_{1} = 2 \pi
Численное решение
x1=6.28318608026041x_{1} = 6.28318608026041
x2=69.1150405916551x_{2} = -69.1150405916551
x3=69.115037955532x_{3} = 69.115037955532
x4=94.2477805989545x_{4} = -94.2477805989545
x5=94.2477805288104x_{5} = 94.2477805288104
x6=6.28318627375063x_{6} = -6.28318627375063
x7=81.6814079898679x_{7} = 81.6814079898679
x8=43.9822980146158x_{8} = 43.9822980146158
x9=81.68140804614x_{9} = -81.68140804614
x10=18.8495543136467x_{10} = -18.8495543136467
x11=56.5486672894687x_{11} = 56.5486672894687
x12=94.2477803922665x_{12} = 94.2477803922665
x13=56.5486675992574x_{13} = 56.5486675992574
x14=6.28318454684724x_{14} = 6.28318454684724
x15=56.548667456373x_{15} = -56.548667456373
x16=56.5486681672153x_{16} = 56.5486681672153
x17=31.4159255107699x_{17} = 31.4159255107699
x18=69.1150368714384x_{18} = 69.1150368714384
x19=18.8495549415754x_{19} = 18.8495549415754
x20=973.893720162307x_{20} = 973.893720162307
x21=43.9822980632848x_{21} = -43.9822980632848
x22=56.5486683277755x_{22} = -56.5486683277755
x23=31.4159275256971x_{23} = 31.4159275256971
x24=6.28318512498487x_{24} = -6.28318512498487
x25=6.28318500560576x_{25} = -6.28318500560576
x26=31.4159258676764x_{26} = -31.4159258676764
x27=81.6814069775521x_{27} = 81.6814069775521
x28=18.8495569537229x_{28} = 18.8495569537229
x29=94.2477788210844x_{29} = 94.2477788210844
x30=56.5486677946696x_{30} = -56.5486677946696
x31=69.1150393645777x_{31} = -69.1150393645777
x32=31.4159267991785x_{32} = -31.4159267991785
x33=94.2477802857943x_{33} = -94.2477802857943
x34=43.9822979202134x_{34} = -43.9822979202134
x35=69.1150378269834x_{35} = -69.1150378269834
x36=6.28318624191326x_{36} = 6.28318624191326
x37=18.8495548993085x_{37} = -18.8495548993085
x38=81.6814098544517x_{38} = -81.6814098544517
x39=81.6814091930517x_{39} = 81.6814091930517
x40=81.6814097251289x_{40} = -81.6814097251289
x41=81.681409932803x_{41} = 81.681409932803
x42=43.982297169474x_{42} = 43.982297169474
x43=18.8495554800568x_{43} = -18.8495554800568
x44=6.28318630492991x_{44} = -6.28318630492991
x45=81.6814090382823x_{45} = -81.6814090382823
x46=69.115038701061x_{46} = -69.115038701061
x47=94.2477796093523x_{47} = 94.2477796093523
x48=43.9822963919738x_{48} = 43.9822963919738
x49=81.6814094388795x_{49} = 81.6814094388795
x50=18.8495563601837x_{50} = -18.8495563601837
x51=6.28318480992034x_{51} = -6.28318480992034
x52=31.4159269573538x_{52} = -31.4159269573538
x53=69.1150397628024x_{53} = 69.1150397628024
x54=69.1150373651011x_{54} = 69.1150373651011
x55=43.9822979229286x_{55} = 43.9822979229286
x56=94.2477786842917x_{56} = -94.2477786842917
x57=94.2477787666659x_{57} = 94.2477787666659
x58=31.4159259869291x_{58} = 31.4159259869291
x59=69.115037346238x_{59} = -69.115037346238
x60=31.4159267183799x_{60} = -31.4159267183799
x61=31.415926404003x_{61} = 31.415926404003
x62=69.115038835587x_{62} = 69.115038835587
x63=6.28318437561383x_{63} = -6.28318437561383
x64=56.548668769019x_{64} = 56.548668769019
x65=56.5486684458067x_{65} = 56.5486684458067
x66=31.4159268602638x_{66} = 31.4159268602638
x67=56.5486667805662x_{67} = -56.5486667805662
x68=18.8495572113627x_{68} = -18.8495572113627
x69=31.4159274639505x_{69} = -31.4159274639505
x70=18.8495564877336x_{70} = 18.8495564877336
x71=18.8495569383691x_{71} = -18.8495569383691
x72=81.6814082319334x_{72} = -81.6814082319334
x73=81.6814083413212x_{73} = 81.6814083413212
x74=94.2477794433785x_{74} = -94.2477794433785
x75=43.9822963521153x_{75} = -43.9822963521153
x76=69.1150394039813x_{76} = 69.1150394039813
x77=18.8495554920234x_{77} = 18.8495554920234
x78=43.9822962232996x_{78} = 43.9822962232996
x79=420.973417050673x_{79} = -420.973417050673
x80=6.28318445599649x_{80} = 6.28318445599649
x81=56.5486668446775x_{81} = 56.5486668446775
x82=43.9822971745293x_{82} = -43.9822971745293
x83=31.4159255258029x_{83} = -31.4159255258029
x84=69.1150380827831x_{84} = -69.1150380827831
x85=6.28318528419795x_{85} = 6.28318528419795
x86=43.982296295854x_{86} = -43.982296295854
x87=56.5486687887842x_{87} = -56.5486687887842
x88=6.28318597231491x_{88} = -6.28318597231491
x89=18.8495561010751x_{89} = 18.8495561010751
x90=18.8495556154405x_{90} = 18.8495556154405
x91=94.2477790629797x_{91} = -94.2477790629797
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в cos(x/2) + 1.
cos(02)+1\cos{\left(\frac{0}{2} \right)} + 1
Результат:
f(0)=2f{\left(0 \right)} = 2
Точка:
(0, 2)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
первая производная
sin(x2)2=0- \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=0x_{1} = 0
x2=2πx_{2} = 2 \pi
Зн. экстремумы в точках:
(0, 2)

(2*pi, 0)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x1=2πx_{1} = 2 \pi
Максимумы функции в точках:
x1=0x_{1} = 0
Убывает на промежутках
(,0][2π,)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[2 \pi, \infty\right)
Возрастает на промежутках
[0,2π]\left[0, 2 \pi\right]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
вторая производная
cos(x2)4=0- \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{4} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=πx_{1} = \pi
x2=3πx_{2} = 3 \pi

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[π,3π]\left[\pi, 3 \pi\right]
Выпуклая на промежутках
(,π][3π,)\left(-\infty, \pi\right] \cup \left[3 \pi, \infty\right)
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(cos(x2)+1)=0,2\lim_{x \to -\infty}\left(\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) = \left\langle 0, 2\right\rangle
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=0,2y = \left\langle 0, 2\right\rangle
limx(cos(x2)+1)=0,2\lim_{x \to \infty}\left(\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) = \left\langle 0, 2\right\rangle
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=0,2y = \left\langle 0, 2\right\rangle
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(x/2) + 1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(cos(x2)+1x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1}{x}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
limx(cos(x2)+1x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1}{x}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
cos(x2)+1=cos(x2)+1\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1 = \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1
- Нет
cos(x2)+1=cos(x2)1\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1 = - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График
График функции y = cos(x/2)+1 /media/krcore-image-pods/hash/xy/7/ea/86ba740696bd0fbdde4a4ace6ef59.png