График функции y = cos(x)/(2+sin(x))

Вы ввели

         cos(x)  
f(x) = ----------
       2 + sin(x)

$$f{\left (x \right )} = \frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )} + 2}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )} + 2} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -54.9778714378$$
$$x_{2} = 39.2699081699$$
$$x_{3} = 51.8362787842$$
$$x_{4} = 86.3937979737$$
$$x_{5} = -17.2787595947$$
$$x_{6} = 45.5530934771$$
$$x_{7} = 61.261056745$$
$$x_{8} = 67.5442420522$$
$$x_{9} = -70.6858347058$$
$$x_{10} = -89.5353906273$$
$$x_{11} = 92.6769832809$$
$$x_{12} = 76.9690200129$$
$$x_{13} = -32.9867228627$$
$$x_{14} = 17.2787595947$$
$$x_{15} = -48.6946861306$$
$$x_{16} = -80.1106126665$$
$$x_{17} = -42.4115008235$$
$$x_{18} = -58.1194640914$$
$$x_{19} = 1.57079632679$$
$$x_{20} = -95.8185759345$$
$$x_{21} = 95.8185759345$$
$$x_{22} = -36.1283155163$$
$$x_{23} = -64.4026493986$$
$$x_{24} = 36.1283155163$$
$$x_{25} = -61.261056745$$
$$x_{26} = -92.6769832809$$
$$x_{27} = 32.9867228627$$
$$x_{28} = -14.1371669412$$
$$x_{29} = 80.1106126665$$
$$x_{30} = 4.71238898038$$
$$x_{31} = 10.9955742876$$
$$x_{32} = 7.85398163397$$
$$x_{33} = 23.5619449019$$
$$x_{34} = -39.2699081699$$
$$x_{35} = 64.4026493986$$
$$x_{36} = -387.986692718$$
$$x_{37} = -73.8274273594$$
$$x_{38} = 20.4203522483$$
$$x_{39} = -26.7035375555$$
$$x_{40} = -83.2522053201$$
$$x_{41} = -98.9601685881$$
$$x_{42} = 48.6946861306$$
$$x_{43} = 14.1371669412$$
$$x_{44} = 98.9601685881$$
$$x_{45} = -45.5530934771$$
$$x_{46} = -51.8362787842$$
$$x_{47} = -67.5442420522$$
$$x_{48} = 54.9778714378$$
$$x_{49} = 26.7035375555$$
$$x_{50} = -86.3937979737$$
$$x_{51} = -20.4203522483$$
$$x_{52} = -168.075206967$$
$$x_{53} = -4.71238898038$$
$$x_{54} = -76.9690200129$$
$$x_{55} = 89.5353906273$$
$$x_{56} = -10.9955742876$$
$$x_{57} = -2266.65909957$$
$$x_{58} = -7.85398163397$$
$$x_{59} = -1.57079632679$$
$$x_{60} = -23.5619449019$$
$$x_{61} = 73.8274273594$$
$$x_{62} = 70.6858347058$$
$$x_{63} = 29.8451302091$$
$$x_{64} = 42.4115008235$$
$$x_{65} = 83.2522053201$$
$$x_{66} = 58.1194640914$$
$$x_{67} = -29.8451302091$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в cos(x)/(2 + sin(x)).
$$\frac{\cos{\left (0 \right )}}{\sin{\left (0 \right )} + 2}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \frac{1}{2}$$
Точка:

(0, 1/2)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \frac{\sin{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )} + 2} - \frac{\cos^{2}{\left (x \right )}}{\left(\sin{\left (x \right )} + 2\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{3} + 2 \right )}$$
Зн. экстремумы в точках:

         ___ 
 -pi   \/ 3  
(----, -----)
  6      3   

                          /      /      ___\\   
        /      ___\    cos\2*atan\2 + \/ 3 //   
(-2*atan\2 + \/ 3 /, --------------------------)
                            /      /      ___\\ 
                     2 - sin\2*atan\2 + \/ 3 // 

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{3} + 2 \right )}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = - \frac{\pi}{6}$$
Убывает на промежутках

[-2*atan(sqrt(3) + 2), -pi/6]

Возрастает на промежутках

(-oo, -2*atan(sqrt(3) + 2)] U [-pi/6, oo)

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )} + 2} \left(-1 + \frac{3 \sin{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )} + 2} + \frac{2 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\left(\sin{\left (x \right )} + 2\right)^{2}}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, 3*pi/2]

Выпуклая на промежутках

[3*pi/2, oo)

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )} + 2}\right) = \langle -1, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -1, 1\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )} + 2}\right) = \langle -1, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -1, 1\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(x)/(2 + sin(x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left (x \right )}}{x \left(\sin{\left (x \right )} + 2\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left (x \right )}}{x \left(\sin{\left (x \right )} + 2\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )} + 2} = \frac{\cos{\left (x \right )}}{- \sin{\left (x \right )} + 2}$$
- Нет
$$\frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )} + 2} = - \frac{\cos{\left (x \right )}}{- \sin{\left (x \right )} + 2}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной