График функции y = cos(x/2)^(2)

Вы ввели

          2/x\
f(x) = cos |-|
           \2/

$$f{\left (x \right )} = \cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \pi$$
$$x_{2} = 3 \pi$$
Численное решение
$$x_{1} = 91.1061873718$$
$$x_{2} = -53.4070745787$$
$$x_{3} = 84.8230021336$$
$$x_{4} = -97.3893716285$$
$$x_{5} = 72.2566306985$$
$$x_{6} = 59.6902599104$$
$$x_{7} = 47.1238894108$$
$$x_{8} = -21.9911485864$$
$$x_{9} = -34.5575196658$$
$$x_{10} = -72.2566308658$$
$$x_{11} = -59.6902599212$$
$$x_{12} = 84.8230013636$$
$$x_{13} = 34.5575190219$$
$$x_{14} = 15.7079629803$$
$$x_{15} = 65.9734452391$$
$$x_{16} = 59.6902606104$$
$$x_{17} = -34.5575188899$$
$$x_{18} = -47.1238893275$$
$$x_{19} = -97.3893717477$$
$$x_{20} = 72.2566315167$$
$$x_{21} = -78.5398160473$$
$$x_{22} = -59.6902606929$$
$$x_{23} = 15.707963957$$
$$x_{24} = -3.14159217368$$
$$x_{25} = -15.7079632966$$
$$x_{26} = -91.1061872655$$
$$x_{27} = -15.7079627748$$
$$x_{28} = -72.256631542$$
$$x_{29} = 53.4070766554$$
$$x_{30} = -47.1238901083$$
$$x_{31} = 34.5575197056$$
$$x_{32} = -65.973446197$$
$$x_{33} = -65.9734457649$$
$$x_{34} = 97.3893725817$$
$$x_{35} = 40.8407045793$$
$$x_{36} = 78.5398166181$$
$$x_{37} = -1127.83176319$$
$$x_{38} = 15.7079627594$$
$$x_{39} = -40.8407049009$$
$$x_{40} = -72.2566311847$$
$$x_{41} = 9.42477826738$$
$$x_{42} = 15.7079634518$$
$$x_{43} = 72.2566310277$$
$$x_{44} = -65.973444987$$
$$x_{45} = 65.9734460391$$
$$x_{46} = -9.42477752082$$
$$x_{47} = -28.2743343914$$
$$x_{48} = -21.9911490521$$
$$x_{49} = -91.1061864815$$
$$x_{50} = -84.8230012512$$
$$x_{51} = -9.42477813658$$
$$x_{52} = -59.6902604578$$
$$x_{53} = -84.8230020565$$
$$x_{54} = 97.3893717959$$
$$x_{55} = -28.274334099$$
$$x_{56} = -65.9734453607$$
$$x_{57} = -21.9911482261$$
$$x_{58} = -53.4070745964$$
$$x_{59} = 28.2743335664$$
$$x_{60} = -15.7079635641$$
$$x_{61} = 3.14159306054$$
$$x_{62} = -9.4247774453$$
$$x_{63} = 65.973445753$$
$$x_{64} = -78.5398168195$$
$$x_{65} = 21.9911489073$$
$$x_{66} = 91.1061865668$$
$$x_{67} = 3.1415922549$$
$$x_{68} = 78.5398152766$$
$$x_{69} = -28.2743337069$$
$$x_{70} = -3.14159295109$$
$$x_{71} = 78.5398161805$$
$$x_{72} = 40.84070498$$
$$x_{73} = 78.5398168562$$
$$x_{74} = 53.4070754246$$
$$x_{75} = 28.2743343712$$
$$x_{76} = -53.407075295$$
$$x_{77} = 40.8407042062$$
$$x_{78} = -40.8407040953$$
$$x_{79} = 34.5575195449$$
$$x_{80} = -97.3893724533$$
$$x_{81} = 78.539814975$$
$$x_{82} = 9.42477748794$$
$$x_{83} = 21.9911480932$$
$$x_{84} = 40.8407045849$$
$$x_{85} = 21.9911485852$$
$$x_{86} = 47.1238902162$$
$$x_{87} = -40.8407049291$$
$$x_{88} = 59.6902600527$$
$$x_{89} = 53.4070746419$$
$$x_{90} = 28.2743338652$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в cos(x/2)^2.
$$\cos^{2}{\left (\frac{0}{2} \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \sin{\left (\frac{x}{2} \right )} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi$$
$$x_{4} = 3 \pi$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 1)

(pi, 0)

(2*pi, 1)

(3*pi, 0)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{4} = \pi$$
$$x_{4} = 3 \pi$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{4} = 0$$
$$x_{4} = 2 \pi$$
Убывает на промежутках

[3*pi, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, pi] U [2*pi, 3*pi]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{2} \left(\sin^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} - \cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[-3*pi/2, -pi/2] U [pi/2, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -3*pi/2]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} = \langle 0, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle 0, 1\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} = \langle 0, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle 0, 1\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(x/2)^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} = \cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}$$
- Нет
$$\cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} = - \cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной