График функции y = cos(x/2)^(2)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
          2/x\
f(x) = cos |-|
           \2/
f(x)=cos2(x2)f{\left (x \right )} = \cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}
График функции
0-30000-25000-20000-15000-10000-500050001000015000200002500002
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
cos2(x2)=0\cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=πx_{1} = \pi
x2=3πx_{2} = 3 \pi
Численное решение
x1=91.1061873718x_{1} = 91.1061873718
x2=53.4070745787x_{2} = -53.4070745787
x3=84.8230021336x_{3} = 84.8230021336
x4=97.3893716285x_{4} = -97.3893716285
x5=72.2566306985x_{5} = 72.2566306985
x6=59.6902599104x_{6} = 59.6902599104
x7=47.1238894108x_{7} = 47.1238894108
x8=21.9911485864x_{8} = -21.9911485864
x9=34.5575196658x_{9} = -34.5575196658
x10=72.2566308658x_{10} = -72.2566308658
x11=59.6902599212x_{11} = -59.6902599212
x12=84.8230013636x_{12} = 84.8230013636
x13=34.5575190219x_{13} = 34.5575190219
x14=15.7079629803x_{14} = 15.7079629803
x15=65.9734452391x_{15} = 65.9734452391
x16=59.6902606104x_{16} = 59.6902606104
x17=34.5575188899x_{17} = -34.5575188899
x18=47.1238893275x_{18} = -47.1238893275
x19=97.3893717477x_{19} = -97.3893717477
x20=72.2566315167x_{20} = 72.2566315167
x21=78.5398160473x_{21} = -78.5398160473
x22=59.6902606929x_{22} = -59.6902606929
x23=15.707963957x_{23} = 15.707963957
x24=3.14159217368x_{24} = -3.14159217368
x25=15.7079632966x_{25} = -15.7079632966
x26=91.1061872655x_{26} = -91.1061872655
x27=15.7079627748x_{27} = -15.7079627748
x28=72.256631542x_{28} = -72.256631542
x29=53.4070766554x_{29} = 53.4070766554
x30=47.1238901083x_{30} = -47.1238901083
x31=34.5575197056x_{31} = 34.5575197056
x32=65.973446197x_{32} = -65.973446197
x33=65.9734457649x_{33} = -65.9734457649
x34=97.3893725817x_{34} = 97.3893725817
x35=40.8407045793x_{35} = 40.8407045793
x36=78.5398166181x_{36} = 78.5398166181
x37=1127.83176319x_{37} = -1127.83176319
x38=15.7079627594x_{38} = 15.7079627594
x39=40.8407049009x_{39} = -40.8407049009
x40=72.2566311847x_{40} = -72.2566311847
x41=9.42477826738x_{41} = 9.42477826738
x42=15.7079634518x_{42} = 15.7079634518
x43=72.2566310277x_{43} = 72.2566310277
x44=65.973444987x_{44} = -65.973444987
x45=65.9734460391x_{45} = 65.9734460391
x46=9.42477752082x_{46} = -9.42477752082
x47=28.2743343914x_{47} = -28.2743343914
x48=21.9911490521x_{48} = -21.9911490521
x49=91.1061864815x_{49} = -91.1061864815
x50=84.8230012512x_{50} = -84.8230012512
x51=9.42477813658x_{51} = -9.42477813658
x52=59.6902604578x_{52} = -59.6902604578
x53=84.8230020565x_{53} = -84.8230020565
x54=97.3893717959x_{54} = 97.3893717959
x55=28.274334099x_{55} = -28.274334099
x56=65.9734453607x_{56} = -65.9734453607
x57=21.9911482261x_{57} = -21.9911482261
x58=53.4070745964x_{58} = -53.4070745964
x59=28.2743335664x_{59} = 28.2743335664
x60=15.7079635641x_{60} = -15.7079635641
x61=3.14159306054x_{61} = 3.14159306054
x62=9.4247774453x_{62} = -9.4247774453
x63=65.973445753x_{63} = 65.973445753
x64=78.5398168195x_{64} = -78.5398168195
x65=21.9911489073x_{65} = 21.9911489073
x66=91.1061865668x_{66} = 91.1061865668
x67=3.1415922549x_{67} = 3.1415922549
x68=78.5398152766x_{68} = 78.5398152766
x69=28.2743337069x_{69} = -28.2743337069
x70=3.14159295109x_{70} = -3.14159295109
x71=78.5398161805x_{71} = 78.5398161805
x72=40.84070498x_{72} = 40.84070498
x73=78.5398168562x_{73} = 78.5398168562
x74=53.4070754246x_{74} = 53.4070754246
x75=28.2743343712x_{75} = 28.2743343712
x76=53.407075295x_{76} = -53.407075295
x77=40.8407042062x_{77} = 40.8407042062
x78=40.8407040953x_{78} = -40.8407040953
x79=34.5575195449x_{79} = 34.5575195449
x80=97.3893724533x_{80} = -97.3893724533
x81=78.539814975x_{81} = 78.539814975
x82=9.42477748794x_{82} = 9.42477748794
x83=21.9911480932x_{83} = 21.9911480932
x84=40.8407045849x_{84} = 40.8407045849
x85=21.9911485852x_{85} = 21.9911485852
x86=47.1238902162x_{86} = 47.1238902162
x87=40.8407049291x_{87} = -40.8407049291
x88=59.6902600527x_{88} = 59.6902600527
x89=53.4070746419x_{89} = 53.4070746419
x90=28.2743338652x_{90} = 28.2743338652
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в cos(x/2)^2.
cos2(02)\cos^{2}{\left (\frac{0}{2} \right )}
Результат:
f(0)=1f{\left (0 \right )} = 1
Точка:
(0, 1)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
sin(x2)cos(x2)=0- \sin{\left (\frac{x}{2} \right )} \cos{\left (\frac{x}{2} \right )} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
x3=2πx_{3} = 2 \pi
x4=3πx_{4} = 3 \pi
Зн. экстремумы в точках:
(0, 1)

(pi, 0)

(2*pi, 1)

(3*pi, 0)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x4=πx_{4} = \pi
x4=3πx_{4} = 3 \pi
Максимумы функции в точках:
x4=0x_{4} = 0
x4=2πx_{4} = 2 \pi
Убывает на промежутках
[3*pi, oo)

Возрастает на промежутках
(-oo, pi] U [2*pi, 3*pi]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
12(sin2(x2)cos2(x2))=0\frac{1}{2} \left(\sin^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} - \cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=3π2x_{1} = - \frac{3 \pi}{2}
x2=π2x_{2} = - \frac{\pi}{2}
x3=π2x_{3} = \frac{\pi}{2}
x4=3π2x_{4} = \frac{3 \pi}{2}

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[-3*pi/2, -pi/2] U [pi/2, oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, -3*pi/2]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limxcos2(x2)=0,1\lim_{x \to -\infty} \cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} = \langle 0, 1\rangle
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=0,1y = \langle 0, 1\rangle
limxcos2(x2)=0,1\lim_{x \to \infty} \cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} = \langle 0, 1\rangle
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=0,1y = \langle 0, 1\rangle
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(x/2)^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(1xcos2(x2))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
limx(1xcos2(x2))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
cos2(x2)=cos2(x2)\cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} = \cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}
- Нет
cos2(x2)=cos2(x2)\cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} = - \cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной