График функции y = cos(x/3)

Вы ввели

          /x\
f(x) = cos|-|
          \3/

$$f{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\cos{\left(\frac{x}{3} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{9 \pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -80.1106126665397$$
$$x_{2} = -32.9867228626928$$
$$x_{3} = 61.261056745001$$
$$x_{4} = 23.5619449019235$$
$$x_{5} = -14.1371669411541$$
$$x_{6} = 80.1106126665397$$
$$x_{7} = -61.261056745001$$
$$x_{8} = -89.5353906273091$$
$$x_{9} = 5659.57916544201$$
$$x_{10} = 155.508836352695$$
$$x_{11} = 89.5353906273091$$
$$x_{12} = -51.8362787842316$$
$$x_{13} = -4.71238898038469$$
$$x_{14} = 2653.07499595658$$
$$x_{15} = 4.71238898038469$$
$$x_{16} = -23.5619449019235$$
$$x_{17} = 32.9867228626928$$
$$x_{18} = -70.6858347057703$$
$$x_{19} = 14.1371669411541$$
$$x_{20} = -42.4115008234622$$
$$x_{21} = -4867.89781673738$$
$$x_{22} = -98.9601685880785$$
$$x_{23} = 98.9601685880785$$
$$x_{24} = -249.756615960389$$
$$x_{25} = 70.6858347057703$$
$$x_{26} = 42.4115008234622$$
$$x_{27} = 51.8362787842316$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в cos(x/3).
$$\cos{\left(\frac{0}{3} \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{\sin{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3 \pi$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 1)

(3*pi, -1)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 3 \pi$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[3 \pi, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[0, 3 \pi\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- \frac{\cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}{9} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{9 \pi}{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\frac{3 \pi}{2}, \frac{9 \pi}{2}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{3 \pi}{2}\right] \cup \left[\frac{9 \pi}{2}, \infty\right)$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \cos{\left(\frac{x}{3} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \cos{\left(\frac{x}{3} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(x/3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\cos{\left(\frac{x}{3} \right)} = \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}$$
- Нет
$$\cos{\left(\frac{x}{3} \right)} = - \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График