График функции y = (cos(x/3))^3

Вы ввели

          3/x\
f(x) = cos |-|
           \3/

$$f{\left (x \right )} = \cos^{3}{\left (\frac{x}{3} \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\cos^{3}{\left (\frac{x}{3} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{9 \pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 98.9600168512$$
$$x_{2} = 89.535137068$$
$$x_{3} = 61.2612244813$$
$$x_{4} = 51.8363269616$$
$$x_{5} = -32.9868846456$$
$$x_{6} = -51.8362624534$$
$$x_{7} = 70.6857368292$$
$$x_{8} = -42.4113975169$$
$$x_{9} = 42.41167699$$
$$x_{10} = -14.1374163017$$
$$x_{11} = 32.9865660876$$
$$x_{12} = 14.1371424493$$
$$x_{13} = -14.1374703187$$
$$x_{14} = -80.1109311325$$
$$x_{15} = -98.9599604327$$
$$x_{16} = -98.9603353484$$
$$x_{17} = 14.1371748933$$
$$x_{18} = -80.110578254$$
$$x_{19} = -70.6856770285$$
$$x_{20} = 23.5616870544$$
$$x_{21} = -61.2611653193$$
$$x_{22} = -89.5350982228$$
$$x_{23} = 183.783038858$$
$$x_{24} = -70.6860510249$$
$$x_{25} = 80.1106034684$$
$$x_{26} = -80.1109197711$$
$$x_{27} = -32.9865100191$$
$$x_{28} = -4.71260065789$$
$$x_{29} = 23.562053677$$
$$x_{30} = 51.8359791838$$
$$x_{31} = 32.9869403583$$
$$x_{32} = 61.2608497438$$
$$x_{33} = -80.110843995$$
$$x_{34} = -51.8362607136$$
$$x_{35} = 42.4114613049$$
$$x_{36} = -23.561990402$$
$$x_{37} = 51.8361234061$$
$$x_{38} = -42.411762918$$
$$x_{39} = -23.5618668718$$
$$x_{40} = -61.2607976742$$
$$x_{41} = 193.208088497$$
$$x_{42} = 42.4118091398$$
$$x_{43} = 42.4117651527$$
$$x_{44} = 70.6857402896$$
$$x_{45} = -14.1374188771$$
$$x_{46} = -23.5616403106$$
$$x_{47} = 14.1372335126$$
$$x_{48} = 70.6861022302$$
$$x_{49} = 89.5355048192$$
$$x_{50} = 4.71228573713$$
$$x_{51} = 4.71265229922$$
$$x_{52} = -89.5354420105$$
$$x_{53} = 80.1106334618$$
$$x_{54} = 51.8360131942$$
$$x_{55} = -23.5616658105$$
$$x_{56} = -14.1371254893$$
$$x_{57} = -4.71222625626$$
$$x_{58} = -89.5353855039$$
$$x_{59} = -42.4112865913$$
$$x_{60} = 98.9603906991$$
$$x_{61} = 80.1105421191$$
$$x_{62} = -51.8361633665$$
$$x_{63} = 23.5620969948$$
$$x_{64} = -89.535089811$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в cos(x/3)^3.
$$\cos^{3}{\left (\frac{0}{3} \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \sin{\left (\frac{x}{3} \right )} \cos^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{3} = 3 \pi$$
$$x_{4} = \frac{9 \pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 1)

 3*pi    
(----, 0)
  2      

(3*pi, -1)

 9*pi    
(----, 0)
  2      

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{4} = 3 \pi$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{4} = 0$$
Убывает на промежутках

(-oo, 0] U [3*pi, oo)

Возрастает на промежутках

[0, 3*pi]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{3} \left(2 \sin^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )} - \cos^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )}\right) \cos{\left (\frac{x}{3} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{9 \pi}{2}$$
$$x_{3} = - 6 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{- 2 \sqrt{6} + 5} \right )}$$
$$x_{4} = 6 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{- 2 \sqrt{6} + 5} \right )}$$
$$x_{5} = - 6 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{2 \sqrt{6} + 5} \right )}$$
$$x_{6} = 6 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{2 \sqrt{6} + 5} \right )}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[9*pi/2, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, 6*atan(sqrt(-2*sqrt(6) + 5))] U [3*pi/2, 6*atan(sqrt(2*sqrt(6) + 5))]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \cos^{3}{\left (\frac{x}{3} \right )} = \langle -1, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -1, 1\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \cos^{3}{\left (\frac{x}{3} \right )} = \langle -1, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -1, 1\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(x/3)^3, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \cos^{3}{\left (\frac{x}{3} \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \cos^{3}{\left (\frac{x}{3} \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\cos^{3}{\left (\frac{x}{3} \right )} = \cos^{3}{\left (\frac{x}{3} \right )}$$
- Нет
$$\cos^{3}{\left (\frac{x}{3} \right )} = - \cos^{3}{\left (\frac{x}{3} \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной