График функции y = cos(x)/x

Вы ввели

       cos(x)
f(x) = ------
         x   

$$f{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{x}$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{\cos{\left(x \right)}}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -58.1194640914112$$
$$x_{2} = 36.1283155162826$$
$$x_{3} = -64.4026493985908$$
$$x_{4} = -89.5353906273091$$
$$x_{5} = -76.9690200129499$$
$$x_{6} = 51.8362787842316$$
$$x_{7} = 67.5442420521806$$
$$x_{8} = -10.9955742875643$$
$$x_{9} = -86.3937979737193$$
$$x_{10} = -422.544211907827$$
$$x_{11} = 32.9867228626928$$
$$x_{12} = 89.5353906273091$$
$$x_{13} = 64.4026493985908$$
$$x_{14} = 17.2787595947439$$
$$x_{15} = 70.6858347057703$$
$$x_{16} = -4.71238898038469$$
$$x_{17} = 23.5619449019235$$
$$x_{18} = 76.9690200129499$$
$$x_{19} = -61.261056745001$$
$$x_{20} = 86.3937979737193$$
$$x_{21} = 48.6946861306418$$
$$x_{22} = 73.8274273593601$$
$$x_{23} = 29.845130209103$$
$$x_{24} = -70.6858347057703$$
$$x_{25} = -7.85398163397448$$
$$x_{26} = -14.1371669411541$$
$$x_{27} = -73.8274273593601$$
$$x_{28} = -32.9867228626928$$
$$x_{29} = 1.5707963267949$$
$$x_{30} = -98.9601685880785$$
$$x_{31} = 347.145988221672$$
$$x_{32} = -42.4115008234622$$
$$x_{33} = -17.2787595947439$$
$$x_{34} = 4.71238898038469$$
$$x_{35} = 26.7035375555132$$
$$x_{36} = 83.2522053201295$$
$$x_{37} = 92.6769832808989$$
$$x_{38} = -51.8362787842316$$
$$x_{39} = 54.9778714378214$$
$$x_{40} = -20.4203522483337$$
$$x_{41} = 61.261056745001$$
$$x_{42} = 80.1106126665397$$
$$x_{43} = -92.6769832808989$$
$$x_{44} = -83.2522053201295$$
$$x_{45} = 98.9601685880785$$
$$x_{46} = 7.85398163397448$$
$$x_{47} = 42.4115008234622$$
$$x_{48} = -95.8185759344887$$
$$x_{49} = -1.5707963267949$$
$$x_{50} = -29.845130209103$$
$$x_{51} = 199.491133502952$$
$$x_{52} = -39.2699081698724$$
$$x_{53} = -23.5619449019235$$
$$x_{54} = 1173.38485611579$$
$$x_{55} = 20.4203522483337$$
$$x_{56} = -54.9778714378214$$
$$x_{57} = 58.1194640914112$$
$$x_{58} = -48.6946861306418$$
$$x_{59} = -36.1283155162826$$
$$x_{60} = 95.8185759344887$$
$$x_{61} = 10.9955742875643$$
$$x_{62} = 39.2699081698724$$
$$x_{63} = -80.1106126665397$$
$$x_{64} = 45.553093477052$$
$$x_{65} = -26.7035375555132$$
$$x_{66} = -45.553093477052$$
$$x_{67} = 14.1371669411541$$
$$x_{68} = -67.5442420521806$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в cos(x)/x.
$$\frac{\cos{\left(0 \right)}}{0}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{\sin{\left(x \right)}}{x} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -65.9582857893902$$
$$x_{2} = 21.945612879981$$
$$x_{3} = 100.521017074687$$
$$x_{4} = 47.1026627703624$$
$$x_{5} = -109.946647805931$$
$$x_{6} = -50.2455828375744$$
$$x_{7} = 25.0929104121121$$
$$x_{8} = 56.5309801938186$$
$$x_{9} = -59.6735041304405$$
$$x_{10} = 69.100567727981$$
$$x_{11} = 65.9582857893902$$
$$x_{12} = -78.5270825679419$$
$$x_{13} = -47.1026627703624$$
$$x_{14} = 197.91528455229$$
$$x_{15} = -72.2427897046973$$
$$x_{16} = 6.12125046689807$$
$$x_{17} = 2.79838604578389$$
$$x_{18} = -69.100567727981$$
$$x_{19} = -18.7964043662102$$
$$x_{20} = 97.3791034786112$$
$$x_{21} = -135.08108127842$$
$$x_{22} = 84.811211299318$$
$$x_{23} = -6.12125046689807$$
$$x_{24} = -34.5285657554621$$
$$x_{25} = 78.5270825679419$$
$$x_{26} = -2.79838604578389$$
$$x_{27} = 72.2427897046973$$
$$x_{28} = -43.9595528888955$$
$$x_{29} = 31.3840740178899$$
$$x_{30} = -75.3849592185347$$
$$x_{31} = 50.2455828375744$$
$$x_{32} = 9.31786646179107$$
$$x_{33} = 43.9595528888955$$
$$x_{34} = 91.0952098694071$$
$$x_{35} = 53.3883466217256$$
$$x_{36} = -81.6691650818489$$
$$x_{37} = -28.2389365752603$$
$$x_{38} = -53.3883466217256$$
$$x_{39} = 87.9532251106725$$
$$x_{40} = 37.672573565113$$
$$x_{41} = -12.4864543952238$$
$$x_{42} = -84.811211299318$$
$$x_{43} = -87.9532251106725$$
$$x_{44} = 81.6691650818489$$
$$x_{45} = 28.2389365752603$$
$$x_{46} = 59.6735041304405$$
$$x_{47} = 34.5285657554621$$
$$x_{48} = -31.3840740178899$$
$$x_{49} = 40.8162093266346$$
$$x_{50} = 75.3849592185347$$
$$x_{51} = -94.2371684817036$$
$$x_{52} = -56.5309801938186$$
$$x_{53} = -169.640108529775$$
$$x_{54} = 15.644128370333$$
$$x_{55} = -40.8162093266346$$
$$x_{56} = -97.3791034786112$$
$$x_{57} = 94.2371684817036$$
$$x_{58} = -100.521017074687$$
$$x_{59} = -91.0952098694071$$
$$x_{60} = -9.31786646179107$$
$$x_{61} = 18.7964043662102$$
$$x_{62} = -37.672573565113$$
$$x_{63} = -21.945612879981$$
$$x_{64} = -15.644128370333$$
$$x_{65} = -25.0929104121121$$
$$x_{66} = 62.8159348889734$$
$$x_{67} = -62.8159348889734$$
$$x_{68} = 12.4864543952238$$
Зн. экстремумы в точках:

(-65.9582857893902, 0.0151593553168405)

(21.945612879981, -0.0455199604051285)

(100.521017074687, 0.00994767611536293)

(47.1026627703624, -0.0212254394164143)

(-109.946647805931, 0.00909494432157336)

(-50.2455828375744, -0.0198983065303553)

(25.0929104121121, 0.0398202855500511)

(56.5309801938186, 0.0176866485521696)

(-59.6735041304405, 0.0167555036571887)

(69.100567727981, 0.0144701459746764)

(65.9582857893902, -0.0151593553168405)

(-78.5270825679419, 0.0127334276777468)

(-47.1026627703624, 0.0212254394164143)

(197.91528455229, -0.00505260236866135)

(-72.2427897046973, 0.0138408859131547)

(6.12125046689807, 0.161228034325064)

(2.79838604578389, -0.336508416918395)

(-69.100567727981, -0.0144701459746764)

(-18.7964043662102, -0.0531265325613881)

(97.3791034786112, -0.0102686022030809)

(-135.08108127842, 0.00740275832666827)

(84.811211299318, -0.0117900744410766)

(-6.12125046689807, -0.161228034325064)

(-34.5285657554621, 0.0289493889114503)

(78.5270825679419, -0.0127334276777468)

(-2.79838604578389, 0.336508416918395)

(72.2427897046973, -0.0138408859131547)

(-43.9595528888955, -0.0227423004725314)

(31.3840740178899, 0.0318471321112693)

(-75.3849592185347, -0.0132640786518247)

(50.2455828375744, 0.0198983065303553)

(9.31786646179107, -0.106707947715237)

(43.9595528888955, 0.0227423004725314)

(91.0952098694071, -0.0109768642483425)

(53.3883466217256, -0.0187273944640866)

(-81.6691650818489, -0.0122436055670467)

(-28.2389365752603, 0.0353899155541688)

(-53.3883466217256, 0.0187273944640866)

(87.9532251106725, 0.0113689449158811)

(37.672573565113, 0.0265351630103045)

(-12.4864543952238, -0.0798311807800032)

(-84.811211299318, 0.0117900744410766)

(-87.9532251106725, -0.0113689449158811)

(81.6691650818489, 0.0122436055670467)

(28.2389365752603, -0.0353899155541688)

(59.6735041304405, -0.0167555036571887)

(34.5285657554621, -0.0289493889114503)

(-31.3840740178899, -0.0318471321112693)

(40.8162093266346, -0.0244927205346957)

(75.3849592185347, 0.0132640786518247)

(-94.2371684817036, -0.01061092686295)

(-56.5309801938186, -0.0176866485521696)

(-169.640108529775, -0.00589472993500857)

(15.644128370333, -0.0637915530395936)

(-40.8162093266346, 0.0244927205346957)

(-97.3791034786112, 0.0102686022030809)

(94.2371684817036, 0.01061092686295)

(-100.521017074687, -0.00994767611536293)

(-91.0952098694071, 0.0109768642483425)

(-9.31786646179107, 0.106707947715237)

(18.7964043662102, 0.0531265325613881)

(-37.672573565113, -0.0265351630103045)

(-21.945612879981, 0.0455199604051285)

(-15.644128370333, 0.0637915530395936)

(-25.0929104121121, -0.0398202855500511)

(62.8159348889734, 0.015917510583426)

(-62.8159348889734, -0.015917510583426)

(12.4864543952238, 0.0798311807800032)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 21.945612879981$$
$$x_{2} = 47.1026627703624$$
$$x_{3} = -50.2455828375744$$
$$x_{4} = 65.9582857893902$$
$$x_{5} = 197.91528455229$$
$$x_{6} = 2.79838604578389$$
$$x_{7} = -69.100567727981$$
$$x_{8} = -18.7964043662102$$
$$x_{9} = 97.3791034786112$$
$$x_{10} = 84.811211299318$$
$$x_{11} = -6.12125046689807$$
$$x_{12} = 78.5270825679419$$
$$x_{13} = 72.2427897046973$$
$$x_{14} = -43.9595528888955$$
$$x_{15} = -75.3849592185347$$
$$x_{16} = 9.31786646179107$$
$$x_{17} = 91.0952098694071$$
$$x_{18} = 53.3883466217256$$
$$x_{19} = -81.6691650818489$$
$$x_{20} = -12.4864543952238$$
$$x_{21} = -87.9532251106725$$
$$x_{22} = 28.2389365752603$$
$$x_{23} = 59.6735041304405$$
$$x_{24} = 34.5285657554621$$
$$x_{25} = -31.3840740178899$$
$$x_{26} = 40.8162093266346$$
$$x_{27} = -94.2371684817036$$
$$x_{28} = -56.5309801938186$$
$$x_{29} = -169.640108529775$$
$$x_{30} = 15.644128370333$$
$$x_{31} = -100.521017074687$$
$$x_{32} = -37.672573565113$$
$$x_{33} = -25.0929104121121$$
$$x_{34} = -62.8159348889734$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{34} = -65.9582857893902$$
$$x_{34} = 100.521017074687$$
$$x_{34} = -109.946647805931$$
$$x_{34} = 25.0929104121121$$
$$x_{34} = 56.5309801938186$$
$$x_{34} = -59.6735041304405$$
$$x_{34} = 69.100567727981$$
$$x_{34} = -78.5270825679419$$
$$x_{34} = -47.1026627703624$$
$$x_{34} = -72.2427897046973$$
$$x_{34} = 6.12125046689807$$
$$x_{34} = -135.08108127842$$
$$x_{34} = -34.5285657554621$$
$$x_{34} = -2.79838604578389$$
$$x_{34} = 31.3840740178899$$
$$x_{34} = 50.2455828375744$$
$$x_{34} = 43.9595528888955$$
$$x_{34} = -28.2389365752603$$
$$x_{34} = -53.3883466217256$$
$$x_{34} = 87.9532251106725$$
$$x_{34} = 37.672573565113$$
$$x_{34} = -84.811211299318$$
$$x_{34} = 81.6691650818489$$
$$x_{34} = 75.3849592185347$$
$$x_{34} = -40.8162093266346$$
$$x_{34} = -97.3791034786112$$
$$x_{34} = 94.2371684817036$$
$$x_{34} = -91.0952098694071$$
$$x_{34} = -9.31786646179107$$
$$x_{34} = 18.7964043662102$$
$$x_{34} = -21.945612879981$$
$$x_{34} = -15.644128370333$$
$$x_{34} = 62.8159348889734$$
$$x_{34} = 12.4864543952238$$
Убывает на промежутках
$$\left[197.91528455229, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -169.640108529775\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{- \cos{\left(x \right)} + \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{x} + \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -89.5130456566371$$
$$x_{2} = -80.0856368040887$$
$$x_{3} = -45.5091321154553$$
$$x_{4} = 48.6535676048409$$
$$x_{5} = 86.370639887736$$
$$x_{6} = 70.6575253785884$$
$$x_{7} = -92.655396245836$$
$$x_{8} = 17.1619600917303$$
$$x_{9} = 13.9937625671267$$
$$x_{10} = -36.0728437679879$$
$$x_{11} = 54.9414610202918$$
$$x_{12} = -83.2281726832512$$
$$x_{13} = 76.9430238267933$$
$$x_{14} = -39.218890250481$$
$$x_{15} = -98.9399529307048$$
$$x_{16} = -7.5873993379941$$
$$x_{17} = -32.9259431758392$$
$$x_{18} = -95.7976970894915$$
$$x_{19} = -73.8003238908837$$
$$x_{20} = -58.085025007445$$
$$x_{21} = 58.085025007445$$
$$x_{22} = -86.370639887736$$
$$x_{23} = 45.5091321154553$$
$$x_{24} = 4.2222763997912$$
$$x_{25} = 39.218890250481$$
$$x_{26} = 67.5146145048817$$
$$x_{27} = -70.6575253785884$$
$$x_{28} = -4.2222763997912$$
$$x_{29} = -61.2283863503723$$
$$x_{30} = 89.5130456566371$$
$$x_{31} = 64.3715747870554$$
$$x_{32} = -271.740404503579$$
$$x_{33} = -29.7779159141436$$
$$x_{34} = 73.8003238908837$$
$$x_{35} = 26.6283591640252$$
$$x_{36} = 230.898398112111$$
$$x_{37} = 83.2281726832512$$
$$x_{38} = 36.0728437679879$$
$$x_{39} = -76.9430238267933$$
$$x_{40} = 98.9399529307048$$
$$x_{41} = 42.3642737086586$$
$$x_{42} = 51.7976574095537$$
$$x_{43} = -13.9937625671267$$
$$x_{44} = -48.6535676048409$$
$$x_{45} = -26.6283591640252$$
$$x_{46} = -42.3642737086586$$
$$x_{47} = 95.7976970894915$$
$$x_{48} = 20.3217772482235$$
$$x_{49} = -64.3715747870554$$
$$x_{50} = 92.655396245836$$
$$x_{51} = 32.9259431758392$$
$$x_{52} = 23.4766510546492$$
$$x_{53} = -23.4766510546492$$
$$x_{54} = 10.8095072981602$$
$$x_{55} = -51.7976574095537$$
$$x_{56} = -54.9414610202918$$
$$x_{57} = -10.8095072981602$$
$$x_{58} = -67.5146145048817$$
$$x_{59} = -17.1619600917303$$
$$x_{60} = 7.5873993379941$$
$$x_{61} = 61.2283863503723$$
$$x_{62} = 29.7779159141436$$
$$x_{63} = 80.0856368040887$$
$$x_{64} = -20.3217772482235$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- \cos{\left(x \right)} + \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{x} + \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \cos{\left(x \right)} + \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{x} + \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{x^{2}}}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 0$$
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[95.7976970894915, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, -271.740404503579\right]$$

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 0$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(x)/x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{\cos{\left(x \right)}}{x} = - \frac{\cos{\left(x \right)}}{x}$$
- Нет
$$\frac{\cos{\left(x \right)}}{x} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График