График функции y = cos(x-pi/4)

Вы ввели

          /    pi\
f(x) = cos|x - --|
          \    4 /

$$f{\left(x \right)} = \cos{\left(x - \frac{\pi}{4} \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\cos{\left(x - \frac{\pi}{4} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{4}$$
Численное решение
$$x_{1} = 62.0464549083984$$
$$x_{2} = -32.2013246992954$$
$$x_{3} = 24.3473430653209$$
$$x_{4} = -76.1836218495525$$
$$x_{5} = -82.4668071567321$$
$$x_{6} = 49.4800842940392$$
$$x_{7} = 2.35619449019234$$
$$x_{8} = -16.4933614313464$$
$$x_{9} = 55.7632696012188$$
$$x_{10} = 11.7809724509617$$
$$x_{11} = -85.6083998103219$$
$$x_{12} = -95.0331777710912$$
$$x_{13} = 68.329640215578$$
$$x_{14} = -10.2101761241668$$
$$x_{15} = -54.1924732744239$$
$$x_{16} = -38.484510006475$$
$$x_{17} = -44.7676953136546$$
$$x_{18} = 1745.94011723253$$
$$x_{19} = -79.3252145031423$$
$$x_{20} = -29.0597320457056$$
$$x_{21} = -3.92699081698724$$
$$x_{22} = 71.4712328691678$$
$$x_{23} = -63.6172512351933$$
$$x_{24} = 391.913683535327$$
$$x_{25} = 90.3207887907066$$
$$x_{26} = 21.2057504117311$$
$$x_{27} = -0.785398163397448$$
$$x_{28} = 52.621676947629$$
$$x_{29} = 18.0641577581413$$
$$x_{30} = 58.9048622548086$$
$$x_{31} = 30.6305283725005$$
$$x_{32} = 77.7544181763474$$
$$x_{33} = 46.3384916404494$$
$$x_{34} = -13.3517687777566$$
$$x_{35} = 27.4889357189107$$
$$x_{36} = 40.0553063332699$$
$$x_{37} = -7.06858347057703$$
$$x_{38} = -73.0420291959627$$
$$x_{39} = -25.9181393921158$$
$$x_{40} = 87.1791961371168$$
$$x_{41} = 99.7455667514759$$
$$x_{42} = -66.7588438887831$$
$$x_{43} = -88.7499924639117$$
$$x_{44} = -60.4756585816035$$
$$x_{45} = 5.49778714378214$$
$$x_{46} = -69.9004365423729$$
$$x_{47} = -98.174770424681$$
$$x_{48} = -51.0508806208341$$
$$x_{49} = -57.3340659280137$$
$$x_{50} = 33.7721210260903$$
$$x_{51} = -91.8915851175014$$
$$x_{52} = 65.1880475619882$$
$$x_{53} = 74.6128255227576$$
$$x_{54} = 8.63937979737193$$
$$x_{55} = 14.9225651045515$$
$$x_{56} = -41.6261026600648$$
$$x_{57} = 43.1968989868597$$
$$x_{58} = -107.59954838545$$
$$x_{59} = -35.3429173528852$$
$$x_{60} = -19.6349540849362$$
$$x_{61} = 96.6039740978861$$
$$x_{62} = 36.9137136796801$$
$$x_{63} = -47.9092879672443$$
$$x_{64} = -22.776546738526$$
$$x_{65} = 80.8960108299372$$
$$x_{66} = 84.037603483527$$
$$x_{67} = 93.4623814442964$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в cos(x - pi/4).
$$\cos{\left(- \frac{\pi}{4} + 0 \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Точка:

(0, sqrt(2)/2)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$- \sin{\left(x - \frac{\pi}{4} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{4}$$
Зн. экстремумы в точках:

 pi     /pi   pi\ 
(--, cos|-- - --|)
 4      \4    4 / 

 5*pi     
(----, -1)
  4       

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{5 \pi}{4}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{5 \pi}{4}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$- \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{4}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{4}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- \frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \cos{\left(x - \frac{\pi}{4} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \cos{\left(x - \frac{\pi}{4} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(x - pi/4), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x - \frac{\pi}{4} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x - \frac{\pi}{4} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\cos{\left(x - \frac{\pi}{4} \right)} = \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$$
- Нет
$$\cos{\left(x - \frac{\pi}{4} \right)} = - \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График