График функции y = cos((x-pi)/4)

Вы ввели

          /x - pi\
f(x) = cos|------|
          \  4   /

$$f{\left (x \right )} = \cos{\left (\frac{1}{4} \left(x - \pi\right) \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\cos{\left (\frac{1}{4} \left(x - \pi\right) \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \pi$$
$$x_{2} = 3 \pi$$
Численное решение
$$x_{1} = -65.9734457254$$
$$x_{2} = 84.8230016469$$
$$x_{3} = -3.14159265359$$
$$x_{4} = -53.407075111$$
$$x_{5} = 97.3893722613$$
$$x_{6} = -103.672557568$$
$$x_{7} = 9.42477796077$$
$$x_{8} = -128.805298797$$
$$x_{9} = 72.2566310326$$
$$x_{10} = 109.955742876$$
$$x_{11} = 197.920337176$$
$$x_{12} = 14875.4412147$$
$$x_{13} = -78.5398163397$$
$$x_{14} = 59.6902604182$$
$$x_{15} = -204.203522483$$
$$x_{16} = 34.5575191895$$
$$x_{17} = 21.9911485751$$
$$x_{18} = 47.1238898038$$
$$x_{19} = -91.1061869541$$
$$x_{20} = -40.8407044967$$
$$x_{21} = -15.7079632679$$
$$x_{22} = -28.2743338823$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в cos((x - pi)/4).
$$\cos{\left (\frac{-1 \pi}{4} \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Точка:

(0, sqrt(2)/2)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- \frac{1}{4} \sin{\left (\frac{1}{4} \left(x - \pi\right) \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \pi$$
$$x_{2} = 5 \pi$$
Зн. экстремумы в точках:

(pi, 1)

(5*pi, -1)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 5 \pi$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = \pi$$
Убывает на промежутках

(-oo, pi] U [5*pi, oo)

Возрастает на промежутках

[pi, 5*pi]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- \frac{1}{16} \sin{\left (\frac{1}{4} \left(x + \pi\right) \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \pi$$
$$x_{2} = 3 \pi$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, -pi] U [3*pi, oo)

Выпуклая на промежутках

[-pi, 3*pi]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \cos{\left (\frac{1}{4} \left(x - \pi\right) \right )} = \langle -1, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -1, 1\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \cos{\left (\frac{1}{4} \left(x - \pi\right) \right )} = \langle -1, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -1, 1\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos((x - pi)/4), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \cos{\left (\frac{1}{4} \left(x - \pi\right) \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \cos{\left (\frac{1}{4} \left(x - \pi\right) \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\cos{\left (\frac{1}{4} \left(x - \pi\right) \right )} = \cos{\left (\frac{x}{4} + \frac{\pi}{4} \right )}$$
- Нет
$$\cos{\left (\frac{1}{4} \left(x - \pi\right) \right )} = - \cos{\left (\frac{x}{4} + \frac{\pi}{4} \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной