График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в cos((x - pi)/4). cos(4−1π) Результат: f(0)=22 Точка:
(0, sqrt(2)/2)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение dxdf(x)=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: dxdf(x)= Первая производная −41sin(41(x−π))=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=π x2=5π Зн. экстремумы в точках:
(pi, 1)
(5*pi, -1)
Интервалы возрастания и убывания функции: Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума: Минимумы функции в точках: x2=5π Максимумы функции в точках: x2=π Убывает на промежутках
(-oo, pi] U [5*pi, oo)
Возрастает на промежутках
[pi, 5*pi]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение dx2d2f(x)=0 (вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: dx2d2f(x)= Вторая производная −161sin(41(x+π))=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=−π x2=3π
Интервалы выпуклости и вогнутости: Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов: Вогнутая на промежутках
(-oo, -pi] U [3*pi, oo)
Выпуклая на промежутках
[-pi, 3*pi]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo x→−∞limcos(41(x−π))=⟨−1,1⟩ Возьмём предел значит, уравнение горизонтальной асимптоты слева: y=⟨−1,1⟩ x→∞limcos(41(x−π))=⟨−1,1⟩ Возьмём предел значит, уравнение горизонтальной асимптоты справа: y=⟨−1,1⟩
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos((x - pi)/4), делённой на x при x->+oo и x ->-oo x→−∞lim(x1cos(41(x−π)))=0 Возьмём предел значит, наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа x→∞lim(x1cos(41(x−π)))=0 Возьмём предел значит, наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: cos(41(x−π))=cos(4x+4π) - Нет cos(41(x−π))=−cos(4x+4π) - Нет значит, функция не является ни чётной ни нечётной