График функции y = cos((x-pi)/4)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
          /x - pi\
f(x) = cos|------|
          \  4   /
f(x)=cos(14(xπ))f{\left (x \right )} = \cos{\left (\frac{1}{4} \left(x - \pi\right) \right )}
График функции
0-100000-80000-60000-40000-20000200004000060000800001000001200002-2
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
cos(14(xπ))=0\cos{\left (\frac{1}{4} \left(x - \pi\right) \right )} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=πx_{1} = - \pi
x2=3πx_{2} = 3 \pi
Численное решение
x1=65.9734457254x_{1} = -65.9734457254
x2=84.8230016469x_{2} = 84.8230016469
x3=3.14159265359x_{3} = -3.14159265359
x4=53.407075111x_{4} = -53.407075111
x5=97.3893722613x_{5} = 97.3893722613
x6=103.672557568x_{6} = -103.672557568
x7=9.42477796077x_{7} = 9.42477796077
x8=128.805298797x_{8} = -128.805298797
x9=72.2566310326x_{9} = 72.2566310326
x10=109.955742876x_{10} = 109.955742876
x11=197.920337176x_{11} = 197.920337176
x12=14875.4412147x_{12} = 14875.4412147
x13=78.5398163397x_{13} = -78.5398163397
x14=59.6902604182x_{14} = 59.6902604182
x15=204.203522483x_{15} = -204.203522483
x16=34.5575191895x_{16} = 34.5575191895
x17=21.9911485751x_{17} = 21.9911485751
x18=47.1238898038x_{18} = 47.1238898038
x19=91.1061869541x_{19} = -91.1061869541
x20=40.8407044967x_{20} = -40.8407044967
x21=15.7079632679x_{21} = -15.7079632679
x22=28.2743338823x_{22} = -28.2743338823
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в cos((x - pi)/4).
cos(1π4)\cos{\left (\frac{-1 \pi}{4} \right )}
Результат:
f(0)=22f{\left (0 \right )} = \frac{\sqrt{2}}{2}
Точка:
(0, sqrt(2)/2)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
14sin(14(xπ))=0- \frac{1}{4} \sin{\left (\frac{1}{4} \left(x - \pi\right) \right )} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=πx_{1} = \pi
x2=5πx_{2} = 5 \pi
Зн. экстремумы в точках:
(pi, 1)

(5*pi, -1)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x2=5πx_{2} = 5 \pi
Максимумы функции в точках:
x2=πx_{2} = \pi
Убывает на промежутках
(-oo, pi] U [5*pi, oo)

Возрастает на промежутках
[pi, 5*pi]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
116sin(14(x+π))=0- \frac{1}{16} \sin{\left (\frac{1}{4} \left(x + \pi\right) \right )} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=πx_{1} = - \pi
x2=3πx_{2} = 3 \pi

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(-oo, -pi] U [3*pi, oo)

Выпуклая на промежутках
[-pi, 3*pi]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limxcos(14(xπ))=1,1\lim_{x \to -\infty} \cos{\left (\frac{1}{4} \left(x - \pi\right) \right )} = \langle -1, 1\rangle
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=1,1y = \langle -1, 1\rangle
limxcos(14(xπ))=1,1\lim_{x \to \infty} \cos{\left (\frac{1}{4} \left(x - \pi\right) \right )} = \langle -1, 1\rangle
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=1,1y = \langle -1, 1\rangle
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos((x - pi)/4), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(1xcos(14(xπ)))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \cos{\left (\frac{1}{4} \left(x - \pi\right) \right )}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
limx(1xcos(14(xπ)))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \cos{\left (\frac{1}{4} \left(x - \pi\right) \right )}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
cos(14(xπ))=cos(x4+π4)\cos{\left (\frac{1}{4} \left(x - \pi\right) \right )} = \cos{\left (\frac{x}{4} + \frac{\pi}{4} \right )}
- Нет
cos(14(xπ))=cos(x4+π4)\cos{\left (\frac{1}{4} \left(x - \pi\right) \right )} = - \cos{\left (\frac{x}{4} + \frac{\pi}{4} \right )}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной