График функции y = cos(x)-cos(x)^(2)

Вы ввели

                   2   
f(x) = cos(x) - cos (x)

$$f{\left (x \right )} = - \cos^{2}{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- \cos^{2}{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{4} = 2 \pi$$
Численное решение
$$x_{1} = 39.2699081699$$
$$x_{2} = -95.8185759345$$
$$x_{3} = 50.2654824464$$
$$x_{4} = 76.9690200129$$
$$x_{5} = -32.9867228627$$
$$x_{6} = -75.3982238479$$
$$x_{7} = 37.699112006$$
$$x_{8} = 36.1283155163$$
$$x_{9} = -92.6769832809$$
$$x_{10} = 80.1106126665$$
$$x_{11} = -81.6814090378$$
$$x_{12} = 10.9955742876$$
$$x_{13} = 23.5619449019$$
$$x_{14} = 51.8362787842$$
$$x_{15} = -12.566370447$$
$$x_{16} = -94.2477794613$$
$$x_{17} = 14.1371669412$$
$$x_{18} = 43.9822971694$$
$$x_{19} = -69.1150384972$$
$$x_{20} = 12.5663704623$$
$$x_{21} = -7.85398163397$$
$$x_{22} = -76.9690200129$$
$$x_{23} = 89.5353906273$$
$$x_{24} = -23.5619449019$$
$$x_{25} = 48.6946861306$$
$$x_{26} = 29.8451302091$$
$$x_{27} = 42.4115008235$$
$$x_{28} = -54.9778714378$$
$$x_{29} = -6.28318514935$$
$$x_{30} = -56.5486675908$$
$$x_{31} = 45.5530934771$$
$$x_{32} = -70.6858347058$$
$$x_{33} = 81.6814091609$$
$$x_{34} = -50.2654823051$$
$$x_{35} = -87.9645943589$$
$$x_{36} = 100.530964774$$
$$x_{37} = -80.1106126665$$
$$x_{38} = -58.1194640914$$
$$x_{39} = 75.3982238342$$
$$x_{40} = 18.8495557729$$
$$x_{41} = 32.9867228627$$
$$x_{42} = 64.4026493986$$
$$x_{43} = -26.7035375555$$
$$x_{44} = -83.2522053201$$
$$x_{45} = 26.7035375555$$
$$x_{46} = 69.1150379837$$
$$x_{47} = -37.699111877$$
$$x_{48} = 62.8318529132$$
$$x_{49} = -67.5442420522$$
$$x_{50} = -86.3937979737$$
$$x_{51} = 25.1327418086$$
$$x_{52} = -1.57079632679$$
$$x_{53} = 0$$
$$x_{54} = -389.557489135$$
$$x_{55} = 87.9645943356$$
$$x_{56} = 86.3937979737$$
$$x_{57} = -17.2787595947$$
$$x_{58} = -10.9955742876$$
$$x_{59} = -48.6946861306$$
$$x_{60} = -45.5530934771$$
$$x_{61} = 4.71238898038$$
$$x_{62} = 7.85398163397$$
$$x_{63} = -39.2699081699$$
$$x_{64} = -73.8274273594$$
$$x_{65} = -14.1371669412$$
$$x_{66} = -98.9601685881$$
$$x_{67} = 98.9601685881$$
$$x_{68} = -100.530964736$$
$$x_{69} = 25.1327408584$$
$$x_{70} = 20.4203522483$$
$$x_{71} = -29.8451302091$$
$$x_{72} = 94.2477796094$$
$$x_{73} = 61.261056745$$
$$x_{74} = 56.548667618$$
$$x_{75} = -89.5353906273$$
$$x_{76} = -4.71238898038$$
$$x_{77} = -43.9822971746$$
$$x_{78} = 17.2787595947$$
$$x_{79} = -42.4115008235$$
$$x_{80} = 58.1194640914$$
$$x_{81} = 31.4159266949$$
$$x_{82} = 95.8185759345$$
$$x_{83} = -36.1283155163$$
$$x_{84} = 73.8274273594$$
$$x_{85} = -18.849556241$$
$$x_{86} = 83.2522053201$$
$$x_{87} = -31.415926693$$
$$x_{88} = -62.8318534973$$
$$x_{89} = 54.9778714378$$
$$x_{90} = -51.8362787842$$
$$x_{91} = 92.6769832809$$
$$x_{92} = -20.4203522483$$
$$x_{93} = -25.1327413642$$
$$x_{94} = 6.2831852843$$
$$x_{95} = 70.6858347058$$
$$x_{96} = 69.1150385134$$
$$x_{97} = 1.57079632679$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в cos(x) - cos(x)^2.
$$- \cos^{2}{\left (0 \right )} + \cos{\left (0 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =$$
Первая производная
$$2 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} - \sin{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 0)

 -pi       
(----, 1/4)
  3        

 pi      
(--, 1/4)
 3       

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{3} = 0$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{3} = - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{3}$$
Убывает на промежутках

(-oo, -pi/3] U [0, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, 0] U [pi/3, oo)

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =$$
Вторая производная
$$- 2 \sin^{2}{\left (x \right )} + 2 \cos^{2}{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{- \sqrt{33} + 6} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{- \sqrt{33} + 6} \right )}$$
$$x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{\sqrt{33} + 6} \right )}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{\sqrt{33} + 6} \right )}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[2*atan(sqrt(3)*sqrt(sqrt(33) + 6)/3), oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -2*atan(sqrt(3)*sqrt(-sqrt(33) + 6)/3)] U [2*atan(sqrt(3)*sqrt(-sqrt(33) + 6)/3), 2*atan(sqrt(3)*sqrt(sqrt(33) + 6)/3)]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \cos^{2}{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right) = \langle -2, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -2, 1\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \cos^{2}{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right) = \langle -2, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -2, 1\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(x) - cos(x)^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- \cos^{2}{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- \cos^{2}{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- \cos^{2}{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} = - \cos^{2}{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}$$
- Да
$$- \cos^{2}{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} = - -1 \cos^{2}{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной