График функции y = cos(x)-1

Вы ввели

f(x) = cos(x) - 1

$$f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} - 1$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\cos{\left(x \right)} - 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2 \pi$$
Численное решение
$$x_{1} = 25.1327416384075$$
$$x_{2} = 12.5663704426592$$
$$x_{3} = 43.9822966661001$$
$$x_{4} = 50.2654821322586$$
$$x_{5} = -37.6991121287155$$
$$x_{6} = -43.9822967932182$$
$$x_{7} = -31.4159260507536$$
$$x_{8} = -81.6814090382277$$
$$x_{9} = 75.3982232188727$$
$$x_{10} = 56.5486680806249$$
$$x_{11} = 81.6814091897036$$
$$x_{12} = -18.8495555173448$$
$$x_{13} = -6.2831851275477$$
$$x_{14} = -56.5486682426592$$
$$x_{15} = 50.2654824463392$$
$$x_{16} = -62.8318534787248$$
$$x_{17} = -81.6814075578313$$
$$x_{18} = -25.1327407505866$$
$$x_{19} = 100.530964759815$$
$$x_{20} = -94.2477797298079$$
$$x_{21} = -43.9822976246252$$
$$x_{22} = 31.4159268459961$$
$$x_{23} = 81.6814084860076$$
$$x_{24} = -87.9645943586158$$
$$x_{25} = -12.5663710889626$$
$$x_{26} = 62.8318527849002$$
$$x_{27} = 37.6991120311338$$
$$x_{28} = 56.5486682809363$$
$$x_{29} = -69.1150386869085$$
$$x_{30} = 69.115038794053$$
$$x_{31} = 12.5663711301703$$
$$x_{32} = -18.8495552124105$$
$$x_{33} = -81.6814084945807$$
$$x_{34} = -50.2654822863493$$
$$x_{35} = -43.9822971745392$$
$$x_{36} = 87.964594335905$$
$$x_{37} = 56.5486676011951$$
$$x_{38} = 75.3982240031607$$
$$x_{39} = 87.9645938121814$$
$$x_{40} = -37.6991113479743$$
$$x_{41} = 31.4159260648825$$
$$x_{42} = 37.6991115173992$$
$$x_{43} = -12.5663703112531$$
$$x_{44} = -56.5486674685864$$
$$x_{45} = -75.3982238741744$$
$$x_{46} = 18.8495564031971$$
$$x_{47} = -50.265482641087$$
$$x_{48} = 37.6991113348642$$
$$x_{49} = -75.3982231045728$$
$$x_{50} = 81.6814085860518$$
$$x_{51} = -94.2477794452815$$
$$x_{52} = -18.8495563230046$$
$$x_{53} = 12.5663710110881$$
$$x_{54} = -100.530964626003$$
$$x_{55} = 6.28318626747926$$
$$x_{56} = 94.2477792651059$$
$$x_{57} = 62.8318535568358$$
$$x_{58} = -31.4159267157965$$
$$x_{59} = 25.1327408328211$$
$$x_{60} = 18.8495556275525$$
$$x_{61} = -31.4159260208155$$
$$x_{62} = -87.9645947692094$$
$$x_{63} = 56.5486668532011$$
$$x_{64} = 50.2654829439723$$
$$x_{65} = 6.28318579821791$$
$$x_{66} = -94.2477801171671$$
$$x_{67} = 43.9822974733639$$
$$x_{68} = -81.6814092565354$$
$$x_{69} = -25.1327415297174$$
$$x_{70} = 94.2477796093523$$
$$x_{71} = 43.9822971694647$$
$$x_{72} = -37.6991118772631$$
$$x_{73} = -6.28318555849548$$
$$x_{74} = 0$$
$$x_{75} = -75.3982231720141$$
$$x_{76} = 87.9645946044253$$
$$x_{77} = -50.2654829667315$$
$$x_{78} = -87.964593928489$$
$$x_{79} = 6.28318500093652$$
$$x_{80} = 69.1150379887504$$
$$x_{81} = -69.1150379045123$$
$$x_{82} = 94.2477800892631$$
$$x_{83} = -62.831852673202$$
$$x_{84} = -6.2831858160515$$
$$x_{85} = 6.28318528420851$$
$$x_{86} = 100.530965157364$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в cos(x) - 1*1.
$$\left(-1\right) 1 + \cos{\left(0 \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \sin{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 1 - 1)

(pi, -1 - 1)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \pi$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[0, \pi\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\cos{\left(x \right)} - 1\right) = \left\langle -2, 0\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -2, 0\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\cos{\left(x \right)} - 1\right) = \left\langle -2, 0\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -2, 0\right\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(x) - 1*1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} - 1}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} - 1}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\cos{\left(x \right)} - 1 = \cos{\left(x \right)} - 1$$
- Да
$$\cos{\left(x \right)} - 1 = 1 - \cos{\left(x \right)}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной

График