График функции y = (cos(x)-1)/x

Вы ввели

       cos(x) - 1
f(x) = ----------
           x     

$$f{\left (x \right )} = \frac{1}{x} \left(\cos{\left (x \right )} - 1\right)$$

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{1}{x} \left(\cos{\left (x \right )} - 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 2 \pi$$
Численное решение
$$x_{1} = 12.5663704427$$
$$x_{2} = 62.8318535568$$
$$x_{3} = 56.5486682809$$
$$x_{4} = 25.1327408328$$
$$x_{5} = 56.5486668532$$
$$x_{6} = 87.9645938122$$
$$x_{7} = -6.28318581605$$
$$x_{8} = 25.1327416384$$
$$x_{9} = -37.699111348$$
$$x_{10} = -94.2477794453$$
$$x_{11} = 50.265482944$$
$$x_{12} = 94.2477792651$$
$$x_{13} = 69.1150387941$$
$$x_{14} = -43.9822967932$$
$$x_{15} = 31.415926846$$
$$x_{16} = -69.1150379045$$
$$x_{17} = 87.9645946044$$
$$x_{18} = 31.4159260649$$
$$x_{19} = 50.2654821323$$
$$x_{20} = 6.28318579822$$
$$x_{21} = 56.5486680806$$
$$x_{22} = 12.5663710111$$
$$x_{23} = -18.849556323$$
$$x_{24} = -81.6814090382$$
$$x_{25} = -6.2831855585$$
$$x_{26} = 12.5663711302$$
$$x_{27} = 75.3982232189$$
$$x_{28} = -87.9645947692$$
$$x_{29} = -4.79511606159 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{30} = 6.28318626748$$
$$x_{31} = -37.6991121287$$
$$x_{32} = 37.6991113349$$
$$x_{33} = -87.9645939285$$
$$x_{34} = 81.6814085861$$
$$x_{35} = -75.3982238742$$
$$x_{36} = -62.8318534787$$
$$x_{37} = -50.2654829667$$
$$x_{38} = 94.2477800893$$
$$x_{39} = 56.5486676012$$
$$x_{40} = 43.9822974734$$
$$x_{41} = -37.6991118773$$
$$x_{42} = -12.5663703113$$
$$x_{43} = -18.8495552124$$
$$x_{44} = 0$$
$$x_{45} = 100.53096476$$
$$x_{46} = -81.6814092565$$
$$x_{47} = -69.1150386869$$
$$x_{48} = 6.28318528421$$
$$x_{49} = 3.40772025643 \cdot 10^{-7}$$
$$x_{50} = -75.3982231046$$
$$x_{51} = -62.8318526732$$
$$x_{52} = -81.6814084946$$
$$x_{53} = -81.6814075578$$
$$x_{54} = 37.6991120311$$
$$x_{55} = 37.6991115174$$
$$x_{56} = -75.398223172$$
$$x_{57} = 75.3982240032$$
$$x_{58} = -31.4159260508$$
$$x_{59} = 62.8318527849$$
$$x_{60} = -50.2654826411$$
$$x_{61} = -50.2654822863$$
$$x_{62} = -18.8495555173$$
$$x_{63} = -31.4159260208$$
$$x_{64} = -25.1327407506$$
$$x_{65} = 6.28318500094$$
$$x_{66} = 69.1150379888$$
$$x_{67} = -12.566371089$$
$$x_{68} = -56.5486674686$$
$$x_{69} = -43.9822971745$$
$$x_{70} = 94.2477796094$$
$$x_{71} = -100.530964626$$
$$x_{72} = -56.5486682427$$
$$x_{73} = 50.2654824463$$
$$x_{74} = 43.9822966661$$
$$x_{75} = -31.4159267158$$
$$x_{76} = -94.2477797298$$
$$x_{77} = -25.1327415297$$
$$x_{78} = 81.6814091897$$
$$x_{79} = 100.530965157$$
$$x_{80} = -6.28318512755$$
$$x_{81} = -94.2477801172$$
$$x_{82} = 43.9822971695$$
$$x_{83} = -87.9645943586$$
$$x_{84} = -43.9822976246$$
$$x_{85} = 87.9645943359$$
$$x_{86} = 18.8495564032$$
$$x_{87} = 18.8495556276$$
$$x_{88} = 81.681408486$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (cos(x) - 1)/x.
$$\frac{1}{0} \left(-1 + \cos{\left (0 \right )}\right)$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \mathrm{NaN}$$
- решений у ур-ния нет

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 0$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(\cos{\left (x \right )} - 1\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(\cos{\left (x \right )} - 1\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (cos(x) - 1)/x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x^{2}} \left(\cos{\left (x \right )} - 1\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x^{2}} \left(\cos{\left (x \right )} - 1\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{1}{x} \left(\cos{\left (x \right )} - 1\right) = - \frac{1}{x} \left(\cos{\left (x \right )} - 1\right)$$
- Нет
$$\frac{1}{x} \left(\cos{\left (x \right )} - 1\right) = - \frac{1}{x} \left(- \cos{\left (x \right )} + 1\right)$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной