Графики функций/ Построение в 2D/ y = cos(x)+(Abs(cot(x)))

График функции y = cos(x)+(Abs(cot(x)))

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Примеры
v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
f(x) = cos(x) + |cot(x)|
f(x)=cos⁡(x)+∣cot⁡(x)∣f{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )} + \left|{\cot{\left (x \right )}}\right|
График функции
0-2000-1500-1000-5005001000150020000200
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
cos⁡(x)+∣cot⁡(x)∣=0\cos{\left (x \right )} + \left|{\cot{\left (x \right )}}\right| = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
x3=πx_{3} = \pi
Численное решение
x1=−29.8451051913x_{1} = -29.8451051913
x2=−54.9778714378x_{2} = -54.9778714378
x3=67.5442420522x_{3} = 67.5442420522
x4=92.6768824543x_{4} = 92.6768824543
x5=89.5355131631x_{5} = 89.5355131631
x6=−1.5708402541x_{6} = -1.5708402541
x7=−80.1105780494x_{7} = -80.1105780494
x8=42.4114609985x_{8} = 42.4114609985
x9=−17.2787595947x_{9} = -17.2787595947
x10=36.1282702398x_{10} = 36.1282702398
x11=45.5530934771x_{11} = 45.5530934771
x12=61.261056745x_{12} = 61.261056745
x13=83.2522053201x_{13} = 83.2522053201
x14=−70.6858347058x_{14} = -70.6858347058
x15=−4.71238898038x_{15} = -4.71238898038
x16=76.9690200129x_{16} = 76.9690200129
x17=−32.9867228627x_{17} = -32.9867228627
x18=−36.1282760721x_{18} = -36.1282760721
x19=92.6769832809x_{19} = 92.6769832809
x20=58.1194985749x_{20} = 58.1194985749
x21=−48.6946861306x_{21} = -48.6946861306
x22=−42.4115008235x_{22} = -42.4115008235
x23=−58.1194640914x_{23} = -58.1194640914
x24=−86.3936930195x_{24} = -86.3936930195
x25=39.2699081699x_{25} = 39.2699081699
x26=17.2787595947x_{26} = 17.2787595947
x27=−64.4026493986x_{27} = -64.4026493986
x28=−61.261056745x_{28} = -61.261056745
x29=−83.252323132x_{29} = -83.252323132
x30=4.71227973952x_{30} = 4.71227973952
x31=−92.6769832809x_{31} = -92.6769832809
x32=32.9867228627x_{32} = 32.9867228627
x33=−14.1371669412x_{33} = -14.1371669412
x34=86.3937622839x_{34} = 86.3937622839
x35=95.818629179x_{35} = 95.818629179
x36=10.9955742876x_{36} = 10.9955742876
x37=−95.8186425549x_{37} = -95.8186425549
x38=4.71238898038x_{38} = 4.71238898038
x39=23.5619449019x_{39} = 23.5619449019
x40=−42.4113915253x_{40} = -42.4113915253
x41=−39.2699081699x_{41} = -39.2699081699
x42=80.1105738535x_{42} = 80.1105738535
x43=64.4026493986x_{43} = 64.4026493986
x44=−51.8363377349x_{44} = -51.8363377349
x45=−26.7035375555x_{45} = -26.7035375555
x46=48.6945811147x_{46} = 48.6945811147
x47=−83.2522053201x_{47} = -83.2522053201
x48=−98.9601685881x_{48} = -98.9601685881
x49=−89.5354426871x_{49} = -89.5354426871
x50=1.57090999995x_{50} = 1.57090999995
x51=98.9601685881x_{51} = 98.9601685881
x52=48.6946861306x_{52} = 48.6946861306
x53=−67.5442420522x_{53} = -67.5442420522
x54=54.9778714378x_{54} = 54.9778714378
x55=14.1371966708x_{55} = 14.1371966708
x56=7.85402577697x_{56} = 7.85402577697
x57=45.5532115612x_{57} = 45.5532115612
x58=−86.3937979737x_{58} = -86.3937979737
x59=−20.4203522483x_{59} = -20.4203522483
x60=−73.8274070252x_{60} = -73.8274070252
x61=−39.2700216748x_{61} = -39.2700216748
x62=−76.9690200129x_{62} = -76.9690200129
x63=89.5353906273x_{63} = 89.5353906273
x64=−10.9955742876x_{64} = -10.9955742876
x65=51.8363275208x_{65} = 51.8363275208
x66=−23.5619449019x_{66} = -23.5619449019
x67=−7.85403357474x_{67} = -7.85403357474
x68=70.6858347058x_{68} = 70.6858347058
x69=29.8451302091x_{69} = 29.8451302091
x70=73.8274273594x_{70} = 73.8274273594
x71=−45.5531414806x_{71} = -45.5531414806
x72=26.7035375555x_{72} = 26.7035375555
x73=20.4203522483x_{73} = 20.4203522483
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
(−cot⁡2(x)−1)sign⁡(cot⁡(x))−sin⁡(x)=0\left(- \cot^{2}{\left (x \right )} - 1\right) \operatorname{sign}{\left (\cot{\left (x \right )} \right )} - \sin{\left (x \right )} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=36.1283153666x_{1} = 36.1283153666
x2=−89.5353909197x_{2} = -89.5353909197
x3=7.8539817482x_{3} = 7.8539817482
x4=76.9690203681x_{4} = 76.9690203681
x5=−7.85398180377x_{5} = -7.85398180377
x6=26.7035376793x_{6} = 26.7035376793
x7=10.9955736753x_{7} = 10.9955736753
x8=83.2522060409x_{8} = 83.2522060409
x9=51.8362789097x_{9} = 51.8362789097
x10=80.110611854x_{10} = 80.110611854
x11=−32.9867235624x_{11} = -32.9867235624
x12=−83.2522056429x_{12} = -83.2522056429
x13=−80.1106125753x_{13} = -80.1106125753
x14=1.57079663743x_{14} = 1.57079663743
x15=92.6769830143x_{15} = 92.6769830143
x16=−95.8185761444x_{16} = -95.8185761444
x17=−1.57079643634x_{17} = -1.57079643634
x18=−92.6769826871x_{18} = -92.6769826871
x19=23.56194464x_{19} = 23.56194464
x20=86.3937978844x_{20} = 86.3937978844
x21=95.8185760711x_{21} = 95.8185760711
x22=−39.2699085857x_{22} = -39.2699085857
x23=−70.6858355198x_{23} = -70.6858355198
x24=−17.2787592446x_{24} = -17.2787592446
x25=−86.3937976918x_{25} = -86.3937976918
x26=−39.2699084779x_{26} = -39.2699084779
x27=−23.5619448334x_{27} = -23.5619448334
x28=−61.2610562553x_{28} = -61.2610562553
x29=−42.4115005274x_{29} = -42.4115005274
x30=42.411500724x_{30} = 42.411500724
x31=−51.8362789741x_{31} = -51.8362789741
x32=80.1106125371x_{32} = 80.1106125371
x33=14.1371670244x_{33} = 14.1371670244
x34=−64.4026501837x_{34} = -64.4026501837
x35=−76.9690206866x_{35} = -76.9690206866
x36=45.5530938028x_{36} = 45.5530938028
x37=−89.5353907572x_{37} = -89.5353907572
x38=−48.6946859045x_{38} = -48.6946859045
x39=39.2699088559x_{39} = 39.2699088559
x40=89.5353909687x_{40} = 89.5353909687
x41=−32.9867235047x_{41} = -32.9867235047
x42=−73.8274273022x_{42} = -73.8274273022
x43=54.9778708537x_{43} = 54.9778708537
x44=−29.8451301389x_{44} = -29.8451301389
x45=−45.5530935968x_{45} = -45.5530935968
x46=−36.1283154134x_{46} = -36.1283154134
x47=70.6858352152x_{47} = 70.6858352152
x48=10.9955740773x_{48} = 10.9955740773
x49=4.71238868663x_{49} = 4.71238868663
x50=98.9601680305x_{50} = 98.9601680305
x51=48.6946858507x_{51} = 48.6946858507
x52=−4.71238826197x_{52} = -4.71238826197
x53=−4.71238832697x_{53} = -4.71238832697
x54=−48.6946855079x_{54} = -48.6946855079
x55=−54.9778712907x_{55} = -54.9778712907
x56=58.1194641878x_{56} = 58.1194641878
x57=−98.9601678795x_{57} = -98.9601678795
Зн. экстремумы в точках:
(36.1283153666, 1.6675961149069e-21)

(-89.5353909197, 1.24937359720009e-20)

(7.8539817482, 7.54388718648361e-22)

(76.9690203681, 2.23934335430356e-20)

(-7.85398180377, 2.46168950295781e-21)

(26.7035376793, 9.52912065661088e-22)

(10.9955736753, 1.14772964352958e-19)

(83.2522060409, 1.87300160461607e-19)

(51.8362789097, 1.00585162486448e-21)

(80.110611854, 2.68191806924393e-19)

(-32.9867235624, 1.71206534463775e-19)

(-83.2522056429, 1.67818402674758e-20)

(-80.1106125753, 3.83811804224605e-22)

(1.57079663743, 1.50348348137638e-20)

(92.6769830143, 9.47618109740749e-21)

(-95.8185761444, 4.63221143029695e-21)

(-1.57079643634, 6.48509600241574e-22)

(-92.6769826871, 1.04714448104313e-19)

(23.56194464, 8.99972506457694e-21)

(86.3937978844, 3.57342024622908e-22)

(95.8185760711, 1.27054942088145e-21)

(-39.2699085857, 3.59459606991044e-20)

(-70.6858355198, 2.69779993700495e-19)

(-17.2787592446, 2.14405214773745e-20)

(-86.3937976918, 1.12231865511195e-20)

(-39.2699084779, 1.46113183401367e-20)

(-23.5619448334, 1.58818677610181e-22)

(-61.2610562553, 5.87629107157671e-20)

(-42.4115005274, 1.29701920048315e-20)

(42.411500724, 4.89690922631392e-22)

(-51.8362789741, 3.4146015686189e-21)

(80.1106125371, 1.08526096366957e-21)

(14.1371670244, 2.77932685817817e-22)

(-64.4026501837, 2.4193378555951e-19)

(-76.9690206866, 1.52889446979401e-19)

(45.5530938028, 1.73112358595098e-20)

(-89.5353907572, 1.11173074327127e-21)

(-48.6946859045, 5.77041195316992e-21)

(39.2699088559, 1.61465655570351e-19)

(89.5353909687, 1.99052742604761e-20)

(-32.9867235047, 1.32348898008484e-19)

(-73.8274273022, 9.26442286059391e-23)

(54.9778708537, 9.96322504207871e-20)

(-29.8451301389, 1.7205356741103e-22)

(-45.5530935968, 8.470329472543e-22)

(-36.1283154134, 5.42630481834786e-22)

(70.6858352152, 6.61744490042422e-20)

(10.9955740773, 4.65868120989865e-21)

(4.71238868663, 1.26525546496111e-20)

(98.9601680305, 8.6714997975159e-20)

(48.6946858507, 1.09584887551025e-20)

(-4.71238826197, 1.85394336330285e-19)

(-4.71238832697, 1.39548678060146e-19)

(-48.6946855079, 1.20702194983738e-19)

(-54.9778712907, 1.58818677610181e-21)

(58.1194641878, 4.49986253228847e-22)

(-98.9601678795, 1.77876918923403e-19)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x57=36.1283153666x_{57} = 36.1283153666
x57=−89.5353909197x_{57} = -89.5353909197
x57=7.8539817482x_{57} = 7.8539817482
x57=76.9690203681x_{57} = 76.9690203681
x57=−7.85398180377x_{57} = -7.85398180377
x57=26.7035376793x_{57} = 26.7035376793
x57=10.9955736753x_{57} = 10.9955736753
x57=83.2522060409x_{57} = 83.2522060409
x57=51.8362789097x_{57} = 51.8362789097
x57=80.110611854x_{57} = 80.110611854
x57=−32.9867235624x_{57} = -32.9867235624
x57=−83.2522056429x_{57} = -83.2522056429
x57=−80.1106125753x_{57} = -80.1106125753
x57=1.57079663743x_{57} = 1.57079663743
x57=92.6769830143x_{57} = 92.6769830143
x57=−95.8185761444x_{57} = -95.8185761444
x57=−1.57079643634x_{57} = -1.57079643634
x57=−92.6769826871x_{57} = -92.6769826871
x57=23.56194464x_{57} = 23.56194464
x57=86.3937978844x_{57} = 86.3937978844
x57=95.8185760711x_{57} = 95.8185760711
x57=−39.2699085857x_{57} = -39.2699085857
x57=−70.6858355198x_{57} = -70.6858355198
x57=−17.2787592446x_{57} = -17.2787592446
x57=−86.3937976918x_{57} = -86.3937976918
x57=−39.2699084779x_{57} = -39.2699084779
x57=−23.5619448334x_{57} = -23.5619448334
x57=−61.2610562553x_{57} = -61.2610562553
x57=−42.4115005274x_{57} = -42.4115005274
x57=42.411500724x_{57} = 42.411500724
x57=−51.8362789741x_{57} = -51.8362789741
x57=80.1106125371x_{57} = 80.1106125371
x57=14.1371670244x_{57} = 14.1371670244
x57=−64.4026501837x_{57} = -64.4026501837
x57=−76.9690206866x_{57} = -76.9690206866
x57=45.5530938028x_{57} = 45.5530938028
x57=−89.5353907572x_{57} = -89.5353907572
x57=−48.6946859045x_{57} = -48.6946859045
x57=39.2699088559x_{57} = 39.2699088559
x57=89.5353909687x_{57} = 89.5353909687
x57=−32.9867235047x_{57} = -32.9867235047
x57=−73.8274273022x_{57} = -73.8274273022
x57=54.9778708537x_{57} = 54.9778708537
x57=−29.8451301389x_{57} = -29.8451301389
x57=−45.5530935968x_{57} = -45.5530935968
x57=−36.1283154134x_{57} = -36.1283154134
x57=70.6858352152x_{57} = 70.6858352152
x57=10.9955740773x_{57} = 10.9955740773
x57=4.71238868663x_{57} = 4.71238868663
x57=98.9601680305x_{57} = 98.9601680305
x57=48.6946858507x_{57} = 48.6946858507
x57=−4.71238826197x_{57} = -4.71238826197
x57=−4.71238832697x_{57} = -4.71238832697
x57=−48.6946855079x_{57} = -48.6946855079
x57=−54.9778712907x_{57} = -54.9778712907
x57=58.1194641878x_{57} = 58.1194641878
x57=−98.9601678795x_{57} = -98.9601678795
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
[98.9601680305, oo)

Возрастает на промежутках
(-oo, -98.9601678795]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=lim⁡x→−∞(cos⁡(x)+∣cot⁡(x)∣)y = \lim_{x \to -\infty}\left(\cos{\left (x \right )} + \left|{\cot{\left (x \right )}}\right|\right)
True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=lim⁡x→∞(cos⁡(x)+∣cot⁡(x)∣)y = \lim_{x \to \infty}\left(\cos{\left (x \right )} + \left|{\cot{\left (x \right )}}\right|\right)
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(x) + Abs(cot(x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
y=xlim⁡x→−∞(1x(cos⁡(x)+∣cot⁡(x)∣))y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(\cos{\left (x \right )} + \left|{\cot{\left (x \right )}}\right|\right)\right)
True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
y=xlim⁡x→∞(1x(cos⁡(x)+∣cot⁡(x)∣))y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(\cos{\left (x \right )} + \left|{\cot{\left (x \right )}}\right|\right)\right)
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
cos⁡(x)+∣cot⁡(x)∣=cos⁡(x)+∣cot⁡(x)∣\cos{\left (x \right )} + \left|{\cot{\left (x \right )}}\right| = \cos{\left (x \right )} + \left|{\cot{\left (x \right )}}\right|
- Да
cos⁡(x)+∣cot⁡(x)∣=−cos⁡(x)−∣cot⁡(x)∣\cos{\left (x \right )} + \left|{\cot{\left (x \right )}}\right| = - \cos{\left (x \right )} - \left|{\cot{\left (x \right )}}\right|
- Нет
значит, функция
является
чётной