График функции y = cos(x)+(Abs(cot(x)))

Вы ввели

f(x) = cos(x) + |cot(x)|

$$f{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )} + \left|{\cot{\left (x \right )}}\right|$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\cos{\left (x \right )} + \left|{\cot{\left (x \right )}}\right| = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \pi$$
Численное решение
$$x_{1} = -29.8451051913$$
$$x_{2} = -54.9778714378$$
$$x_{3} = 67.5442420522$$
$$x_{4} = 92.6768824543$$
$$x_{5} = 89.5355131631$$
$$x_{6} = -1.5708402541$$
$$x_{7} = -80.1105780494$$
$$x_{8} = 42.4114609985$$
$$x_{9} = -17.2787595947$$
$$x_{10} = 36.1282702398$$
$$x_{11} = 45.5530934771$$
$$x_{12} = 61.261056745$$
$$x_{13} = 83.2522053201$$
$$x_{14} = -70.6858347058$$
$$x_{15} = -4.71238898038$$
$$x_{16} = 76.9690200129$$
$$x_{17} = -32.9867228627$$
$$x_{18} = -36.1282760721$$
$$x_{19} = 92.6769832809$$
$$x_{20} = 58.1194985749$$
$$x_{21} = -48.6946861306$$
$$x_{22} = -42.4115008235$$
$$x_{23} = -58.1194640914$$
$$x_{24} = -86.3936930195$$
$$x_{25} = 39.2699081699$$
$$x_{26} = 17.2787595947$$
$$x_{27} = -64.4026493986$$
$$x_{28} = -61.261056745$$
$$x_{29} = -83.252323132$$
$$x_{30} = 4.71227973952$$
$$x_{31} = -92.6769832809$$
$$x_{32} = 32.9867228627$$
$$x_{33} = -14.1371669412$$
$$x_{34} = 86.3937622839$$
$$x_{35} = 95.818629179$$
$$x_{36} = 10.9955742876$$
$$x_{37} = -95.8186425549$$
$$x_{38} = 4.71238898038$$
$$x_{39} = 23.5619449019$$
$$x_{40} = -42.4113915253$$
$$x_{41} = -39.2699081699$$
$$x_{42} = 80.1105738535$$
$$x_{43} = 64.4026493986$$
$$x_{44} = -51.8363377349$$
$$x_{45} = -26.7035375555$$
$$x_{46} = 48.6945811147$$
$$x_{47} = -83.2522053201$$
$$x_{48} = -98.9601685881$$
$$x_{49} = -89.5354426871$$
$$x_{50} = 1.57090999995$$
$$x_{51} = 98.9601685881$$
$$x_{52} = 48.6946861306$$
$$x_{53} = -67.5442420522$$
$$x_{54} = 54.9778714378$$
$$x_{55} = 14.1371966708$$
$$x_{56} = 7.85402577697$$
$$x_{57} = 45.5532115612$$
$$x_{58} = -86.3937979737$$
$$x_{59} = -20.4203522483$$
$$x_{60} = -73.8274070252$$
$$x_{61} = -39.2700216748$$
$$x_{62} = -76.9690200129$$
$$x_{63} = 89.5353906273$$
$$x_{64} = -10.9955742876$$
$$x_{65} = 51.8363275208$$
$$x_{66} = -23.5619449019$$
$$x_{67} = -7.85403357474$$
$$x_{68} = 70.6858347058$$
$$x_{69} = 29.8451302091$$
$$x_{70} = 73.8274273594$$
$$x_{71} = -45.5531414806$$
$$x_{72} = 26.7035375555$$
$$x_{73} = 20.4203522483$$

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\left(- \cot^{2}{\left (x \right )} - 1\right) \operatorname{sign}{\left (\cot{\left (x \right )} \right )} - \sin{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 36.1283153666$$
$$x_{2} = -89.5353909197$$
$$x_{3} = 7.8539817482$$
$$x_{4} = 76.9690203681$$
$$x_{5} = -7.85398180377$$
$$x_{6} = 26.7035376793$$
$$x_{7} = 10.9955736753$$
$$x_{8} = 83.2522060409$$
$$x_{9} = 51.8362789097$$
$$x_{10} = 80.110611854$$
$$x_{11} = -32.9867235624$$
$$x_{12} = -83.2522056429$$
$$x_{13} = -80.1106125753$$
$$x_{14} = 1.57079663743$$
$$x_{15} = 92.6769830143$$
$$x_{16} = -95.8185761444$$
$$x_{17} = -1.57079643634$$
$$x_{18} = -92.6769826871$$
$$x_{19} = 23.56194464$$
$$x_{20} = 86.3937978844$$
$$x_{21} = 95.8185760711$$
$$x_{22} = -39.2699085857$$
$$x_{23} = -70.6858355198$$
$$x_{24} = -17.2787592446$$
$$x_{25} = -86.3937976918$$
$$x_{26} = -39.2699084779$$
$$x_{27} = -23.5619448334$$
$$x_{28} = -61.2610562553$$
$$x_{29} = -42.4115005274$$
$$x_{30} = 42.411500724$$
$$x_{31} = -51.8362789741$$
$$x_{32} = 80.1106125371$$
$$x_{33} = 14.1371670244$$
$$x_{34} = -64.4026501837$$
$$x_{35} = -76.9690206866$$
$$x_{36} = 45.5530938028$$
$$x_{37} = -89.5353907572$$
$$x_{38} = -48.6946859045$$
$$x_{39} = 39.2699088559$$
$$x_{40} = 89.5353909687$$
$$x_{41} = -32.9867235047$$
$$x_{42} = -73.8274273022$$
$$x_{43} = 54.9778708537$$
$$x_{44} = -29.8451301389$$
$$x_{45} = -45.5530935968$$
$$x_{46} = -36.1283154134$$
$$x_{47} = 70.6858352152$$
$$x_{48} = 10.9955740773$$
$$x_{49} = 4.71238868663$$
$$x_{50} = 98.9601680305$$
$$x_{51} = 48.6946858507$$
$$x_{52} = -4.71238826197$$
$$x_{53} = -4.71238832697$$
$$x_{54} = -48.6946855079$$
$$x_{55} = -54.9778712907$$
$$x_{56} = 58.1194641878$$
$$x_{57} = -98.9601678795$$
Зн. экстремумы в точках:

(36.1283153666, 1.6675961149069e-21)

(-89.5353909197, 1.24937359720009e-20)

(7.8539817482, 7.54388718648361e-22)

(76.9690203681, 2.23934335430356e-20)

(-7.85398180377, 2.46168950295781e-21)

(26.7035376793, 9.52912065661088e-22)

(10.9955736753, 1.14772964352958e-19)

(83.2522060409, 1.87300160461607e-19)

(51.8362789097, 1.00585162486448e-21)

(80.110611854, 2.68191806924393e-19)

(-32.9867235624, 1.71206534463775e-19)

(-83.2522056429, 1.67818402674758e-20)

(-80.1106125753, 3.83811804224605e-22)

(1.57079663743, 1.50348348137638e-20)

(92.6769830143, 9.47618109740749e-21)

(-95.8185761444, 4.63221143029695e-21)

(-1.57079643634, 6.48509600241574e-22)

(-92.6769826871, 1.04714448104313e-19)

(23.56194464, 8.99972506457694e-21)

(86.3937978844, 3.57342024622908e-22)

(95.8185760711, 1.27054942088145e-21)

(-39.2699085857, 3.59459606991044e-20)

(-70.6858355198, 2.69779993700495e-19)

(-17.2787592446, 2.14405214773745e-20)

(-86.3937976918, 1.12231865511195e-20)

(-39.2699084779, 1.46113183401367e-20)

(-23.5619448334, 1.58818677610181e-22)

(-61.2610562553, 5.87629107157671e-20)

(-42.4115005274, 1.29701920048315e-20)

(42.411500724, 4.89690922631392e-22)

(-51.8362789741, 3.4146015686189e-21)

(80.1106125371, 1.08526096366957e-21)

(14.1371670244, 2.77932685817817e-22)

(-64.4026501837, 2.4193378555951e-19)

(-76.9690206866, 1.52889446979401e-19)

(45.5530938028, 1.73112358595098e-20)

(-89.5353907572, 1.11173074327127e-21)

(-48.6946859045, 5.77041195316992e-21)

(39.2699088559, 1.61465655570351e-19)

(89.5353909687, 1.99052742604761e-20)

(-32.9867235047, 1.32348898008484e-19)

(-73.8274273022, 9.26442286059391e-23)

(54.9778708537, 9.96322504207871e-20)

(-29.8451301389, 1.7205356741103e-22)

(-45.5530935968, 8.470329472543e-22)

(-36.1283154134, 5.42630481834786e-22)

(70.6858352152, 6.61744490042422e-20)

(10.9955740773, 4.65868120989865e-21)

(4.71238868663, 1.26525546496111e-20)

(98.9601680305, 8.6714997975159e-20)

(48.6946858507, 1.09584887551025e-20)

(-4.71238826197, 1.85394336330285e-19)

(-4.71238832697, 1.39548678060146e-19)

(-48.6946855079, 1.20702194983738e-19)

(-54.9778712907, 1.58818677610181e-21)

(58.1194641878, 4.49986253228847e-22)

(-98.9601678795, 1.77876918923403e-19)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{57} = 36.1283153666$$
$$x_{57} = -89.5353909197$$
$$x_{57} = 7.8539817482$$
$$x_{57} = 76.9690203681$$
$$x_{57} = -7.85398180377$$
$$x_{57} = 26.7035376793$$
$$x_{57} = 10.9955736753$$
$$x_{57} = 83.2522060409$$
$$x_{57} = 51.8362789097$$
$$x_{57} = 80.110611854$$
$$x_{57} = -32.9867235624$$
$$x_{57} = -83.2522056429$$
$$x_{57} = -80.1106125753$$
$$x_{57} = 1.57079663743$$
$$x_{57} = 92.6769830143$$
$$x_{57} = -95.8185761444$$
$$x_{57} = -1.57079643634$$
$$x_{57} = -92.6769826871$$
$$x_{57} = 23.56194464$$
$$x_{57} = 86.3937978844$$
$$x_{57} = 95.8185760711$$
$$x_{57} = -39.2699085857$$
$$x_{57} = -70.6858355198$$
$$x_{57} = -17.2787592446$$
$$x_{57} = -86.3937976918$$
$$x_{57} = -39.2699084779$$
$$x_{57} = -23.5619448334$$
$$x_{57} = -61.2610562553$$
$$x_{57} = -42.4115005274$$
$$x_{57} = 42.411500724$$
$$x_{57} = -51.8362789741$$
$$x_{57} = 80.1106125371$$
$$x_{57} = 14.1371670244$$
$$x_{57} = -64.4026501837$$
$$x_{57} = -76.9690206866$$
$$x_{57} = 45.5530938028$$
$$x_{57} = -89.5353907572$$
$$x_{57} = -48.6946859045$$
$$x_{57} = 39.2699088559$$
$$x_{57} = 89.5353909687$$
$$x_{57} = -32.9867235047$$
$$x_{57} = -73.8274273022$$
$$x_{57} = 54.9778708537$$
$$x_{57} = -29.8451301389$$
$$x_{57} = -45.5530935968$$
$$x_{57} = -36.1283154134$$
$$x_{57} = 70.6858352152$$
$$x_{57} = 10.9955740773$$
$$x_{57} = 4.71238868663$$
$$x_{57} = 98.9601680305$$
$$x_{57} = 48.6946858507$$
$$x_{57} = -4.71238826197$$
$$x_{57} = -4.71238832697$$
$$x_{57} = -48.6946855079$$
$$x_{57} = -54.9778712907$$
$$x_{57} = 58.1194641878$$
$$x_{57} = -98.9601678795$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках

[98.9601680305, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, -98.9601678795]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \lim_{x \to -\infty}\left(\cos{\left (x \right )} + \left|{\cot{\left (x \right )}}\right|\right)$$

True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \lim_{x \to \infty}\left(\cos{\left (x \right )} + \left|{\cot{\left (x \right )}}\right|\right)$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(x) + Abs(cot(x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(\cos{\left (x \right )} + \left|{\cot{\left (x \right )}}\right|\right)\right)$$

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(\cos{\left (x \right )} + \left|{\cot{\left (x \right )}}\right|\right)\right)$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\cos{\left (x \right )} + \left|{\cot{\left (x \right )}}\right| = \cos{\left (x \right )} + \left|{\cot{\left (x \right )}}\right|$$
- Да
$$\cos{\left (x \right )} + \left|{\cot{\left (x \right )}}\right| = - \cos{\left (x \right )} - \left|{\cot{\left (x \right )}}\right|$$
- Нет
значит, функция
является
чётной