График функции y = cos(x+pi/6)

Вы ввели

          /    pi\
f(x) = cos|x + --|
          \    6 /

$$f{\left(x \right)} = \cos{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\cos{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{4 \pi}{3}$$
Численное решение
$$x_{1} = -20.943951023932$$
$$x_{2} = 57.5958653158129$$
$$x_{3} = 63.8790506229925$$
$$x_{4} = 51.3126800086333$$
$$x_{5} = -17.8023583703422$$
$$x_{6} = -5.23598775598299$$
$$x_{7} = -33.5103216382911$$
$$x_{8} = -24.0855436775217$$
$$x_{9} = 67.0206432765823$$
$$x_{10} = -46.0766922526503$$
$$x_{11} = 60.7374579694027$$
$$x_{12} = -5644.39480094966$$
$$x_{13} = -83.7758040957278$$
$$x_{14} = 70.162235930172$$
$$x_{15} = -30.3687289847013$$
$$x_{16} = 23.0383461263252$$
$$x_{17} = -27.2271363311115$$
$$x_{18} = 35.6047167406843$$
$$x_{19} = 32.4631240870945$$
$$x_{20} = 104.71975511966$$
$$x_{21} = -68.0678408277789$$
$$x_{22} = 1.0471975511966$$
$$x_{23} = -96.342174710087$$
$$x_{24} = -52.3598775598299$$
$$x_{25} = 16.7551608191456$$
$$x_{26} = 19.8967534727354$$
$$x_{27} = 45.0294947014537$$
$$x_{28} = -11.5191730631626$$
$$x_{29} = -14.6607657167524$$
$$x_{30} = 29.3215314335047$$
$$x_{31} = 73.3038285837618$$
$$x_{32} = 41.8879020478639$$
$$x_{33} = 98.4365698124802$$
$$x_{34} = -61.7846555205993$$
$$x_{35} = 82.7286065445312$$
$$x_{36} = -2.0943951023932$$
$$x_{37} = 10.471975511966$$
$$x_{38} = 92.1533845053006$$
$$x_{39} = 89.0117918517108$$
$$x_{40} = -99.4837673636768$$
$$x_{41} = -80.634211442138$$
$$x_{42} = -39.7935069454707$$
$$x_{43} = -77.4926187885482$$
$$x_{44} = 7.33038285837618$$
$$x_{45} = 76.4454212373516$$
$$x_{46} = -55.5014702134197$$
$$x_{47} = -8.37758040957278$$
$$x_{48} = -36.6519142918809$$
$$x_{49} = 79.5870138909414$$
$$x_{50} = 85.870199198121$$
$$x_{51} = -71.2094334813686$$
$$x_{52} = -90.0589894029074$$
$$x_{53} = -42.9350995990605$$
$$x_{54} = -58.6430628670095$$
$$x_{55} = 4.18879020478639$$
$$x_{56} = 48.1710873550435$$
$$x_{57} = 38.7463093942741$$
$$x_{58} = -64.9262481741891$$
$$x_{59} = 26.1799387799149$$
$$x_{60} = -93.2005820564972$$
$$x_{61} = -74.3510261349584$$
$$x_{62} = -86.9173967493176$$
$$x_{63} = 95.2949771588904$$
$$x_{64} = 54.4542726622231$$
$$x_{65} = 13.6135681655558$$
$$x_{66} = -49.2182849062401$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в cos(x + pi/6).
$$\cos{\left(0 + \frac{\pi}{6} \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Точка:

(0, sqrt(3)/2)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$- \sin{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{6}$$
Зн. экстремумы в точках:

 -pi      /pi   pi\ 
(----, cos|-- - --|)
  6       \6    6 / 

 5*pi     
(----, -1)
  6       

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{5 \pi}{6}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{6}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{5 \pi}{6}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[- \frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$- \cos{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{4 \pi}{3}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{3}, \frac{4 \pi}{3}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{3}\right] \cup \left[\frac{4 \pi}{3}, \infty\right)$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \cos{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \cos{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(x + pi/6), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\cos{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} = \sin{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)}$$
- Нет
$$\cos{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} = - \sin{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График