Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
cos(x)+1=0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
x1=π
Численное решение
x1=−9.4247781365785
x2=78.5398161804942
x3=65.9734457529812
x4=65.9734460390947
x5=−9.42477744529557
x6=−65.9734449870253
x7=97.3893717959212
x8=−65.9734453607004
x9=−59.6902604578012
x10=−53.4070745963886
x11=−84.8230012511693
x12=15.7079627593774
x13=28.2743343711514
x14=59.6902600526626
x15=65.9734452390837
x16=47.1238902162437
x17=−47.1238893275319
x18=34.5575195449229
x19=78.5398166181283
x20=−65.9734457649277
x21=15.7079634518075
x22=−53.4070745786761
x23=84.8230021335997
x24=97.389372581711
x25=15.7079629803241
x26=15.707963957033
x27=−9.42477752082051
x28=−78.5398160472843
x29=59.6902599104079
x30=40.8407049800347
x31=−72.2566308657983
x32=−15.707962774825
x33=91.1061873718352
x34=−28.2743337069329
x35=−1127.83176318906
x36=40.8407042062167
x37=59.6902606104322
x38=91.1061865667532
x39=−47.1238901083229
x40=34.5575197055812
x41=−78.5398168194507
x42=−40.8407049290801
x43=53.407075424589
x44=−3.14159295109225
x45=53.4070746418597
x46=3.14159306054457
x47=−21.9911490521325
x48=−15.7079632965989
x49=72.2566310277176
x50=−28.2743343914215
x51=−59.6902599212271
x52=72.2566315166773
x53=21.9911489072506
x54=53.4070766553897
x55=78.5398168562347
x56=40.8407045792514
x57=21.9911480932338
x58=−84.8230020565447
x59=−97.3893716284562
x60=28.2743335663982
x61=−34.5575196658297
x62=−28.2743340989896
x63=34.5575190219169
x64=9.42477826738203
x65=78.5398152766482
x66=−65.9734461969855
x67=28.2743338651796
x68=40.8407045848602
x69=21.9911485852059
x70=−97.3893724533348
x71=−53.407075294995
x72=−91.106187265474
x73=−21.9911485864417
x74=−59.6902606928653
x75=−40.8407040952604
x76=47.123889410773
x77=72.2566306985
x78=−72.2566315419804
x79=9.42477748794163
x80=−15.7079635641079
x81=−3.14159217367683
x82=−97.3893717476911
x83=−72.2566311847166
x84=−40.8407049008781
x85=−21.991148226056
x86=84.8230013636028
x87=78.5398149750205
x88=3.1415922548952
x89=−91.1061864815274
x90=−34.5575188899093
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в cos(x) + 1.
cos(0)+1
Результат:
f(0)=2
Точка:
(0, 2)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
dxdf(x)=0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
dxdf(x)=
первая производная
−sin(x)=0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=0
x2=π
Зн. экстремумы в точках:
(0, 2)
(pi, 0)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x1=π
Максимумы функции в точках:
x1=0
Убывает на промежутках
(−∞,0]∪[π,∞)
Возрастает на промежутках
[0,π]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
dx2d2f(x)=0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
dx2d2f(x)=
вторая производная
−cos(x)=0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=2π
x2=23π
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[2π,23π]
Выпуклая на промежутках
(−∞,2π]∪[23π,∞)
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
x→−∞lim(cos(x)+1)=⟨0,2⟩
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=⟨0,2⟩
x→∞lim(cos(x)+1)=⟨0,2⟩
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=⟨0,2⟩
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(x) + 1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
x→−∞lim(xcos(x)+1)=0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
x→∞lim(xcos(x)+1)=0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
cos(x)+1=cos(x)+1
- Да
cos(x)+1=−cos(x)−1
- Нет
значит, функция
является
чётной