График функции y = cos(x)+1

Вы ввели

f(x) = cos(x) + 1

$$f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} + 1$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\cos{\left(x \right)} + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \pi$$
Численное решение
$$x_{1} = -9.4247781365785$$
$$x_{2} = 78.5398161804942$$
$$x_{3} = 65.9734457529812$$
$$x_{4} = 65.9734460390947$$
$$x_{5} = -9.42477744529557$$
$$x_{6} = -65.9734449870253$$
$$x_{7} = 97.3893717959212$$
$$x_{8} = -65.9734453607004$$
$$x_{9} = -59.6902604578012$$
$$x_{10} = -53.4070745963886$$
$$x_{11} = -84.8230012511693$$
$$x_{12} = 15.7079627593774$$
$$x_{13} = 28.2743343711514$$
$$x_{14} = 59.6902600526626$$
$$x_{15} = 65.9734452390837$$
$$x_{16} = 47.1238902162437$$
$$x_{17} = -47.1238893275319$$
$$x_{18} = 34.5575195449229$$
$$x_{19} = 78.5398166181283$$
$$x_{20} = -65.9734457649277$$
$$x_{21} = 15.7079634518075$$
$$x_{22} = -53.4070745786761$$
$$x_{23} = 84.8230021335997$$
$$x_{24} = 97.389372581711$$
$$x_{25} = 15.7079629803241$$
$$x_{26} = 15.707963957033$$
$$x_{27} = -9.42477752082051$$
$$x_{28} = -78.5398160472843$$
$$x_{29} = 59.6902599104079$$
$$x_{30} = 40.8407049800347$$
$$x_{31} = -72.2566308657983$$
$$x_{32} = -15.707962774825$$
$$x_{33} = 91.1061873718352$$
$$x_{34} = -28.2743337069329$$
$$x_{35} = -1127.83176318906$$
$$x_{36} = 40.8407042062167$$
$$x_{37} = 59.6902606104322$$
$$x_{38} = 91.1061865667532$$
$$x_{39} = -47.1238901083229$$
$$x_{40} = 34.5575197055812$$
$$x_{41} = -78.5398168194507$$
$$x_{42} = -40.8407049290801$$
$$x_{43} = 53.407075424589$$
$$x_{44} = -3.14159295109225$$
$$x_{45} = 53.4070746418597$$
$$x_{46} = 3.14159306054457$$
$$x_{47} = -21.9911490521325$$
$$x_{48} = -15.7079632965989$$
$$x_{49} = 72.2566310277176$$
$$x_{50} = -28.2743343914215$$
$$x_{51} = -59.6902599212271$$
$$x_{52} = 72.2566315166773$$
$$x_{53} = 21.9911489072506$$
$$x_{54} = 53.4070766553897$$
$$x_{55} = 78.5398168562347$$
$$x_{56} = 40.8407045792514$$
$$x_{57} = 21.9911480932338$$
$$x_{58} = -84.8230020565447$$
$$x_{59} = -97.3893716284562$$
$$x_{60} = 28.2743335663982$$
$$x_{61} = -34.5575196658297$$
$$x_{62} = -28.2743340989896$$
$$x_{63} = 34.5575190219169$$
$$x_{64} = 9.42477826738203$$
$$x_{65} = 78.5398152766482$$
$$x_{66} = -65.9734461969855$$
$$x_{67} = 28.2743338651796$$
$$x_{68} = 40.8407045848602$$
$$x_{69} = 21.9911485852059$$
$$x_{70} = -97.3893724533348$$
$$x_{71} = -53.407075294995$$
$$x_{72} = -91.106187265474$$
$$x_{73} = -21.9911485864417$$
$$x_{74} = -59.6902606928653$$
$$x_{75} = -40.8407040952604$$
$$x_{76} = 47.123889410773$$
$$x_{77} = 72.2566306985$$
$$x_{78} = -72.2566315419804$$
$$x_{79} = 9.42477748794163$$
$$x_{80} = -15.7079635641079$$
$$x_{81} = -3.14159217367683$$
$$x_{82} = -97.3893717476911$$
$$x_{83} = -72.2566311847166$$
$$x_{84} = -40.8407049008781$$
$$x_{85} = -21.991148226056$$
$$x_{86} = 84.8230013636028$$
$$x_{87} = 78.5398149750205$$
$$x_{88} = 3.1415922548952$$
$$x_{89} = -91.1061864815274$$
$$x_{90} = -34.5575188899093$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в cos(x) + 1.
$$\cos{\left(0 \right)} + 1$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 2$$
Точка:

(0, 2)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \sin{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 2)

(pi, 0)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \pi$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[0, \pi\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) = \left\langle 0, 2\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle 0, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) = \left\langle 0, 2\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle 0, 2\right\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(x) + 1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\cos{\left(x \right)} + 1 = \cos{\left(x \right)} + 1$$
- Да
$$\cos{\left(x \right)} + 1 = - \cos{\left(x \right)} - 1$$
- Нет
значит, функция
является
чётной

График