График функции y = cos(x)+1

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
f(x) = cos(x) + 1
f(x)=cos(x)+1f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} + 1
График функции
010203040506070-1004
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
cos(x)+1=0\cos{\left(x \right)} + 1 = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=πx_{1} = \pi
Численное решение
x1=9.4247781365785x_{1} = -9.4247781365785
x2=78.5398161804942x_{2} = 78.5398161804942
x3=65.9734457529812x_{3} = 65.9734457529812
x4=65.9734460390947x_{4} = 65.9734460390947
x5=9.42477744529557x_{5} = -9.42477744529557
x6=65.9734449870253x_{6} = -65.9734449870253
x7=97.3893717959212x_{7} = 97.3893717959212
x8=65.9734453607004x_{8} = -65.9734453607004
x9=59.6902604578012x_{9} = -59.6902604578012
x10=53.4070745963886x_{10} = -53.4070745963886
x11=84.8230012511693x_{11} = -84.8230012511693
x12=15.7079627593774x_{12} = 15.7079627593774
x13=28.2743343711514x_{13} = 28.2743343711514
x14=59.6902600526626x_{14} = 59.6902600526626
x15=65.9734452390837x_{15} = 65.9734452390837
x16=47.1238902162437x_{16} = 47.1238902162437
x17=47.1238893275319x_{17} = -47.1238893275319
x18=34.5575195449229x_{18} = 34.5575195449229
x19=78.5398166181283x_{19} = 78.5398166181283
x20=65.9734457649277x_{20} = -65.9734457649277
x21=15.7079634518075x_{21} = 15.7079634518075
x22=53.4070745786761x_{22} = -53.4070745786761
x23=84.8230021335997x_{23} = 84.8230021335997
x24=97.389372581711x_{24} = 97.389372581711
x25=15.7079629803241x_{25} = 15.7079629803241
x26=15.707963957033x_{26} = 15.707963957033
x27=9.42477752082051x_{27} = -9.42477752082051
x28=78.5398160472843x_{28} = -78.5398160472843
x29=59.6902599104079x_{29} = 59.6902599104079
x30=40.8407049800347x_{30} = 40.8407049800347
x31=72.2566308657983x_{31} = -72.2566308657983
x32=15.707962774825x_{32} = -15.707962774825
x33=91.1061873718352x_{33} = 91.1061873718352
x34=28.2743337069329x_{34} = -28.2743337069329
x35=1127.83176318906x_{35} = -1127.83176318906
x36=40.8407042062167x_{36} = 40.8407042062167
x37=59.6902606104322x_{37} = 59.6902606104322
x38=91.1061865667532x_{38} = 91.1061865667532
x39=47.1238901083229x_{39} = -47.1238901083229
x40=34.5575197055812x_{40} = 34.5575197055812
x41=78.5398168194507x_{41} = -78.5398168194507
x42=40.8407049290801x_{42} = -40.8407049290801
x43=53.407075424589x_{43} = 53.407075424589
x44=3.14159295109225x_{44} = -3.14159295109225
x45=53.4070746418597x_{45} = 53.4070746418597
x46=3.14159306054457x_{46} = 3.14159306054457
x47=21.9911490521325x_{47} = -21.9911490521325
x48=15.7079632965989x_{48} = -15.7079632965989
x49=72.2566310277176x_{49} = 72.2566310277176
x50=28.2743343914215x_{50} = -28.2743343914215
x51=59.6902599212271x_{51} = -59.6902599212271
x52=72.2566315166773x_{52} = 72.2566315166773
x53=21.9911489072506x_{53} = 21.9911489072506
x54=53.4070766553897x_{54} = 53.4070766553897
x55=78.5398168562347x_{55} = 78.5398168562347
x56=40.8407045792514x_{56} = 40.8407045792514
x57=21.9911480932338x_{57} = 21.9911480932338
x58=84.8230020565447x_{58} = -84.8230020565447
x59=97.3893716284562x_{59} = -97.3893716284562
x60=28.2743335663982x_{60} = 28.2743335663982
x61=34.5575196658297x_{61} = -34.5575196658297
x62=28.2743340989896x_{62} = -28.2743340989896
x63=34.5575190219169x_{63} = 34.5575190219169
x64=9.42477826738203x_{64} = 9.42477826738203
x65=78.5398152766482x_{65} = 78.5398152766482
x66=65.9734461969855x_{66} = -65.9734461969855
x67=28.2743338651796x_{67} = 28.2743338651796
x68=40.8407045848602x_{68} = 40.8407045848602
x69=21.9911485852059x_{69} = 21.9911485852059
x70=97.3893724533348x_{70} = -97.3893724533348
x71=53.407075294995x_{71} = -53.407075294995
x72=91.106187265474x_{72} = -91.106187265474
x73=21.9911485864417x_{73} = -21.9911485864417
x74=59.6902606928653x_{74} = -59.6902606928653
x75=40.8407040952604x_{75} = -40.8407040952604
x76=47.123889410773x_{76} = 47.123889410773
x77=72.2566306985x_{77} = 72.2566306985
x78=72.2566315419804x_{78} = -72.2566315419804
x79=9.42477748794163x_{79} = 9.42477748794163
x80=15.7079635641079x_{80} = -15.7079635641079
x81=3.14159217367683x_{81} = -3.14159217367683
x82=97.3893717476911x_{82} = -97.3893717476911
x83=72.2566311847166x_{83} = -72.2566311847166
x84=40.8407049008781x_{84} = -40.8407049008781
x85=21.991148226056x_{85} = -21.991148226056
x86=84.8230013636028x_{86} = 84.8230013636028
x87=78.5398149750205x_{87} = 78.5398149750205
x88=3.1415922548952x_{88} = 3.1415922548952
x89=91.1061864815274x_{89} = -91.1061864815274
x90=34.5575188899093x_{90} = -34.5575188899093
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в cos(x) + 1.
cos(0)+1\cos{\left(0 \right)} + 1
Результат:
f(0)=2f{\left(0 \right)} = 2
Точка:
(0, 2)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
первая производная
sin(x)=0- \sin{\left(x \right)} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Зн. экстремумы в точках:
(0, 2)

(pi, 0)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x1=πx_{1} = \pi
Максимумы функции в точках:
x1=0x_{1} = 0
Убывает на промежутках
(,0][π,)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)
Возрастает на промежутках
[0,π]\left[0, \pi\right]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
вторая производная
cos(x)=0- \cos{\left(x \right)} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[π2,3π2]\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]
Выпуклая на промежутках
(,π2][3π2,)\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limx(cos(x)+1)=0,2\lim_{x \to -\infty}\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) = \left\langle 0, 2\right\rangle
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=0,2y = \left\langle 0, 2\right\rangle
limx(cos(x)+1)=0,2\lim_{x \to \infty}\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) = \left\langle 0, 2\right\rangle
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=0,2y = \left\langle 0, 2\right\rangle
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(x) + 1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(cos(x)+1x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{x}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
limx(cos(x)+1x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)} + 1}{x}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
cos(x)+1=cos(x)+1\cos{\left(x \right)} + 1 = \cos{\left(x \right)} + 1
- Да
cos(x)+1=cos(x)1\cos{\left(x \right)} + 1 = - \cos{\left(x \right)} - 1
- Нет
значит, функция
является
чётной
График
График функции y = cos(x)+1 /media/krcore-image-pods/hash/xy/e/88/766a79cffe61fdb6d9cb4e47655fa.png