График функции y = cos(x)+(sin(x)^2)

Вы ввели

                   2   
f(x) = cos(x) + sin (x)

$$f{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2 + \sqrt{5}} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2 + \sqrt{5}} \right)}$$
Численное решение
$$x_{1} = -14.8034063736466$$
$$x_{2} = -10.3293348550718$$
$$x_{3} = -33.6529622951853$$
$$x_{4} = 102.768000674161$$
$$x_{5} = -66.878002619688$$
$$x_{6} = 85.7275585412268$$
$$x_{7} = -4.04614954789217$$
$$x_{8} = 33.6529622951853$$
$$x_{9} = 27.3697769880058$$
$$x_{10} = 65.0688888310833$$
$$x_{11} = -52.5025182167241$$
$$x_{12} = -16.6125201622513$$
$$x_{13} = 92.0107438484064$$
$$x_{14} = 2.23703575928741$$
$$x_{15} = 29.1788907766105$$
$$x_{16} = -46.2193329095445$$
$$x_{17} = -54.3116320053289$$
$$x_{18} = 60.5948173125085$$
$$x_{19} = 96.4848153669812$$
$$x_{20} = 14.8034063736466$$
$$x_{21} = 77.6352594454424$$
$$x_{22} = -2.23703575928741$$
$$x_{23} = 52.5025182167241$$
$$x_{24} = 16.6125201622513$$
$$x_{25} = -8.520221066467$$
$$x_{26} = -102.768000674161$$
$$x_{27} = 66.878002619688$$
$$x_{28} = -85.7275585412268$$
$$x_{29} = -442.060007261858$$
$$x_{30} = 4.04614954789217$$
$$x_{31} = -96.4848153669812$$
$$x_{32} = -27.3697769880058$$
$$x_{33} = 46.2193329095445$$
$$x_{34} = -73.1611879268676$$
$$x_{35} = 48.0284466981493$$
$$x_{36} = -48.0284466981493$$
$$x_{37} = -41.7452613909697$$
$$x_{38} = -58.7857035239037$$
$$x_{39} = -98.293929155586$$
$$x_{40} = 21.0865916808262$$
$$x_{41} = 39.9361476023649$$
$$x_{42} = 90.2016300598016$$
$$x_{43} = 41.7452613909697$$
$$x_{44} = -22.8957054694309$$
$$x_{45} = 98.293929155586$$
$$x_{46} = -92.0107438484064$$
$$x_{47} = 10.3293348550718$$
$$x_{48} = 79.4443732340472$$
$$x_{49} = 73.1611879268676$$
$$x_{50} = -83.918444752622$$
$$x_{51} = -39.9361476023649$$
$$x_{52} = 83.918444752622$$
$$x_{53} = -35.4620760837901$$
$$x_{54} = 8.520221066467$$
$$x_{55} = -77.6352594454424$$
$$x_{56} = 35.4620760837901$$
$$x_{57} = 54.3116320053289$$
$$x_{58} = -90.2016300598016$$
$$x_{59} = -29.1788907766105$$
$$x_{60} = -60.5948173125085$$
$$x_{61} = 58.7857035239037$$
$$x_{62} = -71.3520741382629$$
$$x_{63} = -79.4443732340472$$
$$x_{64} = 22.8957054694309$$
$$x_{65} = 71.3520741382629$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в cos(x) + sin(x)^2.
$$\sin^{2}{\left(0 \right)} + \cos{\left(0 \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 1)

 -pi       
(----, 5/4)
  3        

 pi      
(--, 5/4)
 3       

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{1} = \frac{\pi}{3}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{3}\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{3}, \infty\right)$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- 2 \sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{6 - \sqrt{33}}}{3} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{6 - \sqrt{33}}}{3} \right)}$$
$$x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{\sqrt{33} + 6}}{3} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{\sqrt{33} + 6}}{3} \right)}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{\sqrt{33} + 6}}{3} \right)}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{6 - \sqrt{33}}}{3} \right)}\right] \cup \left[2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{6 - \sqrt{33}}}{3} \right)}, 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \sqrt{\sqrt{33} + 6}}{3} \right)}\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 2\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 2\right\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(x) + sin(x)^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$$
- Да
$$\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = - \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной

График