График функции y = cos(x)+34^x

Вы ввели

                  x
f(x) = cos(x) + 34 

$$f{\left (x \right )} = 34^{x} + \cos{\left (x \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$34^{x} + \cos{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Численное решение
$$x_{1} = -54.9778714378$$
$$x_{2} = -7.85398163398$$
$$x_{3} = -95.8185759345$$
$$x_{4} = -17.2787595947$$
$$x_{5} = -70.6858347058$$
$$x_{6} = -89.5353906273$$
$$x_{7} = -32.9867228627$$
$$x_{8} = -48.6946861306$$
$$x_{9} = -80.1106126665$$
$$x_{10} = -42.4115008235$$
$$x_{11} = -58.1194640914$$
$$x_{12} = -36.1283155163$$
$$x_{13} = -64.4026493986$$
$$x_{14} = -4.7123889197$$
$$x_{15} = -92.6769832809$$
$$x_{16} = -14.1371669412$$
$$x_{17} = -39.2699081699$$
$$x_{18} = -1.57467267766$$
$$x_{19} = -73.8274273594$$
$$x_{20} = -26.7035375555$$
$$x_{21} = -83.2522053201$$
$$x_{22} = -98.9601685881$$
$$x_{23} = -45.5530934771$$
$$x_{24} = -51.8362787842$$
$$x_{25} = -67.5442420522$$
$$x_{26} = -61.261056745$$
$$x_{27} = -86.3937979737$$
$$x_{28} = -20.4203522483$$
$$x_{29} = -76.9690200129$$
$$x_{30} = -10.9955742876$$
$$x_{31} = -23.5619449019$$
$$x_{32} = -29.8451302091$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в cos(x) + 34^x.
$$\cos{\left (0 \right )} + 34^{0}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 2$$
Точка:

(0, 2)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$34^{x} \log{\left (34 \right )} - \sin{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -94.2477796077$$
$$x_{2} = -6.28318530634$$
$$x_{3} = -12.5663706144$$
$$x_{4} = -53.407075111$$
$$x_{5} = -59.6902604182$$
$$x_{6} = -25.1327412287$$
$$x_{7} = -43.9822971503$$
$$x_{8} = -81.6814089933$$
$$x_{9} = -34.5575191895$$
$$x_{10} = -31.4159265359$$
$$x_{11} = -91.1061869541$$
$$x_{12} = -75.3982236862$$
$$x_{13} = -69.115038379$$
$$x_{14} = -9.42477796077$$
$$x_{15} = -65.9734457254$$
$$x_{16} = -87.9645943005$$
$$x_{17} = -72.2566310326$$
$$x_{18} = -84.8230016469$$
$$x_{19} = -50.2654824574$$
$$x_{20} = -56.5486677646$$
$$x_{21} = -232.477856366$$
$$x_{22} = -2642.07942167$$
$$x_{23} = -47.1238898038$$
$$x_{24} = -62.8318530718$$
$$x_{25} = -18.8495559215$$
$$x_{26} = -21.9911485751$$
$$x_{27} = -37.6991118431$$
$$x_{28} = -97.3893722613$$
$$x_{29} = -100.530964915$$
$$x_{30} = -15.7079632679$$
$$x_{31} = -113.097335529$$
$$x_{32} = -78.5398163397$$
$$x_{33} = -40.8407044967$$
$$x_{34} = -3.14164709889$$
$$x_{35} = -28.2743338823$$
Зн. экстремумы в точках:

(-94.2477796077, 1)

(-6.28318530634, 1.00000000023847)

(-12.5663706144, 1)

(-53.407075111, -1)

(-59.6902604182, -1)

(-25.1327412287, 1)

(-43.9822971503, 1)

(-81.6814089933, 1)

(-34.5575191895, -1)

(-31.4159265359, 1)

(-91.1061869541, -1)

(-75.3982236862, 1)

(-69.115038379, 1)

(-9.42477796077, -0.999999999999996)

(-65.9734457254, -1)

(-87.9645943005, 1)

(-72.2566310326, -1)

(-84.8230016469, -1)

(-50.2654824574, 1)

(-56.5486677646, 1)

(-232.477856366, 1)

(-2642.07942167, -1)

(-47.1238898038, -1)

(-62.8318530718, 1)

(-18.8495559215, 1)

(-21.9911485751, -1)

(-37.6991118431, 1)

(-97.3893722613, -1)

(-100.530964915, 1)

(-15.7079632679, -1)

(-113.097335529, 1)

(-78.5398163397, -1)

(-40.8407044967, -1)

(-3.14164709889, -0.999984559001095)

(-28.2743338823, -1)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{35} = -53.407075111$$
$$x_{35} = -59.6902604182$$
$$x_{35} = -34.5575191895$$
$$x_{35} = -91.1061869541$$
$$x_{35} = -9.42477796077$$
$$x_{35} = -65.9734457254$$
$$x_{35} = -72.2566310326$$
$$x_{35} = -84.8230016469$$
$$x_{35} = -2642.07942167$$
$$x_{35} = -47.1238898038$$
$$x_{35} = -21.9911485751$$
$$x_{35} = -97.3893722613$$
$$x_{35} = -15.7079632679$$
$$x_{35} = -78.5398163397$$
$$x_{35} = -40.8407044967$$
$$x_{35} = -3.14164709889$$
$$x_{35} = -28.2743338823$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{35} = -94.2477796077$$
$$x_{35} = -6.28318530634$$
$$x_{35} = -12.5663706144$$
$$x_{35} = -25.1327412287$$
$$x_{35} = -43.9822971503$$
$$x_{35} = -81.6814089933$$
$$x_{35} = -31.4159265359$$
$$x_{35} = -75.3982236862$$
$$x_{35} = -69.115038379$$
$$x_{35} = -87.9645943005$$
$$x_{35} = -50.2654824574$$
$$x_{35} = -56.5486677646$$
$$x_{35} = -232.477856366$$
$$x_{35} = -62.8318530718$$
$$x_{35} = -18.8495559215$$
$$x_{35} = -37.6991118431$$
$$x_{35} = -100.530964915$$
$$x_{35} = -113.097335529$$
Убывает на промежутках

[-3.14164709889, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, -2642.07942167]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$34^{x} \log^{2}{\left (34 \right )} - \cos{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -54.9778714378$$
$$x_{2} = -95.8185759345$$
$$x_{3} = -17.2787595947$$
$$x_{4} = -70.6858347058$$
$$x_{5} = -89.5353906273$$
$$x_{6} = -32.9867228627$$
$$x_{7} = -48.6946861306$$
$$x_{8} = -80.1106126665$$
$$x_{9} = -42.4115008235$$
$$x_{10} = -58.1194640914$$
$$x_{11} = -36.1283155163$$
$$x_{12} = -64.4026493986$$
$$x_{13} = -92.6769832809$$
$$x_{14} = -14.1371669412$$
$$x_{15} = -1.5102650946$$
$$x_{16} = -39.2699081699$$
$$x_{17} = -7.85398163396$$
$$x_{18} = -73.8274273594$$
$$x_{19} = -26.7035375555$$
$$x_{20} = -83.2522053201$$
$$x_{21} = -98.9601685881$$
$$x_{22} = -45.5530934771$$
$$x_{23} = -51.8362787842$$
$$x_{24} = -67.5442420522$$
$$x_{25} = -0.82462036117$$
$$x_{26} = -4.712389735$$
$$x_{27} = -61.261056745$$
$$x_{28} = -86.3937979737$$
$$x_{29} = -20.4203522483$$
$$x_{30} = -76.9690200129$$
$$x_{31} = -10.9955742876$$
$$x_{32} = -23.5619449019$$
$$x_{33} = -29.8451302091$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[-0.82462036117, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -98.9601685881]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(34^{x} + \cos{\left (x \right )}\right) = \langle -1, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -1, 1\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(34^{x} + \cos{\left (x \right )}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(x) + 34^x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(34^{x} + \cos{\left (x \right )}\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(34^{x} + \cos{\left (x \right )}\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$34^{x} + \cos{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )} + 34^{- x}$$
- Нет
$$34^{x} + \cos{\left (x \right )} = - \cos{\left (x \right )} - 34^{- x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной