Графики функций/ Построение в 2D/ y = cos(x)+34^x

График функции y = cos(x)+34^x

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Примеры
v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
                  x
f(x) = cos(x) + 34
f(x)=34x+cos⁡(x)f{\left (x \right )} = 34^{x} + \cos{\left (x \right )}
График функции
-27500-25000-22500-20000-17500-15000-12500-10000-7500-5000-25002-2
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
34x+cos⁡(x)=034^{x} + \cos{\left (x \right )} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Численное решение
x1=−54.9778714378x_{1} = -54.9778714378
x2=−7.85398163398x_{2} = -7.85398163398
x3=−95.8185759345x_{3} = -95.8185759345
x4=−17.2787595947x_{4} = -17.2787595947
x5=−70.6858347058x_{5} = -70.6858347058
x6=−89.5353906273x_{6} = -89.5353906273
x7=−32.9867228627x_{7} = -32.9867228627
x8=−48.6946861306x_{8} = -48.6946861306
x9=−80.1106126665x_{9} = -80.1106126665
x10=−42.4115008235x_{10} = -42.4115008235
x11=−58.1194640914x_{11} = -58.1194640914
x12=−36.1283155163x_{12} = -36.1283155163
x13=−64.4026493986x_{13} = -64.4026493986
x14=−4.7123889197x_{14} = -4.7123889197
x15=−92.6769832809x_{15} = -92.6769832809
x16=−14.1371669412x_{16} = -14.1371669412
x17=−39.2699081699x_{17} = -39.2699081699
x18=−1.57467267766x_{18} = -1.57467267766
x19=−73.8274273594x_{19} = -73.8274273594
x20=−26.7035375555x_{20} = -26.7035375555
x21=−83.2522053201x_{21} = -83.2522053201
x22=−98.9601685881x_{22} = -98.9601685881
x23=−45.5530934771x_{23} = -45.5530934771
x24=−51.8362787842x_{24} = -51.8362787842
x25=−67.5442420522x_{25} = -67.5442420522
x26=−61.261056745x_{26} = -61.261056745
x27=−86.3937979737x_{27} = -86.3937979737
x28=−20.4203522483x_{28} = -20.4203522483
x29=−76.9690200129x_{29} = -76.9690200129
x30=−10.9955742876x_{30} = -10.9955742876
x31=−23.5619449019x_{31} = -23.5619449019
x32=−29.8451302091x_{32} = -29.8451302091
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в cos(x) + 34^x.
cos⁡(0)+340\cos{\left (0 \right )} + 34^{0}
Результат:
f(0)=2f{\left (0 \right )} = 2
Точка:
(0, 2)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
34xlog⁡(34)−sin⁡(x)=034^{x} \log{\left (34 \right )} - \sin{\left (x \right )} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=−94.2477796077x_{1} = -94.2477796077
x2=−6.28318530634x_{2} = -6.28318530634
x3=−12.5663706144x_{3} = -12.5663706144
x4=−53.407075111x_{4} = -53.407075111
x5=−59.6902604182x_{5} = -59.6902604182
x6=−25.1327412287x_{6} = -25.1327412287
x7=−43.9822971503x_{7} = -43.9822971503
x8=−81.6814089933x_{8} = -81.6814089933
x9=−34.5575191895x_{9} = -34.5575191895
x10=−31.4159265359x_{10} = -31.4159265359
x11=−91.1061869541x_{11} = -91.1061869541
x12=−75.3982236862x_{12} = -75.3982236862
x13=−69.115038379x_{13} = -69.115038379
x14=−9.42477796077x_{14} = -9.42477796077
x15=−65.9734457254x_{15} = -65.9734457254
x16=−87.9645943005x_{16} = -87.9645943005
x17=−72.2566310326x_{17} = -72.2566310326
x18=−84.8230016469x_{18} = -84.8230016469
x19=−50.2654824574x_{19} = -50.2654824574
x20=−56.5486677646x_{20} = -56.5486677646
x21=−232.477856366x_{21} = -232.477856366
x22=−2642.07942167x_{22} = -2642.07942167
x23=−47.1238898038x_{23} = -47.1238898038
x24=−62.8318530718x_{24} = -62.8318530718
x25=−18.8495559215x_{25} = -18.8495559215
x26=−21.9911485751x_{26} = -21.9911485751
x27=−37.6991118431x_{27} = -37.6991118431
x28=−97.3893722613x_{28} = -97.3893722613
x29=−100.530964915x_{29} = -100.530964915
x30=−15.7079632679x_{30} = -15.7079632679
x31=−113.097335529x_{31} = -113.097335529
x32=−78.5398163397x_{32} = -78.5398163397
x33=−40.8407044967x_{33} = -40.8407044967
x34=−3.14164709889x_{34} = -3.14164709889
x35=−28.2743338823x_{35} = -28.2743338823
Зн. экстремумы в точках:
(-94.2477796077, 1)

(-6.28318530634, 1.00000000023847)

(-12.5663706144, 1)

(-53.407075111, -1)

(-59.6902604182, -1)

(-25.1327412287, 1)

(-43.9822971503, 1)

(-81.6814089933, 1)

(-34.5575191895, -1)

(-31.4159265359, 1)

(-91.1061869541, -1)

(-75.3982236862, 1)

(-69.115038379, 1)

(-9.42477796077, -0.999999999999996)

(-65.9734457254, -1)

(-87.9645943005, 1)

(-72.2566310326, -1)

(-84.8230016469, -1)

(-50.2654824574, 1)

(-56.5486677646, 1)

(-232.477856366, 1)

(-2642.07942167, -1)

(-47.1238898038, -1)

(-62.8318530718, 1)

(-18.8495559215, 1)

(-21.9911485751, -1)

(-37.6991118431, 1)

(-97.3893722613, -1)

(-100.530964915, 1)

(-15.7079632679, -1)

(-113.097335529, 1)

(-78.5398163397, -1)

(-40.8407044967, -1)

(-3.14164709889, -0.999984559001095)

(-28.2743338823, -1)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x35=−53.407075111x_{35} = -53.407075111
x35=−59.6902604182x_{35} = -59.6902604182
x35=−34.5575191895x_{35} = -34.5575191895
x35=−91.1061869541x_{35} = -91.1061869541
x35=−9.42477796077x_{35} = -9.42477796077
x35=−65.9734457254x_{35} = -65.9734457254
x35=−72.2566310326x_{35} = -72.2566310326
x35=−84.8230016469x_{35} = -84.8230016469
x35=−2642.07942167x_{35} = -2642.07942167
x35=−47.1238898038x_{35} = -47.1238898038
x35=−21.9911485751x_{35} = -21.9911485751
x35=−97.3893722613x_{35} = -97.3893722613
x35=−15.7079632679x_{35} = -15.7079632679
x35=−78.5398163397x_{35} = -78.5398163397
x35=−40.8407044967x_{35} = -40.8407044967
x35=−3.14164709889x_{35} = -3.14164709889
x35=−28.2743338823x_{35} = -28.2743338823
Максимумы функции в точках:
x35=−94.2477796077x_{35} = -94.2477796077
x35=−6.28318530634x_{35} = -6.28318530634
x35=−12.5663706144x_{35} = -12.5663706144
x35=−25.1327412287x_{35} = -25.1327412287
x35=−43.9822971503x_{35} = -43.9822971503
x35=−81.6814089933x_{35} = -81.6814089933
x35=−31.4159265359x_{35} = -31.4159265359
x35=−75.3982236862x_{35} = -75.3982236862
x35=−69.115038379x_{35} = -69.115038379
x35=−87.9645943005x_{35} = -87.9645943005
x35=−50.2654824574x_{35} = -50.2654824574
x35=−56.5486677646x_{35} = -56.5486677646
x35=−232.477856366x_{35} = -232.477856366
x35=−62.8318530718x_{35} = -62.8318530718
x35=−18.8495559215x_{35} = -18.8495559215
x35=−37.6991118431x_{35} = -37.6991118431
x35=−100.530964915x_{35} = -100.530964915
x35=−113.097335529x_{35} = -113.097335529
Убывает на промежутках
[-3.14164709889, oo)

Возрастает на промежутках
(-oo, -2642.07942167]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
34xlog⁡2(34)−cos⁡(x)=034^{x} \log^{2}{\left (34 \right )} - \cos{\left (x \right )} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=−54.9778714378x_{1} = -54.9778714378
x2=−95.8185759345x_{2} = -95.8185759345
x3=−17.2787595947x_{3} = -17.2787595947
x4=−70.6858347058x_{4} = -70.6858347058
x5=−89.5353906273x_{5} = -89.5353906273
x6=−32.9867228627x_{6} = -32.9867228627
x7=−48.6946861306x_{7} = -48.6946861306
x8=−80.1106126665x_{8} = -80.1106126665
x9=−42.4115008235x_{9} = -42.4115008235
x10=−58.1194640914x_{10} = -58.1194640914
x11=−36.1283155163x_{11} = -36.1283155163
x12=−64.4026493986x_{12} = -64.4026493986
x13=−92.6769832809x_{13} = -92.6769832809
x14=−14.1371669412x_{14} = -14.1371669412
x15=−1.5102650946x_{15} = -1.5102650946
x16=−39.2699081699x_{16} = -39.2699081699
x17=−7.85398163396x_{17} = -7.85398163396
x18=−73.8274273594x_{18} = -73.8274273594
x19=−26.7035375555x_{19} = -26.7035375555
x20=−83.2522053201x_{20} = -83.2522053201
x21=−98.9601685881x_{21} = -98.9601685881
x22=−45.5530934771x_{22} = -45.5530934771
x23=−51.8362787842x_{23} = -51.8362787842
x24=−67.5442420522x_{24} = -67.5442420522
x25=−0.82462036117x_{25} = -0.82462036117
x26=−4.712389735x_{26} = -4.712389735
x27=−61.261056745x_{27} = -61.261056745
x28=−86.3937979737x_{28} = -86.3937979737
x29=−20.4203522483x_{29} = -20.4203522483
x30=−76.9690200129x_{30} = -76.9690200129
x31=−10.9955742876x_{31} = -10.9955742876
x32=−23.5619449019x_{32} = -23.5619449019
x33=−29.8451302091x_{33} = -29.8451302091

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[-0.82462036117, oo)

Выпуклая на промежутках
(-oo, -98.9601685881]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
lim⁡x→−∞(34x+cos⁡(x))=⟨−1,1⟩\lim_{x \to -\infty}\left(34^{x} + \cos{\left (x \right )}\right) = \langle -1, 1\rangle
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=⟨−1,1⟩y = \langle -1, 1\rangle
lim⁡x→∞(34x+cos⁡(x))=∞\lim_{x \to \infty}\left(34^{x} + \cos{\left (x \right )}\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(x) + 34^x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
lim⁡x→−∞(1x(34x+cos⁡(x)))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(34^{x} + \cos{\left (x \right )}\right)\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
lim⁡x→∞(1x(34x+cos⁡(x)))=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(34^{x} + \cos{\left (x \right )}\right)\right) = \infty
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
34x+cos⁡(x)=cos⁡(x)+34−x34^{x} + \cos{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )} + 34^{- x}
- Нет
34x+cos⁡(x)=−cos⁡(x)−34−x34^{x} + \cos{\left (x \right )} = - \cos{\left (x \right )} - 34^{- x}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной