График функции y = cos(x)*sin(x)

Вы ввели

f(x) = cos(x)*sin(x)

$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \pi$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 64.4026493985908$$
$$x_{2} = 73.8274273593601$$
$$x_{3} = 89.5353906273091$$
$$x_{4} = 56.5486677646163$$
$$x_{5} = 81.6814089933346$$
$$x_{6} = 48.6946861306418$$
$$x_{7} = 80.1106126665397$$
$$x_{8} = -6.28318530717959$$
$$x_{9} = -89.5353906273091$$
$$x_{10} = -59.6902604182061$$
$$x_{11} = 87.9645943005142$$
$$x_{12} = -58.1194640914112$$
$$x_{13} = 100.530964914873$$
$$x_{14} = -37.6991118430775$$
$$x_{15} = 23.5619449019235$$
$$x_{16} = 92.6769832808989$$
$$x_{17} = 590.619418874881$$
$$x_{18} = 36.1283155162826$$
$$x_{19} = 4.71238898038469$$
$$x_{20} = 65.9734457253857$$
$$x_{21} = -40.8407044966673$$
$$x_{22} = -50.2654824574367$$
$$x_{23} = 15.707963267949$$
$$x_{24} = 12.5663706143592$$
$$x_{25} = 26.7035375555132$$
$$x_{26} = 59.6902604182061$$
$$x_{27} = -51.8362787842316$$
$$x_{28} = -1.5707963267949$$
$$x_{29} = -23.5619449019235$$
$$x_{30} = -45.553093477052$$
$$x_{31} = -64.4026493985908$$
$$x_{32} = -73.8274273593601$$
$$x_{33} = -14.1371669411541$$
$$x_{34} = -31.4159265358979$$
$$x_{35} = 58.1194640914112$$
$$x_{36} = -48.6946861306418$$
$$x_{37} = -9.42477796076938$$
$$x_{38} = -53.4070751110265$$
$$x_{39} = -75.398223686155$$
$$x_{40} = 21.9911485751286$$
$$x_{41} = -17.2787595947439$$
$$x_{42} = 50.2654824574367$$
$$x_{43} = 51.8362787842316$$
$$x_{44} = -97.3893722612836$$
$$x_{45} = -15.707963267949$$
$$x_{46} = 70.6858347057703$$
$$x_{47} = -83.2522053201295$$
$$x_{48} = -7.85398163397448$$
$$x_{49} = 7.85398163397448$$
$$x_{50} = -67.5442420521806$$
$$x_{51} = -61.261056745001$$
$$x_{52} = -29.845130209103$$
$$x_{53} = 45.553093477052$$
$$x_{54} = 28.2743338823081$$
$$x_{55} = 43.9822971502571$$
$$x_{56} = -119.380520836412$$
$$x_{57} = 113.097335529233$$
$$x_{58} = -21.9911485751286$$
$$x_{59} = 94.2477796076938$$
$$x_{60} = -87.9645943005142$$
$$x_{61} = 37.6991118430775$$
$$x_{62} = -28.2743338823081$$
$$x_{63} = -42.4115008234622$$
$$x_{64} = 95.8185759344887$$
$$x_{65} = 67.5442420521806$$
$$x_{66} = 1.5707963267949$$
$$x_{67} = -65.9734457253857$$
$$x_{68} = -94.2477796076938$$
$$x_{69} = -20.4203522483337$$
$$x_{70} = 6.28318530717959$$
$$x_{71} = 86.3937979737193$$
$$x_{72} = 78.5398163397448$$
$$x_{73} = 14.1371669411541$$
$$x_{74} = -80.1106126665397$$
$$x_{75} = 0$$
$$x_{76} = 29.845130209103$$
$$x_{77} = 72.2566310325652$$
$$x_{78} = 42.4115008234622$$
$$x_{79} = -86.3937979737193$$
$$x_{80} = -39.2699081698724$$
$$x_{81} = -95.8185759344887$$
$$x_{82} = -43.9822971502571$$
$$x_{83} = -483.805268652828$$
$$x_{84} = 20.4203522483337$$
$$x_{85} = -36.1283155162826$$
$$x_{86} = 31.4159265358979$$
$$x_{87} = -81.6814089933346$$
$$x_{88} = -72.2566310325652$$
$$x_{89} = 34.5575191894877$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в cos(x)*sin(x).
$$\sin{\left(0 \right)} \cos{\left(0 \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$- \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
Зн. экстремумы в точках:

 -pi        
(----, -1/2)
  4         

 pi      
(--, 1/2)
 4       

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
Убывает на промежутках
$$\left[- \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$- 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \pi$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\pi, \frac{3 \pi}{2}\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(x)*sin(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$$
- Нет
$$\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной

График