График функции y = cos(x)^(4)

Вы ввели

          4   
f(x) = cos (x)

$$f{\left (x \right )} = \cos^{4}{\left (x \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\cos^{4}{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 29.8456391716$$
$$x_{2} = 80.1114831041$$
$$x_{3} = -61.2608756651$$
$$x_{4} = -89.5359774769$$
$$x_{5} = -14.1367106446$$
$$x_{6} = 51.8368135304$$
$$x_{7} = -7.85359055633$$
$$x_{8} = -45.5536354157$$
$$x_{9} = -36.127886119$$
$$x_{10} = -83.2518382113$$
$$x_{11} = -23.562464131$$
$$x_{12} = 20.4198789485$$
$$x_{13} = 36.1288337411$$
$$x_{14} = 95.819161195$$
$$x_{15} = 58.1200312868$$
$$x_{16} = -67.5448065309$$
$$x_{17} = -29.8448005951$$
$$x_{18} = -95.8183696554$$
$$x_{19} = -39.2699360041$$
$$x_{20} = 73.8279875351$$
$$x_{21} = 67.5449867319$$
$$x_{22} = 86.3933948455$$
$$x_{23} = 26.7027138657$$
$$x_{24} = -17.2790214735$$
$$x_{25} = 7.85446444955$$
$$x_{26} = -73.8271872273$$
$$x_{27} = 4.71186425027$$
$$x_{28} = -51.8359986082$$
$$x_{29} = -58.1190619807$$
$$x_{30} = 29.8446819952$$
$$x_{31} = 14.1376276021$$
$$x_{32} = -80.110238235$$
$$x_{33} = 89.5358464045$$
$$x_{34} = -1.57129267637$$
$$x_{35} = 64.4022227095$$
$$x_{36} = 42.4110507438$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в cos(x)^4.
$$\cos^{4}{\left (0 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- 4 \sin{\left (x \right )} \cos^{3}{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \pi$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 1)

 pi    
(--, 0)
 2     

(pi, 1)

 3*pi    
(----, 0)
  2      

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{4} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{4} = 0$$
$$x_{4} = \pi$$
Убывает на промежутках

[3*pi/2, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, pi/2] U [pi, 3*pi/2]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$4 \left(3 \sin^{2}{\left (x \right )} - \cos^{2}{\left (x \right )}\right) \cos^{2}{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{5} = - 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{3} + 2 \right )}$$
$$x_{6} = 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{3} + 2 \right )}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[-2*atan(sqrt(3) + 2), -pi/6] U [pi/6, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -2*atan(sqrt(3) + 2)]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \cos^{4}{\left (x \right )} = \langle 0, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle 0, 1\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \cos^{4}{\left (x \right )} = \langle 0, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle 0, 1\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(x)^4, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \cos^{4}{\left (x \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \cos^{4}{\left (x \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\cos^{4}{\left (x \right )} = \cos^{4}{\left (x \right )}$$
- Да
$$\cos^{4}{\left (x \right )} = - \cos^{4}{\left (x \right )}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной