График функции y = cos(x)^2

Вы ввели

          2   
f(x) = cos (x)

$$f{\left(x \right)} = \cos^{2}{\left(x \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\cos^{2}{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 32.986722928111$$
$$x_{2} = 73.8274274795554$$
$$x_{3} = 45.553093700501$$
$$x_{4} = -61.2610569641117$$
$$x_{5} = -98.960168684456$$
$$x_{6} = -48.6946858738636$$
$$x_{7} = 95.8185760590309$$
$$x_{8} = 80.1106131434937$$
$$x_{9} = -1.57079642969308$$
$$x_{10} = 80.1106126771746$$
$$x_{11} = 17.2787598502655$$
$$x_{12} = 20.4203521497111$$
$$x_{13} = 23.5619451230057$$
$$x_{14} = -51.8362786897497$$
$$x_{15} = 98.9601683381274$$
$$x_{16} = -80.1106125795659$$
$$x_{17} = 29.845130320338$$
$$x_{18} = 36.1283156002139$$
$$x_{19} = -10.9955741902138$$
$$x_{20} = -70.685834448838$$
$$x_{21} = 89.5353908552844$$
$$x_{22} = 86.393797888273$$
$$x_{23} = -26.7035375427973$$
$$x_{24} = 70.6858345016621$$
$$x_{25} = -39.2699083866483$$
$$x_{26} = 76.9690207492347$$
$$x_{27} = -32.9867227513827$$
$$x_{28} = -10.9955745350309$$
$$x_{29} = -17.2787590276524$$
$$x_{30} = 76.9690197631883$$
$$x_{31} = -92.6769831823972$$
$$x_{32} = -70.6858346386357$$
$$x_{33} = -4.71238872430683$$
$$x_{34} = 54.9778714849733$$
$$x_{35} = 64.4026493086922$$
$$x_{36} = -39.2699081528781$$
$$x_{37} = 42.4115007291722$$
$$x_{38} = -89.5353907467661$$
$$x_{39} = 4.71238876848081$$
$$x_{40} = 58.1194644379895$$
$$x_{41} = -45.5530935883361$$
$$x_{42} = -83.2522055415057$$
$$x_{43} = -17.2787598091171$$
$$x_{44} = 10.9955743696636$$
$$x_{45} = 26.7035373461441$$
$$x_{46} = -54.9778713137198$$
$$x_{47} = -98.9601684414698$$
$$x_{48} = -20.4203520321877$$
$$x_{49} = 61.2610566752601$$
$$x_{50} = 83.2522052340866$$
$$x_{51} = -54.9778716831146$$
$$x_{52} = -29.8451300963672$$
$$x_{53} = -32.9867231091652$$
$$x_{54} = -76.9690202568697$$
$$x_{55} = 54.9778711883962$$
$$x_{56} = -92.6769830239371$$
$$x_{57} = -86.393797765473$$
$$x_{58} = 76.9690200400775$$
$$x_{59} = 61.2610569989704$$
$$x_{60} = -23.5619450090417$$
$$x_{61} = -26.7035372990183$$
$$x_{62} = 32.9867226137576$$
$$x_{63} = 541.924732890135$$
$$x_{64} = 10.9955740392793$$
$$x_{65} = -73.8274272800405$$
$$x_{66} = 51.8362788999928$$
$$x_{67} = -58.1194639993376$$
$$x_{68} = 92.6769830795146$$
$$x_{69} = -67.5442421675773$$
$$x_{70} = 48.6946859238715$$
$$x_{71} = 98.9601685932308$$
$$x_{72} = -76.9690198771149$$
$$x_{73} = 17.2787595624179$$
$$x_{74} = 1.5707965454425$$
$$x_{75} = 39.2699084246933$$
$$x_{76} = 23.5619449395428$$
$$x_{77} = 39.2699081179815$$
$$x_{78} = 7.85398174058521$$
$$x_{79} = -64.4026491876462$$
$$x_{80} = -48.6946860920117$$
$$x_{81} = -14.1371668392726$$
$$x_{82} = -61.2610562242523$$
$$x_{83} = 67.5442422779275$$
$$x_{84} = 14.1371671048484$$
$$x_{85} = -98.96016883042$$
$$x_{86} = 83.2522055730903$$
$$x_{87} = -42.4115006098842$$
$$x_{88} = -4.7123889912442$$
$$x_{89} = -7.85398149857354$$
$$x_{90} = -36.1283154192437$$
$$x_{91} = -95.8185758681287$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в cos(x)^2.
$$\cos^{2}{\left(0 \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =$$
первая производная
$$- 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \pi$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 1)

 pi    
(--, 0)
 2     

(pi, 1)

 3*pi    
(----, 0)
  2      

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Убывает на промежутках
$$\left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\pi, \frac{3 \pi}{2}\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =$$
вторая производная
$$2 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \cos^{2}{\left(x \right)} = \left\langle 0, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle 0, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \cos^{2}{\left(x \right)} = \left\langle 0, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle 0, 1\right\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(x)^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\cos^{2}{\left(x \right)} = \cos^{2}{\left(x \right)}$$
- Да
$$\cos^{2}{\left(x \right)} = - \cos^{2}{\left(x \right)}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной

График