График функции y = (cos(x))^2

Вы ввели

          2   
f(x) = cos (x)

$$f{\left (x \right )} = \cos^{2}{\left (x \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\cos^{2}{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 48.6946859239$$
$$x_{2} = -10.995574535$$
$$x_{3} = 92.6769830795$$
$$x_{4} = -48.694686092$$
$$x_{5} = -54.9778713137$$
$$x_{6} = -20.4203520322$$
$$x_{7} = -92.6769831824$$
$$x_{8} = 4.71238876848$$
$$x_{9} = -17.2787598091$$
$$x_{10} = 1.57079654544$$
$$x_{11} = -98.9601688304$$
$$x_{12} = -76.9690198771$$
$$x_{13} = 76.9690197632$$
$$x_{14} = 83.2522052341$$
$$x_{15} = 70.6858345017$$
$$x_{16} = 17.2787595624$$
$$x_{17} = 32.9867229281$$
$$x_{18} = 26.7035373461$$
$$x_{19} = 36.1283156002$$
$$x_{20} = 42.4115007292$$
$$x_{21} = -98.9601686845$$
$$x_{22} = -58.1194639993$$
$$x_{23} = -39.2699083866$$
$$x_{24} = 98.9601685932$$
$$x_{25} = -95.8185758681$$
$$x_{26} = 76.9690207492$$
$$x_{27} = -89.5353907468$$
$$x_{28} = 89.5353908553$$
$$x_{29} = -45.5530935883$$
$$x_{30} = -51.8362786897$$
$$x_{31} = 32.9867226138$$
$$x_{32} = -61.2610562243$$
$$x_{33} = 14.1371671048$$
$$x_{34} = -64.4026491876$$
$$x_{35} = 61.2610566753$$
$$x_{36} = 86.3937978883$$
$$x_{37} = 7.85398174059$$
$$x_{38} = 73.8274274796$$
$$x_{39} = -92.6769830239$$
$$x_{40} = 95.818576059$$
$$x_{41} = -26.7035375428$$
$$x_{42} = -70.6858346386$$
$$x_{43} = 20.4203521497$$
$$x_{44} = -10.9955741902$$
$$x_{45} = -26.703537299$$
$$x_{46} = -39.2699081529$$
$$x_{47} = -32.9867231092$$
$$x_{48} = 541.92473289$$
$$x_{49} = 23.5619449395$$
$$x_{50} = 98.9601683381$$
$$x_{51} = -48.6946858739$$
$$x_{52} = -29.8451300964$$
$$x_{53} = -32.9867227514$$
$$x_{54} = 51.8362789$$
$$x_{55} = -83.2522055415$$
$$x_{56} = 83.2522055731$$
$$x_{57} = -54.9778716831$$
$$x_{58} = 61.261056999$$
$$x_{59} = 10.9955740393$$
$$x_{60} = -14.1371668393$$
$$x_{61} = -70.6858344488$$
$$x_{62} = -1.57079642969$$
$$x_{63} = -67.5442421676$$
$$x_{64} = -80.1106125796$$
$$x_{65} = 29.8451303203$$
$$x_{66} = 10.9955743697$$
$$x_{67} = -4.71238872431$$
$$x_{68} = -7.85398149857$$
$$x_{69} = 39.269908118$$
$$x_{70} = -76.9690202569$$
$$x_{71} = 23.561945123$$
$$x_{72} = -23.561945009$$
$$x_{73} = 80.1106131435$$
$$x_{74} = 45.5530937005$$
$$x_{75} = 54.977871485$$
$$x_{76} = -61.2610569641$$
$$x_{77} = 17.2787598503$$
$$x_{78} = -42.4115006099$$
$$x_{79} = -98.9601684415$$
$$x_{80} = -73.82742728$$
$$x_{81} = -4.71238899124$$
$$x_{82} = 64.4026493087$$
$$x_{83} = 76.9690200401$$
$$x_{84} = 39.2699084247$$
$$x_{85} = -36.1283154192$$
$$x_{86} = -86.3937977655$$
$$x_{87} = 67.5442422779$$
$$x_{88} = 54.9778711884$$
$$x_{89} = 58.119464438$$
$$x_{90} = -17.2787590277$$
$$x_{91} = 80.1106126772$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в cos(x)^2.
$$\cos^{2}{\left (0 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- 2 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \pi$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 1)

 pi    
(--, 0)
 2     

(pi, 1)

 3*pi    
(----, 0)
  2      

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{4} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{4} = 0$$
$$x_{4} = \pi$$
Убывает на промежутках

[3*pi/2, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, pi/2] U [pi, 3*pi/2]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$2 \left(\sin^{2}{\left (x \right )} - \cos^{2}{\left (x \right )}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{4}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[-3*pi/4, -pi/4] U [pi/4, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -3*pi/4]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \cos^{2}{\left (x \right )} = \langle 0, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle 0, 1\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \cos^{2}{\left (x \right )} = \langle 0, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle 0, 1\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(x)^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \cos^{2}{\left (x \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \cos^{2}{\left (x \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\cos^{2}{\left (x \right )} = \cos^{2}{\left (x \right )}$$
- Да
$$\cos^{2}{\left (x \right )} = - \cos^{2}{\left (x \right )}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной