График функции y = cos(x^2)

Вы ввели

          / 2\
f(x) = cos\x /

$$f{\left (x \right )} = \cos{\left (x^{2} \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\cos{\left (x^{2} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi}}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt{6} \sqrt{\pi}}{2}$$
$$x_{4} = \frac{\sqrt{6} \sqrt{\pi}}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 36.0423162721$$
$$x_{2} = 20.2479095537$$
$$x_{3} = -74.2423350301$$
$$x_{4} = 63.9435910678$$
$$x_{5} = 67.736962366$$
$$x_{6} = -65.8556653469$$
$$x_{7} = -29.8962056112$$
$$x_{8} = 70.1296178458$$
$$x_{9} = 23.5476347721$$
$$x_{10} = -63.2520216621$$
$$x_{11} = 41.9626343589$$
$$x_{12} = -3.75994241195$$
$$x_{13} = -33.7930307842$$
$$x_{14} = 58.1813207502$$
$$x_{15} = 80.1827248575$$
$$x_{16} = -97.7504683155$$
$$x_{17} = 114.58746221$$
$$x_{18} = -92.1420324625$$
$$x_{19} = 36.7757479512$$
$$x_{20} = -67.8759576469$$
$$x_{21} = 34.2088185043$$
$$x_{22} = -68.2222069146$$
$$x_{23} = -37.7869535826$$
$$x_{24} = 68.1530977897$$
$$x_{25} = -81.7925519581$$
$$x_{26} = -71.6803654075$$
$$x_{27} = -93.7978156802$$
$$x_{28} = 17.4115964538$$
$$x_{29} = 66.1412713071$$
$$x_{30} = 13.5566651591$$
$$x_{31} = 40.1647585281$$
$$x_{32} = 26.0797777886$$
$$x_{33} = -47.8726627711$$
$$x_{34} = 27.9969170994$$
$$x_{35} = 82.2330723423$$
$$x_{36} = 54.1251803643$$
$$x_{37} = 60.2503967723$$
$$x_{38} = 103.115082971$$
$$x_{39} = -69.7703218907$$
$$x_{40} = 31.3829459564$$
$$x_{41} = -76.1639733395$$
$$x_{42} = -75.895389388$$
$$x_{43} = -79.6323098451$$
$$x_{44} = 56.1199308198$$
$$x_{45} = -46.338737345$$
$$x_{46} = -50.6779241318$$
$$x_{47} = -57.7477324385$$
$$x_{48} = -58.8524077722$$
$$x_{49} = 23.3466555506$$
$$x_{50} = -21.7441875996$$
$$x_{51} = 32.1249620498$$
$$x_{52} = 92.0738169933$$
$$x_{53} = 84.0842093791$$
$$x_{54} = 22.3146238058$$
$$x_{55} = 46.0326432529$$
$$x_{56} = 16.0012437413$$
$$x_{57} = -3.31595752198$$
$$x_{58} = -22.2441192889$$
$$x_{59} = -7.8269442789$$
$$x_{60} = -2.17080376367$$
$$x_{61} = 96.1791015164$$
$$x_{62} = 62.2255007658$$
$$x_{63} = -32.0270198644$$
$$x_{64} = -89.4079555021$$
$$x_{65} = 2.17080376367$$
$$x_{66} = -16.0012437413$$
$$x_{67} = 6.26657068658$$
$$x_{68} = 4.15677273792$$
$$x_{69} = -43.9375543884$$
$$x_{70} = -53.6295447898$$
$$x_{71} = -5.16754657023$$
$$x_{72} = 89.4957567169$$
$$x_{73} = 18.1189522959$$
$$x_{74} = -85.7673550856$$
$$x_{75} = 10.2588183479$$
$$x_{76} = -17.8569777493$$
$$x_{77} = 57.475078732$$
$$x_{78} = -60.5883736019$$
$$x_{79} = -13.7864555105$$
$$x_{80} = -8.77319896121$$
$$x_{81} = -42.0000508927$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в cos(x^2).
$$\cos{\left (0^{2} \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- 2 x \sin{\left (x^{2} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt{\pi}$$
$$x_{3} = \sqrt{\pi}$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 1)

    ____     
(-\/ pi, -1)

   ____     
(\/ pi, -1)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{3} = - \sqrt{\pi}$$
$$x_{3} = \sqrt{\pi}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках

[sqrt(pi), oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, -sqrt(pi)]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$- 2 \left(2 x^{2} \cos{\left (x^{2} \right )} + \sin{\left (x^{2} \right )}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -53.6002486537$$
$$x_{2} = -38.3235554978$$
$$x_{3} = -91.8517671604$$
$$x_{4} = 10.2590498848$$
$$x_{5} = -83.5970868479$$
$$x_{6} = 22.3146463051$$
$$x_{7} = 20.2479396697$$
$$x_{8} = 36.0423216116$$
$$x_{9} = 8.40790743486$$
$$x_{10} = -70.1072165206$$
$$x_{11} = -8.95080183389$$
$$x_{12} = 18.7997496854$$
$$x_{13} = 54.125181941$$
$$x_{14} = -13.3230177429$$
$$x_{15} = -2.19450274956$$
$$x_{16} = 96.0483569951$$
$$x_{17} = -16.0013047615$$
$$x_{18} = 91.8517671604$$
$$x_{19} = 46.0326458158$$
$$x_{20} = -65.8556662222$$
$$x_{21} = -17.8570216542$$
$$x_{22} = -33.7930372624$$
$$x_{23} = -7.82746557123$$
$$x_{24} = 6.26758611849$$
$$x_{25} = 27.9969284916$$
$$x_{26} = 35.4269200396$$
$$x_{27} = 1.35521112863$$
$$x_{28} = 70.1520134668$$
$$x_{29} = -21.7442119165$$
$$x_{30} = -1.35521112863$$
$$x_{31} = -90.0556577728$$
$$x_{32} = 37.0735370545$$
$$x_{33} = 94.215551259$$
$$x_{34} = 26.438704218$$
$$x_{35} = -23.4138597867$$
$$x_{36} = -85.7673554819$$
$$x_{37} = -42.3724023394$$
$$x_{38} = 58.2083140493$$
$$x_{39} = 6.01183407098$$
$$x_{40} = 90.2299142369$$
$$x_{41} = 5.16935647583$$
$$x_{42} = 2.19450274956$$
$$x_{43} = 12.7198707532$$
$$x_{44} = 33.0409428607$$
$$x_{45} = -47.8726650497$$
$$x_{46} = -81.0594911844$$
$$x_{47} = -14.3449206559$$
$$x_{48} = -52.1143649403$$
$$x_{49} = 40.1647623864$$
$$x_{50} = 60.2503979154$$
$$x_{51} = -6.97889329813$$
$$x_{52} = -35.6038344867$$
$$x_{53} = -3.76462907533$$
$$x_{54} = 18.2915584905$$
$$x_{55} = -75.8953899599$$
$$x_{56} = 18.1189943238$$
$$x_{57} = -93.7978159832$$
$$x_{58} = -4.16024524967$$
$$x_{59} = 58.5580782404$$
$$x_{60} = -43.3979845305$$
$$x_{61} = -44.0803279658$$
$$x_{62} = -9.78896285609$$
$$x_{63} = 41.2071732071$$
$$x_{64} = 34.2088247492$$
$$x_{65} = -97.7504685831$$
$$x_{66} = 84.2708150183$$
$$x_{67} = -69.7703226268$$
$$x_{68} = 80.1827253424$$
$$x_{69} = 77.3509100937$$
$$x_{70} = -18.0320929835$$
$$x_{71} = 26.6163455262$$
$$x_{72} = -29.8962149672$$
$$x_{73} = 14.1242217429$$
$$x_{74} = 56.1199322343$$
$$x_{75} = -11.1398805605$$
$$x_{76} = -5.74472561217$$
$$x_{77} = 62.2255018034$$
$$x_{78} = 32.1249695906$$
$$x_{79} = 0$$
$$x_{80} = 55.698500039$$
$$x_{81} = 4.16024524967$$
$$x_{82} = -68.7040251219$$
$$x_{83} = -42.0000542671$$
$$x_{84} = -26.7928090701$$
$$x_{85} = 82.5952088233$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[96.0483569951, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -97.7504685831]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \cos{\left (x^{2} \right )} = \langle -1, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -1, 1\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \cos{\left (x^{2} \right )} = \langle -1, 1\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -1, 1\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(x^2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \cos{\left (x^{2} \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \cos{\left (x^{2} \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\cos{\left (x^{2} \right )} = \cos{\left (x^{2} \right )}$$
- Да
$$\cos{\left (x^{2} \right )} = - \cos{\left (x^{2} \right )}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной