График функции y = cos(x)^(2)+cos(x)

Вы ввели

          2            
f(x) = cos (x) + cos(x)

$$f{\left (x \right )} = \cos^{2}{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\cos^{2}{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \pi$$
$$x_{3} = \frac{3 \pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 65.9734457528$$
$$x_{2} = -95.8185759345$$
$$x_{3} = 76.9690200129$$
$$x_{4} = -15.7079632965$$
$$x_{5} = -32.9867228627$$
$$x_{6} = -34.5575190187$$
$$x_{7} = 36.1283155163$$
$$x_{8} = -92.6769832809$$
$$x_{9} = 80.1106126665$$
$$x_{10} = 10.9955742876$$
$$x_{11} = 23.5619449019$$
$$x_{12} = 51.8362787842$$
$$x_{13} = -78.5398161633$$
$$x_{14} = 14.1371669412$$
$$x_{15} = -51.8362787842$$
$$x_{16} = -91.1061870618$$
$$x_{17} = 47.1238891911$$
$$x_{18} = -7.85398163397$$
$$x_{19} = -76.9690200129$$
$$x_{20} = -23.5619449019$$
$$x_{21} = 48.6946861306$$
$$x_{22} = 29.8451302091$$
$$x_{23} = 42.4115008235$$
$$x_{24} = -54.9778714378$$
$$x_{25} = -114.668131856$$
$$x_{26} = 45.5530934771$$
$$x_{27} = -70.6858347058$$
$$x_{28} = -78.5398161851$$
$$x_{29} = -80.1106126665$$
$$x_{30} = -58.1194640914$$
$$x_{31} = 97.3893724028$$
$$x_{32} = 84.8230014843$$
$$x_{33} = 32.9867228627$$
$$x_{34} = -9.42477811541$$
$$x_{35} = 40.8407043427$$
$$x_{36} = 64.4026493986$$
$$x_{37} = -26.7035375555$$
$$x_{38} = 26.7035375555$$
$$x_{39} = -67.5442420522$$
$$x_{40} = 78.539816196$$
$$x_{41} = -40.8407049448$$
$$x_{42} = 9.42477812421$$
$$x_{43} = -65.9734457651$$
$$x_{44} = -47.1238899313$$
$$x_{45} = -1.57079632679$$
$$x_{46} = -9.42477809808$$
$$x_{47} = 53.4070752649$$
$$x_{48} = -3.14159279608$$
$$x_{49} = 47.1238905157$$
$$x_{50} = 67.5442420522$$
$$x_{51} = 72.2566310277$$
$$x_{52} = 86.3937979737$$
$$x_{53} = -17.2787595947$$
$$x_{54} = -28.2743337272$$
$$x_{55} = -59.6902604575$$
$$x_{56} = -84.8230020187$$
$$x_{57} = -48.6946861306$$
$$x_{58} = 84.8230022547$$
$$x_{59} = -53.4070752705$$
$$x_{60} = -64.4026493986$$
$$x_{61} = -21.9911485826$$
$$x_{62} = -45.5530934771$$
$$x_{63} = 7.85398163397$$
$$x_{64} = -73.8274273594$$
$$x_{65} = -14.1371669412$$
$$x_{66} = -98.9601685881$$
$$x_{67} = 59.6902605835$$
$$x_{68} = 98.9601685881$$
$$x_{69} = -21.9911485865$$
$$x_{70} = -61.261056745$$
$$x_{71} = 34.5575190401$$
$$x_{72} = 3.14159237967$$
$$x_{73} = 91.1061864055$$
$$x_{74} = -72.2566308832$$
$$x_{75} = -97.3893724252$$
$$x_{76} = 20.4203522483$$
$$x_{77} = -29.8451302091$$
$$x_{78} = 3.14159255417$$
$$x_{79} = 15.7079634284$$
$$x_{80} = 61.261056745$$
$$x_{81} = -89.5353906273$$
$$x_{82} = -4.71238898038$$
$$x_{83} = 17.2787595947$$
$$x_{84} = 58.1194640914$$
$$x_{85} = 39.2699081699$$
$$x_{86} = 95.8185759345$$
$$x_{87} = -36.1283155163$$
$$x_{88} = 73.8274273594$$
$$x_{89} = 83.2522053201$$
$$x_{90} = 21.9911485852$$
$$x_{91} = 54.9778714378$$
$$x_{92} = 91.1061877275$$
$$x_{93} = -20.4203522483$$
$$x_{94} = -10.9955742876$$
$$x_{95} = 70.6858347058$$
$$x_{96} = 28.2743338652$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в cos(x)^2 + cos(x).
$$\cos^{2}{\left (0 \right )} + \cos{\left (0 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 2$$
Точка:

(0, 2)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$- 2 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} - \sin{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{3} = \frac{2 \pi}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 2)

 -2*pi       
(-----, -1/4)
   3         

 2*pi       
(----, -1/4)
  3         

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{3} = - \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{3} = \frac{2 \pi}{3}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{3} = 0$$
Убывает на промежутках

[-2*pi/3, 0] U [2*pi/3, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, -2*pi/3] U [0, 2*pi/3]

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$2 \sin^{2}{\left (x \right )} - 2 \cos^{2}{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{- \sqrt{33} + 6} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{- \sqrt{33} + 6} \right )}$$
$$x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{\sqrt{33} + 6} \right )}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{\sqrt{33} + 6} \right )}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[-2*atan(sqrt(sqrt(33) + 6)), -2*atan(sqrt(-sqrt(33) + 6))] U [2*atan(sqrt(-sqrt(33) + 6)), oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -2*atan(sqrt(sqrt(33) + 6))]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\cos^{2}{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right) = \langle -1, 2\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \langle -1, 2\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\cos^{2}{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right) = \langle -1, 2\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \langle -1, 2\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(x)^2 + cos(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(\cos^{2}{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(\cos^{2}{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right)\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\cos^{2}{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} = \cos^{2}{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}$$
- Да
$$\cos^{2}{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} = - \cos^{2}{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной