График функции y = cos(x)^cot(x)

Вы ввели

          cot(x)   
f(x) = cos      (x)

$$f{\left (x \right )} = \cos^{\cot{\left (x \right )}}{\left (x \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\cos^{\cot{\left (x \right )}}{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в cos(x)^cot(x).
$$\cos^{\cot{\left (0 \right )}}{\left (0 \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \mathrm{NaN}$$
- решений у ур-ния нет

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\left(\left(- \cot^{2}{\left (x \right )} - 1\right) \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} - \frac{\sin{\left (x \right )} \cot{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}}\right) \cos^{\cot{\left (x \right )}}{\left (x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -30.3127508587$$
$$x_{2} = -36.5959361658$$
$$x_{3} = -49.1623067802$$
$$x_{4} = -19.9527315988$$
$$x_{5} = -61.7286773946$$
$$x_{6} = 70.2182140562$$
$$x_{7} = 63.935028749$$
$$x_{8} = 26.235916906$$
$$x_{9} = -74.2950480089$$
$$x_{10} = 57.6518434419$$
$$x_{11} = -86.8614186233$$
$$x_{12} = 99.4277892376$$
$$x_{13} = -99.4277892376$$
$$x_{14} = 24.0295655515$$
$$x_{15} = 30.3127508587$$
$$x_{16} = 13.6695462916$$
$$x_{17} = 38.8022875203$$
$$x_{18} = -17.7463802443$$
$$x_{19} = -13.6695462916$$
$$x_{20} = 32.5191022131$$
$$x_{21} = 19.9527315988$$
$$x_{22} = -5.18000962994$$
$$x_{23} = -55.4454920874$$
$$x_{24} = 45.0854728275$$
$$x_{25} = 74.2950480089$$
$$x_{26} = -70.2182140562$$
$$x_{27} = -80.5782333161$$
$$x_{28} = 68.0118627017$$
$$x_{29} = 89.0677699777$$
$$x_{30} = -42.879121473$$
$$x_{31} = 1.10317567724$$
$$x_{32} = 61.7286773946$$
$$x_{33} = 76.5013993634$$
$$x_{34} = 95.3509552849$$
$$x_{35} = -11.4631949371$$
$$x_{36} = -24.0295655515$$
$$x_{37} = 82.7845846706$$
$$x_{38} = 7.38636098442$$
$$x_{39} = 17.7463802443$$
$$x_{40} = -26.235916906$$
$$x_{41} = -63.935028749$$
$$x_{42} = -57.6518434419$$
$$x_{43} = -93.1446039305$$
$$x_{44} = -68.0118627017$$
$$x_{45} = 51.3686581347$$
Зн. экстремумы в точках:

(-30.3127508587, 0.668732485330622)

(-36.5959361658, 0.668732485330622)

(-49.1623067802, 0.668732485330622)

(-19.9527315988, 1.49536626668525)

(-61.7286773946, 0.668732485330622)

(70.2182140562, 0.668732485330622)

(63.935028749, 0.668732485330622)

(26.235916906, 0.668732485330622)

(-74.2950480089, 0.668732485330622)

(57.6518434419, 0.668732485330622)

(-86.8614186233, 0.668732485330622)

(99.4277892376, 1.49536626668525)

(-99.4277892376, 0.668732485330622)

(24.0295655515, 1.49536626668525)

(30.3127508587, 1.49536626668525)

(13.6695462916, 0.668732485330622)

(38.8022875203, 0.668732485330622)

(-17.7463802443, 0.668732485330622)

(-13.6695462916, 1.49536626668525)

(32.5191022131, 0.668732485330622)

(19.9527315988, 0.668732485330622)

(-5.18000962994, 0.668732485330622)

(-55.4454920874, 0.668732485330622)

(45.0854728275, 0.668732485330622)

(74.2950480089, 1.49536626668525)

(-70.2182140562, 1.49536626668525)

(-80.5782333161, 0.668732485330622)

(68.0118627017, 1.49536626668525)

(89.0677699777, 0.668732485330622)

(-42.879121473, 0.668732485330622)

(1.10317567724, 0.668732485330622)

(61.7286773946, 1.49536626668525)

(76.5013993634, 0.668732485330622)

(95.3509552849, 0.668732485330622)

(-11.4631949371, 0.668732485330622)

(-24.0295655515, 0.668732485330622)

(82.7845846706, 0.668732485330622)

(7.38636098442, 0.668732485330622)

(17.7463802443, 1.49536626668525)

(-26.235916906, 1.49536626668525)

(-63.935028749, 1.49536626668525)

(-57.6518434419, 1.49536626668525)

(-93.1446039305, 0.668732485330622)

(-68.0118627017, 0.668732485330622)

(51.3686581347, 0.668732485330622)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{45} = -30.3127508587$$
$$x_{45} = -36.5959361658$$
$$x_{45} = -49.1623067802$$
$$x_{45} = -61.7286773946$$
$$x_{45} = 70.2182140562$$
$$x_{45} = 63.935028749$$
$$x_{45} = 26.235916906$$
$$x_{45} = -74.2950480089$$
$$x_{45} = 57.6518434419$$
$$x_{45} = -86.8614186233$$
$$x_{45} = -99.4277892376$$
$$x_{45} = 13.6695462916$$
$$x_{45} = 38.8022875203$$
$$x_{45} = -17.7463802443$$
$$x_{45} = 32.5191022131$$
$$x_{45} = 19.9527315988$$
$$x_{45} = -5.18000962994$$
$$x_{45} = -55.4454920874$$
$$x_{45} = 45.0854728275$$
$$x_{45} = -80.5782333161$$
$$x_{45} = 89.0677699777$$
$$x_{45} = -42.879121473$$
$$x_{45} = 1.10317567724$$
$$x_{45} = 76.5013993634$$
$$x_{45} = 95.3509552849$$
$$x_{45} = -11.4631949371$$
$$x_{45} = -24.0295655515$$
$$x_{45} = 82.7845846706$$
$$x_{45} = 7.38636098442$$
$$x_{45} = -93.1446039305$$
$$x_{45} = -68.0118627017$$
$$x_{45} = 51.3686581347$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{45} = -19.9527315988$$
$$x_{45} = 99.4277892376$$
$$x_{45} = 24.0295655515$$
$$x_{45} = 30.3127508587$$
$$x_{45} = -13.6695462916$$
$$x_{45} = 74.2950480089$$
$$x_{45} = -70.2182140562$$
$$x_{45} = 68.0118627017$$
$$x_{45} = 61.7286773946$$
$$x_{45} = 17.7463802443$$
$$x_{45} = -26.235916906$$
$$x_{45} = -63.935028749$$
$$x_{45} = -57.6518434419$$
Убывает на промежутках

[95.3509552849, oo)

Возрастает на промежутках

(-oo, -99.4277892376]

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \lim_{x \to -\infty} \cos^{\cot{\left (x \right )}}{\left (x \right )}$$

True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \lim_{x \to \infty} \cos^{\cot{\left (x \right )}}{\left (x \right )}$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(x)^cot(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \cos^{\cot{\left (x \right )}}{\left (x \right )}\right)$$

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \cos^{\cot{\left (x \right )}}{\left (x \right )}\right)$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\cos^{\cot{\left (x \right )}}{\left (x \right )} = \cos^{- \cot{\left (x \right )}}{\left (x \right )}$$
- Нет
$$\cos^{\cot{\left (x \right )}}{\left (x \right )} = - \cos^{- \cot{\left (x \right )}}{\left (x \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной