График функции y = (cos(x))^3

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
          3   
f(x) = cos (x)
f(x)=cos3(x)f{\left(x \right)} = \cos^{3}{\left(x \right)}
График функции
0-80-60-40-20204060802-2
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
cos3(x)=0\cos^{3}{\left(x \right)} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}
Численное решение
x1=86.3937054164085x_{1} = -86.3937054164085
x2=95.818627417042x_{2} = 95.818627417042
x3=36.1282768063468x_{3} = -36.1282768063468
x4=70.6858302611407x_{4} = 70.6858302611407
x5=42.4114617473496x_{5} = 42.4114617473496
x6=42.4114638604687x_{6} = -42.4114638604687
x7=48.6945935926021x_{7} = 48.6945935926021
x8=17.2788562472482x_{8} = -17.2788562472482
x9=86.3937628262857x_{9} = 86.3937628262857
x10=23.5619763533234x_{10} = 23.5619763533234
x11=23.5619897288019x_{11} = -23.5619897288019
x12=83.2523059178598x_{12} = -83.2523059178598
x13=92.6768935770301x_{13} = 92.6768935770301
x14=26.7034598912501x_{14} = 26.7034598912501
x15=20.4203112367381x_{15} = 20.4203112367381
x16=36.128317789764x_{16} = 36.128317789764
x17=83.2523004207065x_{17} = -83.2523004207065
x18=51.8362625267018x_{18} = -51.8362625267018
x19=4.71228651848371x_{19} = 4.71228651848371
x20=67.5443333859623x_{20} = 67.5443333859623
x21=80.1106035284868x_{21} = 80.1106035284868
x22=95.8185603030962x_{22} = -95.8185603030962
x23=14.1371260033657x_{23} = -14.1371260033657
x24=14.1371748405436x_{24} = 14.1371748405436
x25=92.6770895717702x_{25} = -92.6770895717702
x26=42.411405413931x_{26} = -42.411405413931
x27=61.2611560468397x_{27} = -61.2611560468397
x28=92.6770059000324x_{28} = 92.6770059000324
x29=51.8363261592826x_{29} = 51.8363261592826
x30=73.8274768053124x_{30} = 73.8274768053124
x31=45.5531567451367x_{31} = 45.5531567451367
x32=29.8451754771722x_{32} = 29.8451754771722
x33=4.71229368085888x_{33} = 4.71229368085888
x34=20.4202554438585x_{34} = -20.4202554438585
x35=70.6857435758276x_{35} = 70.6857435758276
x36=7.85396939058216x_{36} = -7.85396939058216
x37=1.57080273224359x_{37} = 1.57080273224359
x38=64.4026122770508x_{38} = 64.4026122770508
x39=45.553194340988x_{39} = 45.553194340988
x40=23.5620444336803x_{40} = 23.5620444336803
x41=26.7034436275456x_{41} = 26.7034436275456
x42=67.5442906223714x_{42} = -67.5442906223714
x43=1.57083925518957x_{43} = -1.57083925518957
x44=48.6946439323886x_{44} = 48.6946439323886
x45=1.5708945053691x_{45} = 1.5708945053691
x46=7.85402475701276x_{46} = 7.85402475701276
x47=67.5443442271897x_{47} = 67.5443442271897
x48=89.5354410428862x_{48} = -89.5354410428862
x49=73.827410994311x_{49} = -73.827410994311
x50=20.4203505482106x_{50} = -20.4203505482106
x51=58.1194603256925x_{51} = 58.1194603256925
x52=89.5354940921686x_{52} = 89.5354940921686
x53=64.4025554047934x_{53} = -64.4025554047934
x54=29.8451152214988x_{54} = -29.8451152214988
x55=39.2700061565569x_{55} = -39.2700061565569
x56=58.1194276545353x_{56} = -58.1194276545353
x57=61.2611644481175x_{57} = -61.2611644481175
x58=80.1105785507599x_{58} = -80.1105785507599
x59=45.5531401844306x_{59} = -45.5531401844306
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в cos(x)^3.
cos3(0)\cos^{3}{\left(0 \right)}
Результат:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Точка:
(0, 1)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
первая производная
3sin(x)cos2(x)=0- 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=0x_{1} = 0
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
x3=πx_{3} = \pi
x4=3π2x_{4} = \frac{3 \pi}{2}
Зн. экстремумы в точках:
(0, 1)

 pi    
(--, 0)
 2     

(pi, -1)

 3*pi    
(----, 0)
  2      


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
x1=πx_{1} = \pi
Максимумы функции в точках:
x1=0x_{1} = 0
Убывает на промежутках
(,0][π,)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)
Возрастает на промежутках
[0,π]\left[0, \pi\right]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
вторая производная
3(2sin2(x)cos2(x))cos(x)=03 \cdot \left(2 \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)} = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}
x3=atan(22)x_{3} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}
x4=atan(22)x_{4} = \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
[3π2,)\left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)
Выпуклая на промежутках
(,atan(22)][π2,3π2]\left(-\infty, \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
limxcos3(x)=1,1\lim_{x \to -\infty} \cos^{3}{\left(x \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=1,1y = \left\langle -1, 1\right\rangle
limxcos3(x)=1,1\lim_{x \to \infty} \cos^{3}{\left(x \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=1,1y = \left\langle -1, 1\right\rangle
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(x)^3, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
limx(cos3(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
limx(cos3(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
cos3(x)=cos3(x)\cos^{3}{\left(x \right)} = \cos^{3}{\left(x \right)}
- Да
cos3(x)=cos3(x)\cos^{3}{\left(x \right)} = - \cos^{3}{\left(x \right)}
- Нет
значит, функция
является
чётной
График
График функции y = (cos(x))^3 /media/krcore-image-pods/hash/xy/d/8a/406996063b32f6ab136c5fed1c752.png