График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x = 0 в cos(x)^3. cos3(0) Результат: f(0)=1 Точка:
(0, 1)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение dxdf(x)=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции: dxdf(x)= первая производная −3sin(x)cos2(x)=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=0 x2=2π x3=π x4=23π Зн. экстремумы в точках:
(0, 1)
pi
(--, 0)
2
(pi, -1)
3*pi
(----, 0)
2
Интервалы возрастания и убывания функции: Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума: Минимумы функции в точках: x1=π Максимумы функции в точках: x1=0 Убывает на промежутках (−∞,0]∪[π,∞) Возрастает на промежутках [0,π]
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение dx2d2f(x)=0 (вторая производная равняется нулю), корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: dx2d2f(x)= вторая производная 3⋅(2sin2(x)−cos2(x))cos(x)=0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния x1=2π x2=23π x3=−atan(22) x4=atan(22)
Интервалы выпуклости и вогнутости: Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов: Вогнутая на промежутках [23π,∞) Выпуклая на промежутках (−∞,atan(22)]∪[2π,23π]
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo x→−∞limcos3(x)=⟨−1,1⟩ Возьмём предел значит, уравнение горизонтальной асимптоты слева: y=⟨−1,1⟩ x→∞limcos3(x)=⟨−1,1⟩ Возьмём предел значит, уравнение горизонтальной асимптоты справа: y=⟨−1,1⟩
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(x)^3, делённой на x при x->+oo и x ->-oo x→−∞lim(xcos3(x))=0 Возьмём предел значит, наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа x→∞lim(xcos3(x))=0 Возьмём предел значит, наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x). Итак, проверяем: cos3(x)=cos3(x) - Да cos3(x)=−cos3(x) - Нет значит, функция является чётной