График функции y = (cos(x))^3

Вы ввели

          3   
f(x) = cos (x)

$$f{\left(x \right)} = \cos^{3}{\left(x \right)}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\cos^{3}{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -86.3937054164085$$
$$x_{2} = 95.818627417042$$
$$x_{3} = -36.1282768063468$$
$$x_{4} = 70.6858302611407$$
$$x_{5} = 42.4114617473496$$
$$x_{6} = -42.4114638604687$$
$$x_{7} = 48.6945935926021$$
$$x_{8} = -17.2788562472482$$
$$x_{9} = 86.3937628262857$$
$$x_{10} = 23.5619763533234$$
$$x_{11} = -23.5619897288019$$
$$x_{12} = -83.2523059178598$$
$$x_{13} = 92.6768935770301$$
$$x_{14} = 26.7034598912501$$
$$x_{15} = 20.4203112367381$$
$$x_{16} = 36.128317789764$$
$$x_{17} = -83.2523004207065$$
$$x_{18} = -51.8362625267018$$
$$x_{19} = 4.71228651848371$$
$$x_{20} = 67.5443333859623$$
$$x_{21} = 80.1106035284868$$
$$x_{22} = -95.8185603030962$$
$$x_{23} = -14.1371260033657$$
$$x_{24} = 14.1371748405436$$
$$x_{25} = -92.6770895717702$$
$$x_{26} = -42.411405413931$$
$$x_{27} = -61.2611560468397$$
$$x_{28} = 92.6770059000324$$
$$x_{29} = 51.8363261592826$$
$$x_{30} = 73.8274768053124$$
$$x_{31} = 45.5531567451367$$
$$x_{32} = 29.8451754771722$$
$$x_{33} = 4.71229368085888$$
$$x_{34} = -20.4202554438585$$
$$x_{35} = 70.6857435758276$$
$$x_{36} = -7.85396939058216$$
$$x_{37} = 1.57080273224359$$
$$x_{38} = 64.4026122770508$$
$$x_{39} = 45.553194340988$$
$$x_{40} = 23.5620444336803$$
$$x_{41} = 26.7034436275456$$
$$x_{42} = -67.5442906223714$$
$$x_{43} = -1.57083925518957$$
$$x_{44} = 48.6946439323886$$
$$x_{45} = 1.5708945053691$$
$$x_{46} = 7.85402475701276$$
$$x_{47} = 67.5443442271897$$
$$x_{48} = -89.5354410428862$$
$$x_{49} = -73.827410994311$$
$$x_{50} = -20.4203505482106$$
$$x_{51} = 58.1194603256925$$
$$x_{52} = 89.5354940921686$$
$$x_{53} = -64.4025554047934$$
$$x_{54} = -29.8451152214988$$
$$x_{55} = -39.2700061565569$$
$$x_{56} = -58.1194276545353$$
$$x_{57} = -61.2611644481175$$
$$x_{58} = -80.1105785507599$$
$$x_{59} = -45.5531401844306$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в cos(x)^3.
$$\cos^{3}{\left(0 \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 1$$
Точка:

(0, 1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- 3 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \pi$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 1)

 pi    
(--, 0)
 2     

(pi, -1)

 3*pi    
(----, 0)
  2      

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \pi$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[0, \pi\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$3 \cdot \left(2 \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{3} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
$$x_{4} = \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \cos^{3}{\left(x \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \cos^{3}{\left(x \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(x)^3, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\cos^{3}{\left(x \right)} = \cos^{3}{\left(x \right)}$$
- Да
$$\cos^{3}{\left(x \right)} = - \cos^{3}{\left(x \right)}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной

График