График функции y = cot(pi*x)+2

Вы ввели

f(x) = cot(pi*x) + 2

$$f{\left (x \right )} = \cot{\left (\pi x \right )} + 2$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\cot{\left (\pi x \right )} + 2 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{1}{\pi} \operatorname{acot}{\left (2 \right )}$$
Численное решение
$$x_{1} = -0.147583617650433$$

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\pi \left(- \cot^{2}{\left (\pi x \right )} - 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$2 \pi^{2} \left(\cot^{2}{\left (\pi x \right )} + 1\right) \cot{\left (\pi x \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, 1/2]

Выпуклая на промежутках

[1/2, oo)

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \lim_{x \to -\infty}\left(\cot{\left (\pi x \right )} + 2\right)$$

True

Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \lim_{x \to \infty}\left(\cot{\left (\pi x \right )} + 2\right)$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cot(pi*x) + 2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(\cot{\left (\pi x \right )} + 2\right)\right)$$

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(\cot{\left (\pi x \right )} + 2\right)\right)$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\cot{\left (\pi x \right )} + 2 = - \cot{\left (\pi x \right )} + 2$$
- Нет
$$\cot{\left (\pi x \right )} + 2 = - -1 \cot{\left (\pi x \right )} - 2$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной