Графики функций/ Построение в 2D/ y = cot(sqrt(x))

График функции y = cot(sqrt(x))

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

Примеры
v

График:

от до

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
          /  ___\
f(x) = cot\\/ x /
f(x)=cot⁡(x)f{\left (x \right )} = \cot{\left (\sqrt{x} \right )}
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
cot⁡(x)=0\cot{\left (\sqrt{x} \right )} = 0
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
x1=π24x_{1} = \frac{\pi^{2}}{4}
Численное решение
x1=120.902653913x_{1} = 120.902653913
x2=2.46740110027x_{2} = 2.46740110027
x3=61.6850275068x_{3} = 61.6850275068
x4=22.2066099025x_{4} = 22.2066099025
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в cot(sqrt(x)).
cot⁡(0)\cot{\left (\sqrt{0} \right )}
Результат:
f(0)=∞~f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}
зн.f не пересекает Y
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} =
Первая производная
12x(−cot⁡2(x)−1)=0\frac{1}{2 \sqrt{x}} \left(- \cot^{2}{\left (\sqrt{x} \right )} - 1\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=−∞x_{1} = -\infty
Зн. экстремумы в точках:
(-oo, -I)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Не изменяет значения на всей числовой оси
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} =
Вторая производная
14(2xcot⁡(x)+1x32)(cot⁡2(x)+1)=0\frac{1}{4} \left(\frac{2}{x} \cot{\left (\sqrt{x} \right )} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\right) \left(\cot^{2}{\left (\sqrt{x} \right )} + 1\right) = 0
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
x1=−460.889492001x_{1} = -460.889492001
x2=−353.921583571x_{2} = -353.921583571
x3=−428.396177706x_{3} = -428.396177706
x4=−349.224544656x_{4} = -349.224544656
x5=−339.690742913x_{5} = -339.690742913
x6=−385.683804513x_{6} = -385.683804513
x7=−432.529941746x_{7} = -432.529941746
x8=−411.628275896x_{8} = -411.628275896
x9=−372.293260474x_{9} = -372.293260474
x10=−367.759053308x_{10} = -367.759053308
x11=−420.060318154x_{11} = -420.060318154
x12=23.1923372304x_{12} = 23.1923372304
x13=−358.57502373x_{13} = -358.57502373
x14=−415.856721423x_{14} = -415.856721423
x15=−456.895840342x_{15} = -456.895840342
x16=121.899923069x_{16} = 121.899923069
x17=−398.784983962x_{17} = -398.784983962
x18=3.37308928663x_{18} = 3.37308928663
x19=−363.186888417x_{19} = -363.186888417
x20=−424.239880019x_{20} = -424.239880019
x21=−444.802793553x_{21} = -444.802793553
x22=−436.641865413x_{22} = -436.641865413
x23=−394.448011183x_{23} = -394.448011183
x24=−452.883855404x_{24} = -452.883855404
x25=−403.09334556x_{25} = -403.09334556
x26=−390.081337853x_{26} = -390.081337853
x27=−381.254175291x_{27} = -381.254175291
x28=−344.481720341x_{28} = -344.481720341
x29=−407.374120965x_{29} = -407.374120965
x30=−440.732607271x_{30} = -440.732607271
x31=−376.791130845x_{31} = -376.791130845
x32=62.6797232118x_{32} = 62.6797232118
x33=−448.853020292x_{33} = -448.853020292

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
(-oo, 3.37308928663]

Выпуклая на промежутках
[121.899923069, oo)
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
lim⁡x→−∞cot⁡(x)=−i\lim_{x \to -\infty} \cot{\left (\sqrt{x} \right )} = - i
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
y=−iy = - i
lim⁡x→∞cot⁡(x)=cot⁡(∞)\lim_{x \to \infty} \cot{\left (\sqrt{x} \right )} = \cot{\left (\infty \right )}
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
y=cot⁡(∞)y = \cot{\left (\infty \right )}
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cot(sqrt(x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
lim⁡x→−∞(1xcot⁡(x))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \cot{\left (\sqrt{x} \right )}\right) = 0
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
y=xlim⁡x→∞(1xcot⁡(x))y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \cot{\left (\sqrt{x} \right )}\right)
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
cot⁡(x)=cot⁡(−x)\cot{\left (\sqrt{x} \right )} = \cot{\left (\sqrt{- x} \right )}
- Нет
cot⁡(x)=−cot⁡(−x)\cot{\left (\sqrt{x} \right )} = - \cot{\left (\sqrt{- x} \right )}
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной