График функции y = cot(sqrt(x))

Вы ввели

          /  ___\
f(x) = cot\\/ x /

$$f{\left (x \right )} = \cot{\left (\sqrt{x} \right )}$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\cot{\left (\sqrt{x} \right )} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi^{2}}{4}$$
Численное решение
$$x_{1} = 120.902653913$$
$$x_{2} = 2.46740110027$$
$$x_{3} = 61.6850275068$$
$$x_{4} = 22.2066099025$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в cot(sqrt(x)).
$$\cot{\left (\sqrt{0} \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left (x \right )} = $$
Первая производная
$$\frac{1}{2 \sqrt{x}} \left(- \cot^{2}{\left (\sqrt{x} \right )} - 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -\infty$$
Зн. экстремумы в точках:

(-oo, -I)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Не изменяет значения на всей числовой оси

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = $$
Вторая производная
$$\frac{1}{4} \left(\frac{2}{x} \cot{\left (\sqrt{x} \right )} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\right) \left(\cot^{2}{\left (\sqrt{x} \right )} + 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = -460.889492001$$
$$x_{2} = -353.921583571$$
$$x_{3} = -428.396177706$$
$$x_{4} = -349.224544656$$
$$x_{5} = -339.690742913$$
$$x_{6} = -385.683804513$$
$$x_{7} = -432.529941746$$
$$x_{8} = -411.628275896$$
$$x_{9} = -372.293260474$$
$$x_{10} = -367.759053308$$
$$x_{11} = -420.060318154$$
$$x_{12} = 23.1923372304$$
$$x_{13} = -358.57502373$$
$$x_{14} = -415.856721423$$
$$x_{15} = -456.895840342$$
$$x_{16} = 121.899923069$$
$$x_{17} = -398.784983962$$
$$x_{18} = 3.37308928663$$
$$x_{19} = -363.186888417$$
$$x_{20} = -424.239880019$$
$$x_{21} = -444.802793553$$
$$x_{22} = -436.641865413$$
$$x_{23} = -394.448011183$$
$$x_{24} = -452.883855404$$
$$x_{25} = -403.09334556$$
$$x_{26} = -390.081337853$$
$$x_{27} = -381.254175291$$
$$x_{28} = -344.481720341$$
$$x_{29} = -407.374120965$$
$$x_{30} = -440.732607271$$
$$x_{31} = -376.791130845$$
$$x_{32} = 62.6797232118$$
$$x_{33} = -448.853020292$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, 3.37308928663]

Выпуклая на промежутках

[121.899923069, oo)

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \cot{\left (\sqrt{x} \right )} = - i$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = - i$$
$$\lim_{x \to \infty} \cot{\left (\sqrt{x} \right )} = \cot{\left (\infty \right )}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \cot{\left (\infty \right )}$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cot(sqrt(x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \cot{\left (\sqrt{x} \right )}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа

True

Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \cot{\left (\sqrt{x} \right )}\right)$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\cot{\left (\sqrt{x} \right )} = \cot{\left (\sqrt{- x} \right )}$$
- Нет
$$\cot{\left (\sqrt{x} \right )} = - \cot{\left (\sqrt{- x} \right )}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной